狭义相对论公式及证明

狭义相对论公式及证明

单位 符号 单位 符号

坐标： m (x, y, z) 力： N F(f)

时间： s t(T) 质量:kg m(M)

位移： m r 动量:kg*m/s p(P)

速度： m/s v(u) 能量: J E

加速度： m/s^2 a 冲量：N*s I

长度： m l(L) 动能：J Ek

路程： m s(S) 势能：J Ep

角速度： rad/s ω 力矩：N*m M

角加速度:rad/s^2α 功率：W P

一：

牛顿力学（预备知识）

(一) ：质点运动学基本公式：(1)v=dr/dt, r=r0+∫rdt

(2)a=dv/dt, v=v0+∫adt

(注：两式中左式为微分形式，右式为积分形式)

当v 不变时，(1)表示匀速直线运动。

当a 不变时，(2)表示匀变速直线运动。

只要知道质点的运动方程r=r(t)，它的一切运动规律就可知了。

(二) ：质点动力学：

(1)牛一：不受力的物体做匀速直线运动。

(2)牛二：物体加速度与合外力成正比与质量成反比。

F=ma=mdv/dt=dp/dt

(3)牛三：作用力与反作与力等大反向作用在同一直线上。

(4)万有引力：两质点间作用力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。

F=GMm/r2,G=6.67259*10-11m 3/(kg*s2)

动量定理：I=∫Fdt=p2-p1(合外力的冲量等于动量的变化)

动量守恒：合外力为零时，系统动量保持不变。

动能定理：W=∫Fds=Ek2-E k1(合外力的功等于动能的变化)

机械能守恒：只有重力做功时，E k1+Ep1=Ek2+Ep2

(注：牛顿力学的核心是牛二：F=ma,它是运动学与动力学的桥梁，我们的目的是知道物体的运动规律，即求解运动方程r=r(t),若知受力情况，根据牛二可得a, 再根据运动学基本公式求之。同样，若知运动方程r=r(t),可根据运动学基本公式求a ，再由牛二可知物体的受力情况。)

二：

狭义相对论力学：(注：γ=1/sqr(1-u 2/c2),β=u/c, u为惯性系速度。)

(一) 基本原理：(1)相对性原理：所有惯性系都是等价的。

(2)光速不变原理：真空中的光速是与惯性系无关的常数。

(此处先给出公式再给出证明)

(二) 洛仑兹坐标变换：

X=γ(x-ut)

Y=y

Z=z

T=γ(t-ux/c2)

(三) 速度变换：

V (x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c2)

V (y)=v(y)/(γ(1-v (x)u/c2))

V (z)=v(z)/(γ(1-v (x)u/c2))

(四) 尺缩效应：△L=△l/γ或dL=dl/γ

(五) 钟慢效应：△t=γ△τ或dt=dτ/γ

(六) 光的多普勒效应：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)

(光源与探测器在一条直线上运动。)

(七) 动量表达式：P=Mv=γmv, 即M=γm.

(八) 相对论力学基本方程：F=dP/dt

(九) 质能方程：E=Mc2

(十) 能量动量关系：E 2=E02+P2c 2

(注：在此用两种方法证明，一种在三维空间内进行，一种在四维时空中证明，实际上他们是等价的。)

三：

三维证明：

(一) 由实验总结出的公理，无法证明。

(二) 洛仑兹变换：

设(x, y, z, t)所在坐标系(A系) 静止，(X,Y, Z,T)所在坐标系(B系) 速度为u, 且沿x 轴正向。在A 系原点处，x=0,B系中A 原点的坐标为X=-uT,即X+uT=0。可令x=k(X+uT),(1).又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k 是与u 有关的常数(广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价，因此k 不再是常数。) 同理，B 系中的原点处有X=K(x-ut),由相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k=K.故有X=k(x-ut),(2).对于y, z, Y, Z 皆与速度无关，可得Y=y,(3).Z=z(4).将(2)代入(1)可得：x=k2(x-ut)+kuT,即T=kt+((1-k2)/(ku))x,(5).(1)(2)(3)(4)(5)满足相对性原理，要确定k 需用光速不变原理。当两系的原点重合时，由重合点发出一光信号，则对两系分别有x=ct, X=cT.代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u), cT=kt(c-u).两式相乘消去t 和T 得：k=1/sqr(1-u2/c2)=γ.将γ反代入(2)(5)式得坐标变换：

X=γ(x-ut)

Y=y

Z=z

T=γ(t-ux/c2)

(三) 速度变换：

V (x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c2))

=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c2)

=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c2)

同理可得V (y),V (z)的表达式。

(四) 尺缩效应：

B 系中有一与x 轴平行长l 的细杆，则由X=γ(x-ut) 得：△X=γ(△x-u △t), 又△t=0(要同时测量两端的坐标) ，则△X=γ△x, 即：△l=γ△L, △L=△l/γ

(五) 钟慢效应：

由坐标变换的逆变换可知，t=γ(T+Xu/c2), 故△t=γ(△T+△Xu/c2), 又△X=0,(要在同地测量) ，故

△t=γ△T.

(注：与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时，是不随坐标变换而变的客观量。)

(六) 光的多普勒效应：(注：声音的多普勒效应是：ν(a)=((u+v1)/(u-v2))ν(b).)

