对单摆周期公式中

摆球在平衡位置时，把摆球的重力G 分解为与BC 平 行的分力G 1和与BC 垂直的分力 G 2' 等效重力加速度为 g =G 2m =g si n α =2πL ' g '

T

=2π3L 2g si n α

初速度。逐渐接近固定在D 点的小球n 。已知AB=0.8m 点评：本题为地震仪水平摆测周AB 圆弧半径R=10m，AD=10m，ABCD 在同一水平面上，则v 为多大时，才能使m 恰好碰到小球？（设2

般可通过找出等效摆长和等效重力加速度，借用单摆g =π）

解析：小球m 运动由两个运周期公式求出。本题也可以这样求解：在摆球处于平

动合成，这两个分运动分别是：以衡位置时，过A 点作一铅垂线，与CB 的延长线交于单摆的周期公式 π l g 是惠更斯从实验T = 2

速度v 沿AD 方向的的匀速直线运D ，如图2所示。DA 即为等效摆长。

中总结出来的。其中摆长指的是悬点到小球质心的距' ' 动和在圆弧面AB 方向上的往复其长度为 α ，因而，摆球做微L = L sin 60si n 离，但在某些振动系统中，由于悬点的特殊性，摆长' '

运动。因为AB

弧面上的往复运动具有等时性, 是（选自中学生物理报 / 吴俊著）

为 9 . 8 m / s 2 ，所以就出现了等效摆长和等效重力加

一种等效单摆, 其圆弧半径只即为等效单摆的摆长。 速度的问题。

设小球m 恰好能碰到小球n ，则有AD=vt 且满

一、等效摆长问题

足t =kT (k=1,2,3„)

例、如图所示，固定在天花板又因为 T = 2 π R g 上等长的两根细线AO 、BO 长

5 3 解以上方程得：v =5k πm/s

0.8m ，与水平平面夹角都为53°，

二、等效重力加速度问题

下端拴着质量m=0.2kg的小球（小2 ①由GM R = g 知，g 随地球表面不同位置、球大小可忽略），那么使小球在垂直

不同高度而变化，在不同星球上也不相同，因此求解O 纸面的竖直平面内摆动起来。求：

时将单摆所环境的等效值g ′代入公式，即g ′不一单摆由一根不可伸长的细线和可视为质点的摆①如果摆角θ﹤10°，则小球2定等于 9 . 8 m / s 。 球构成，它是一种抽象的理想化模型. 单摆作为一种典的摆动周期。 2②单摆系统的运动状态变化，g 也不一定等于9 . 8m /s 型的简谐运动，在生活技术有广泛的应用. ②如果小球在摆动中到达最低点速度v=0.5m/s，

如单摆处在向上加速发射的航天飞机内，设加速度为1. 利用单摆求重力加速度 则此时两细线受到的拉力各为多少？

a ，此时摆球处于超重状态，沿圆弧切线方向的回复例、在“用单摆测定重力加速度g ”的实验中，解析①此题首先设置了一个障碍，悬点未知，摆

力变大，摆球质量不变，则重力加速度的等效值 假如实验时用很长的细线悬挂在一天花板上，由于悬

球的摆长是多少？此时双线摆的悬点为C 点，所以等

g ′=g+a，再如，单摆若在轨道上运行的航天飞机内，点过高，无法测量摆长，则如何测出重力加速度g 的效摆长应为l =CO =l ⋅sin 53=0. 64m ，所以单摆