B 系原点处一光源发出光信号，A 系原点有一探测器，两系中分别有两个钟，当两系原点重合时，校准时钟开始计时。B 系中光源频率为ν(b), 波数为N ，B 系的钟测得的时间是△t (b), 由钟慢效应可知，A △系中的钟测得的时间为△t(a)=γ△t(b),(1).探测器开始接收时刻为t 1+x/c,最终时刻为t 2+(x+v△t (a))/c,则△t (N)=(1+β)△t (a),(2).相对运动不影响光信号的波数，故光源发出的波数与探测器接收的波数相同，即ν(b)△t (b)=ν(a)△t (N),(3).由以上三式可得：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b).

(七) 动量表达式:(注：dt=γdτ,此时，γ=1/sqr(1-v 2/c2) 因为对于动力学质点可选自身为参考系，β=v/c)

牛二在伽利略变换下，保持形势不变，即无论在那个惯性系内，牛二都成立，但在洛伦兹变换下，原本简洁的形式变得乱七八糟，因此有必要对牛顿定律进行修正，要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式。

牛顿力学中，v=dr/dt, r在坐标变换下形式不变，（旧坐标系中为（x, y, z）新坐标系中为(X,Y,Z) ）只要将分母替换为一个不变量（当然非固有时dτ莫属）就可以修正速度的概念了。即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv为相对论速度。牛顿动量为p=mv, 将v 替换为V ，可修正动量，即p=mV=γmv。定义M=γm(相对论质量) 则p=Mv.这就是相对论力学的基本量：相对论动量。（注：我们一般不用相对论速度而是用牛顿速度来参与计算）

(八) 相对论力学基本方程：

由相对论动量表达式可知：F=dp/dt,这是力的定义式，虽与牛二的形式完全一样，但内涵不一样。（相对论中质量是变量）

(九) 质能方程：

Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv

=Mv2-∫mv/sqr(1-v 2/c2)dv=Mv2+mc2*sqr(1-v2/c2)-mc 2

=Mv2+Mc2(1-v2/c2)-mc 2

=Mc2-mc 2

即E=Mc2=Ek+mc2

(十) 能量动量关系：

E=Mc2,p=Mv, γ=1/sqr(1-v2/c2),E 0=mc2, 可得：E 2=E02+p2c 2

四：

四维证明：

(一) 公理，无法证明。

(二) 坐标变换：由光速不变原理：dl=cdt,即dx 2+dy2+dz2+(icdt)2=0在任意惯性系内都成立。定义dS 为四维间隔，dS 2=dx2+dy2+dz2+(icdt)2,(1).则对光信号dS 恒等于0，而对于任意两时空点的dS 一般不为0。dS 2>0称类空间隔，dS 2

由数学的旋转变换公式有：（保持y, z轴不动，旋转x 和ict 轴）

X=xcosφ+(ict)sinφ

icT=-xsinφ+(ict)cosφ

Y=y

Z=z

当X=0时，x=ut,则0=utcosφ+ictsinφ

得：tanφ=iu/c,则cosφ=γ, sinφ=iuγ/c反代入上式得：

X=γ(x-ut)

Y=y

Z=z

T=γ(t-ux/c2)

(三)(四)(五)(六)(八)(十) 略。

(七) 动量表达式及四维矢量：(注：γ=1/sqr(1-v 2/c2), 下式中dt=γdτ)

令r=(x, y, z, ict)则将v=dr/dt中的dt 替换为dτ，V=dr/dτ称四维速度。

则V=(γv, icγ)γv为三维分量，v 为三维速度，icγ为第四维分量。（以下同理）

四维动量：P=mV=(γmv, icγm)=(Mv, icM)

四维力：f=dP/dτ=γdP/dt=(γF, γicdM/dt)(F为三维力)

四维加速度：ω=/dτ=(γ4a ,γ4iva/c)

则f=mdV/dτ=mω

(九) 质能方程：

f V=mωV=m(γ5va+i2γ5va)=0

故四维力与四维速度永远“垂直”，（类似于洛伦兹磁场力）

由fV=0得：γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0(F, v为三维矢量，且Fv=dEk /dt(功率表达式)) 故dE k /dt=c2dM/dt即∫dEk =c^2∫dM,即:Ek =Mc2-mc 2

故E=Mc2=Ek +mc2

关于第六条：

通过速度变换和质能方程（E=Mc2）可以导出两个坐标系间的能量变换公式（证明很简单，但很繁琐，就不写了）：E'=γE(1-u*v/c2)

(注：u 、v 都是矢量，u 为参考系速度，v 为光源速度，*表示点乘，也可以写做： E'=γE(1-uv （x ）/c2))

上式对任意粒子都成立，对于光子：E=hν代入得：

ν'=γν（1-ucosθ/c） (普遍公式)

对于θ=0可得：ν'=νsqr((1-β)/（1+β）) （特例）

利用速度变换和动量关系（p=Mv）一样可导出两坐标系之间的动量变换公式：

p (x)'=γp(x)(1-u/v(x))

p (y)'=p(y)

p (z)'=p(z)

动量变换与能量变换不仅仅适用于光子，对所有的粒子都是适用的。