g ′=0，所以值？ 周期为 T = 2 π l g = 1 s ；②通过受力分析可知 摆球完全失重，回复力为零，则等效值 . 6

2周期为无穷大，即不摆动。总之公式中的g 由单摆所解析：因摆长为悬点到质心的距离，而本提无法2F ⋅sin 53-mg =m v , 所以F ≈1.3N 。

在的空间位置和运动状态决定。 测量到悬点，所以可采用测量部分摆长的方法. 具体L 思考：如在图中，三根等长的绳 L 2 L 3共系住1

三、综合应用问题 为：首先，以天花板上的固定点为悬点，悬点到质心L 2 L 3 与天花板的一密度均匀的小球m ，球直径为d ，

例、如图1所示，是一种记录的距离为摆长，在摆角小于5°的范围内测的周期为夹角θ﹤30°。若摆球在纸面内作小角度的左右摆

地震装置的水平摆，摆球固定在边T 1再在手够的着的地方系一个结，以达到改变摆长的动，周期是多少？若摆球做垂直纸面的小角度摆动，

长为L 、质量可忽略不计的等边三目的，设使之减短ΔL （ΔL 不宜过小），第二次测得则摆动圆弧的圆心在O 处，故等效摆长为多少？周期角形的顶点A 上，它的对边BC 跟周期 T 2，由以上可知： 是多少？ A 竖直线成不大的夹角α，摆球可绕O m （答案： T 1=2π(L 1+d 2) g 2L 3T 1=2πL g L 24π∆L 固定轴BC 摆动，求摆球微小摆动 解得 g =221L 1+L 2si n θ+d 2时的周期。 T 1-T 2 L T 2=2π(L -∆L ) g

解析：如图2所示，过A 作BC 的垂线，交点到 m T 2=2π(L 1+L 2si n θ+d 2) g ）

A 的距离为等效单摆的摆长，其长度为L ' =L sin 60 。点评：本题以测摆长为拐点，设置思维迷障，来例、如图所示，小球m 自

A 点以向AD

对单摆周期公式中

两个量的理解

应用“单摆模型”

解决实际问题

激活学生思维的灵活性，避免思维定势，进而培养学生在新情景问题中的变通能力。

思考：实验室配有下列器材：铁架台（附夹子），长约1.5米的细线，细线下系一质量200克的形状不规则的小石块，秒表，米尺，试由提供的器材设计测量当地重力加速度g 的实验，写出原理。

2. 利用单摆装置测面积

例、现有一只直径约6cm 的圆柱形小烧杯，现要测量它的外径，可供选择的器材如下：一段软线（足够长）、一只带铁夹的铁架台、一只直径约2cm 带洞眼的小铜球，一只秒表、一架天平、直径维3cm 带洞眼的小木球。

①选择合适器材测量烧杯外径的简要步骤是 ②测量烧杯横截面积的表达形式是解析：小烧杯的面积S = 14 π D 2 (其中D 表示小烧杯的直径) ，因此欲求小烧杯的横截面积，应先求直径D ，但如果把小烧杯的直径直接作单摆的摆长，测量误差将会很大。故可考虑用其周长算直径的方法。相比之下，直径较小的铜球比直径较大的木球构成单摆的误差小。

①A 、将软线沿烧杯外侧绕上n 圈(n≧3) 测得用线长为L ；B 、将长L 的软线上端固定于铁架台上，下端固定在小铜球球心上，用秒表测出摆动N 次全振动的时间t 。

223

②直径d = t g 4 nN π (n≧3)

所以面积 S =π4d 2=g 2t 464n 2N 2π5总结：以上两例皆以摆长做“文章”，实际上摆长已知就相当于有现成的刻度尺，在这种情况下就可以间接测量与长度有关的物理量。

3. 利用单摆装置测高度 例、(2002年广东高考) 有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度。已知该单摆在海平面处的周期为T 。求该气球此时离海平面的高度h 。把地球看作质量均匀分布的半径为R 的球体。

解析：根据单摆周期公式 T 0=2πl g 0

g 0 分别是两 T = 2 π l g ，其中l 是单摆长度，

2

g 0=GM R

2

g =GM (R +h ) ，其中G 是引力常数，M 是地球质量。由以上各式解得 h =(T 0-1)R

4. 利用单摆装置测密度

例、有一宇航员在某一星球表面测出一摆长为l 的单摆的振动周期为T ，已知该星球的半径为R ，那么该星球的平均密度为多少？

解析：测出单摆的周期，便可以算出该星球表面

2

g =l T 的重力加速度，由 T = 2 π l g 可得 4 π ，摆

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球受到的重力可近似看作等于摆球与该星球之间的万有引力，由 mg = GMm R 2 可得 M = 2 G ，gR 将星球看作球体，则 M = π R 3 ，所以，最终ρ ⋅ 4

2

ρ=3πl GRT 可导出

点评：解决此类综合题，主要抓住单摆周期公式中的重力加速度指的是单摆所在地的重力加速度，而在地球不同地方和不同高度以及在其他星球表面重力加速度往往是不同的。 （选自新物理 / 秋扬著）

对波动中

多解问题的归纳

波动中多解问题是机械波中的一个重点也是一个难点。解题时必须正确理解题意、合理使用条件、全面系统分析，否则就会发生漏解或用特解代替通解的现象. 先将几类常见的问题归纳如下：

一、波传播的方向的不确定引起多解

波在介质中总是由近及远地向前传播，若根据题中的一直条件不能确定波传播的方向或质点的振动方向，应分两种情况讨论。

例1

：如图所示，一列简谐波的波速为0.5m/s，实线为某时刻的波形图。 经过Δt(Δt

m 这段时间可能是

( ) A 、 4s B 、8s C 、12s

D 、16s

解析：由图1知，波长λ=8m，但由于题中波的传播方向不确定，因此，有向右或向左传播的两种情况，根据题中已知条件Δt

若波向右传播，则传播的距离

∆x 1=3λ

4

；∆t 1=3λ4v =12s 若波向右传播，则传播的距离 ∆x 2=λ4； ∆t 2=λ4v =4s 因此应选A 、C 两项。

本题也可先求出周期：T =λ=16s ，若波向右传播，则传播了3T 4的时间，即∆ t 1=3T 4=12s

∆若波向左传播，则传播了T 4的时间，即 t 2T 4=4s

二、波传播的周期不确定引起的多解

由于机械波的图象中显示出时间的周期性，即在

机械波传播过程中，在时间上相隔周期的整数倍的两

个时刻的波形是完全相同的。因此，当题中没有明确给定传播的时间∆t 与周期T 的大小关系时就会出现多解现象，应进行讨论求解。

例2、如图所示，实线表示一列向右传播的简谐波在t =0时刻

的图象，虚线表示经过m ∆t =0. 2s 的图象，求这列波的传播速度。

解析：题中未知Δt 与T 的大小关系，尽管给出了波的传播方向，但由于波传播的周期性仍会引起多解。

由图知波长λ=4m，又由于波向右传播，所对应波的传播距离∆x =n λ+λ4=4n +1, 其传播速度为：v =∆x ∆t =(n λ+λ4)∆t =(20n +5)m /s (n =0. 1. 2. 3 )

本题也可根据传播时间Δt 与周期T 的关系式

求出周期T =4∆t (4n +1)，再根∆t =nT +T 4，

据v =λ，同样可以求得：v =(20n +5)m /s (n =0. 1. 2. 3 )

三、波长不确定引起的多解问题

由于机械波的图象中显示出空间的周期性，即在机械波传播过程中，在空间上相隔波长的整数倍的质点其振动情况完全相同，因此，当题中没有给定两质点间的距离或传播的距离与波长的关系时，会出现多解现象，应讨论求解。

解析：由题意知A

B 两点之间的距离∆x 能小于波长（如AB 可能大于波长（如AB 1），尽管给出了波的传播方向，但由于波长不确定将会出现多解现象，所以 ∆x =n λ+3λ4(n =0. 1. 2. 3 )

因此，波长λ=4∆x (4n +3)=0. 244n +3 (n =0. 1. 2. 3 )

周期T =λv =0. 12(4n +3) (n =0. 1. 2. 3 ) （河南省 / 高梅真著）

每日名言：

大家一起来学习

一题多解，培养学生的创新思维

物理创新思维是物理思维活动中的高级过程，是个人在已有物理知识和经验的基础上，从某些物理现象、物理过程和物理事实中形成新概念、建立新规律、完成新理论的思维过程。一般对学生而言，物理创新思维主要指对本人来说是前所未有的，而不涉及社会和科学价值的创新思维。学生只要在学习过程中有新思想、新意见、新观念、新设计、新意图、新做法、新方法等，都可以称之为创新思维。因此，在物理教学中培养与训练学生的创新思维不是高不可攀的设想，而是切实可行的。物理习题教学中进行一题多解训练，可以诱导学生思维发散，增加学生解决问题的灵活性，也能使学生养成多方位观察问题分析问题的习惯，培养学生的创新思维能力。

例、质量为M 的一列火车，在平直铁路上匀速行驶，阻力和车重量成正比，与火车速度无关。若在某一时刻，一节质量为m 的车厢脱钩，而司机在经t 时间后才发现。发现后立即撤去牵引力, 而在此以前仍保持原来的牵引力。求脱钩车厢停下后多少时间火车才停下？（你想出了几种做法？赶快来搞告诉我！） （白城一中一年五班 / 华博来搞

原出处中学物理之友网 / 陈学雄）

注意：根据牛顿第二定律可知，有力就一定有加速度，它们是同时产生的。但有加速度不一定有位移，从位移公式可以看出，产生位移是需要时间的。 （白城一中物理组 / 李艳青选

1. 刻舟求剑

《汉语成语词典》）（以下简称《词典》）中是这样解释的：据说从前楚国有一个人过江时把剑掉在水里，他在船沿上剑掉下去的地方刻了记号，等船停下后，他便从刻有记号的地方下水找剑，结果没有找到（见《吕氏春秋·察今》）。比喻拘泥固执，不知道随着情势的变化而变化。

从物理学的角度来分析：此人错选了参照物。因船相对剑是运动的，则船和剑的相对位置在不断地发生变化，则确定剑的位置应选择与剑的相对位置不变的物体为参照物，如岸上的石头、树木、花草等。

2. 一发千钧

志远，行近，务实，求高

每天进步一点点！

《词典》中是这样解释的：钧：古代以三十斤为一钧，一根头发吊着千钧重物，比喻形式十分危急。

从物理学的角度来分析：一根头发所承受的最大平均拉力只不过1．72牛顿。而1钧（即三十斤）的

力相当于150牛顿，1千钧即1．5×105牛顿。很显然

杂技表演时，常可看见有人用铁锤猛击放在“大

这里用了夸张的手法，这种情况怎么能不危急呢？

力士”身上的大石头，石裂而人不伤，这是什么道理

呢？请加以分析。

3. 随波逐流

分析：大石头意味它的质量很大：“猛击”表示

作用力很大，且作用时间极短；“人未受伤”说明大

《词典》中是这样解释的：随波浪而起伏，随流

石头对人身体的压强不大。

水而漂荡，比喻跟着别人行动。

用铁锤猛击放在“大力士”身上的大石头，大石头

从物理学的角度来分析：波是由振动产生的，波

受到很大的打击力而破裂，但是，根据动量定理

传播的是能量和振动形式。如果水不流动时，那么漂

Ft =mv 1-mv 0得，对v t -v 0=F ⋅t m 大

浮在水面的漂浮物会随着波浪在原来位置上下振动。

石头来说，虽然受到的作用力F 很大，但力作用时间

如果水是流动的，则漂浮物除振动外，还随着水一起

极短，而大石头的质量又很大，因而引起的速度变化

水平流动。即漂浮物既作上下振动，又作水平移动。

就很小，即大石头几乎没有向下运动，而且石头与人

随波逐流十分准确地描述了这种运动情况。

的身体接触面积又较大，据P =F S ，所以人身体受

（白城一中一年五班 / 马仁寿选 ）

的压强并不很大，故此人不会受伤（当然，这还和表演者技术本领有关）。

“大力士”碎石

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