信息论试题6

《信息论基础》试卷答案

一、填空题（共15分，每空1分）

1，当（R=C或信道剩余度为0）时，信源与信道达到匹配。

2，若高斯白噪声的平均功率为6W ，则噪声熵为（1/2log12πe=3。337bit/自由度） 如果一个平均功率为9W 的连续信源的熵等于该噪声熵，则该连续信源的熵功率为（6W ）

3，信源符号的相关程度越大，信源的符号熵越（小），信源的剩余度越（大） 4，离散无记忆信源在进行无失真变长信源编码时，码字长度是变化的。根据信源符号的统计特性，对概率（大）的符号用短码，对概率（小）的符号用长码，从而减少平均码长，提高编码效率。

8，香农第一编码定理指出平均码长的理论极限值为（信源熵H(S)/logr或H R (S)）， 此时编码效率为（1）

9，在下面空格中选择填入数学符号“=,,≤，≥” 9.1 H2(X)=H(X1X 29.2 H (XY) = H(Y)+H(X/Y) ≤ H(Y)+H(X)

⎡X ⎤⎡x 1x 2x 3x 4⎤10, 有一信源X ，其概率分布为⎢⎥=⎢若对该信源进行100次扩展， ⎥，

P 1/21/41/81/8⎣⎦⎣⎦

其每扩展符号的平均信息量是（175bit/扩展符号）

11当（概率为独立等概）时，信源熵为最大值，8进制信源的最大熵为（3bit/符号） 二、判断题（本大题共5小题，每小题1分，共5分）

1）噪声功率相同的加性噪声信道中以高斯噪声信道的容量为最大（⨯） 2）即时码可以在一个码字后面添上一些码元构成另一个码字（⨯） 3）连续信源的熵可正可负可零（∨） 4）平均互信息始终是非负的（∨）

5）信道容量C 只与信道的统计特性有关，而与输入信源概率分布无关（∨） 三、（10分）计算机终端发出A.B.C.D.E 五种符号，出现概率分别为1/16，1/16，1/8,1/4,1/2.通过一条带宽为18KHz 的信道传输数据，假设信道输出信噪比为2047，试计算：

1）香农信道容量；

2）无误码传输的最高符号速率。 S ⎫⎛

(1) C t =B log 2 1+⎪=18log 22048=198kbit /s

N ⎭⎝

《信息论基础》试卷第1页

(2)(R B )max =

C t

, H x 11111⎫15 H (x )=H ⎛, , , , ⎪=

⎝1616842⎭

8

(R B )max =

198k

=1.056⨯105Baud 四、（10分）有一信源发出恒定宽度，但不同幅度的脉冲，幅度值x 处在a1,a2之间。此信源连至信道，信道接收端接收脉冲的幅度y 处在b1，b2之间。已知随机变量x 和y 的联合概率密度函数p (x , y ) =1/(a 2-a 1)(b 2-b 1) 试计算h （x ），h （y ）h （xy ）和I(x;y)

⎧1

a 1≤x ≤a 2⎪

由p (x , y ) 得 p (x ) =⎨a 2-a 1

⎪0, 其他⎩

⎧1

, b 2≤x ≤b 2⎪b -b p (y )=⎨21 ⎪0, 其他⎩

可见，p (xy ) =p (x ) p (y ) ，x 和y 相互独立，且均服从均匀分布， h (x ) =log(a 2-a 1) bit /自由度 h (y ) =log(b 2-b 1) bit /自由度

h (xy ) =h (x ) +h (y ) =log(a 2-a 1)(b 2-b 1) I (x , y ) =0

五、（10分）设某信道的传递矩阵为

⎡0.80.10.1⎤

p =⎢⎥ 0.10.10.8⎣⎦

计算该信道的信道容量，并说明达到信道容量的最佳输入概率分布，该信道为准对称信道，

（1）两个对称信道矩阵为

⎡0.80.1⎤⎡0.80.1⎤⎡0.1⎤⎢0.10.8⎥⎢0.10.8⎥和⎢0.1⎥ ⎣⎦⎣⎦⎣⎦

N1=0.8+0.1=0.9,N2=0.1; M1=0.9,M2=0.2

∴C =log 2-H (0.8,0.1,0.1)-0.9log0.9-0.1log0.2=0.447bit /符号

《信息论基础》试卷第2页

最佳输入概率分布为输入等概率，即 p (x 1) =p (x 2) =1/2 六、（10分）设随机变量x 和y

已知随机变量z=xy,计算H(X)，H(Z)，H(XY)，H(X/Z)，Ｉ（x

；y ） 1) H(x)=H(1/3,1/3)=0.9183bit/符号 2)

H(z)=H(2/3,1/3)=0.9183bit/符号

3）H(xy)=H(1/3,1/3,0,1/3)=1.58496 bit/每对符号 4)

xz P(xz) 00 01 10 11

H(xz)=H(2/3,1/3)bit/每对符号 H(x|z)=H(xz)-H(z)=0 5)

I(x,y)=H(x)+H(y)-H(xy) =0.25164bit/符号 七 （20） 一个离散无记忆信源

x 2x 3x 4x 5x 6⎤⎡x ⎤⎡x 1

=⎢p (x ) ⎥⎢1/161/161/161/161/41/2⎥ ⎣⎦⎣⎦

2/3

0 0 1/3

1） 求H(x)和冗余度；（4分） 2） 编成Fano 码，计算编码效率；（8分） 3） 编成Huffman 码，计算编码效率。（8分）

1） H(x)=H(1/16,1/16,1/16，1/16,1/4,1/2)=2bit

H (x ) v =1-=22.6﹪

log 6

2)

《信息论基础》试卷第3页

x 6

2

14

116

x 5x 4x 3x 2

10

11001

1101

1

1

116116116

1

1

11101111

3)

x6x5x4x3x2

x1

x 1

1/21/4

1/161/161/161/16

10

1/21/41/8

1/161/16

1

1/21/41/81/8

10

1/21/41/4

10

1/21/2

[***********]1

1

111

=1+2+4⨯4⨯ =2

242

η=

H (x )

=100％ ⎡x ⎤⎡x 1x 2⎤

八 （10分） 设一个离散无记忆信源的概率空间为⎢⎥=⎢0.20.8⎥，它们通过p (x ) ⎣⎦⎣⎦⎡0.90.1⎤干扰信道，信道矩阵为P =⎢⎥。信道输出符号集Y =[y 1y 2]，试计算： 0.30.7⎣⎦

（1）信源X 的信息熵；（2分）

（2）收到信息y2后，获得关于x1的信息量；（2分） （3） 共熵H(XY)；（2分） （4）信道疑义度H(X|Y);(2分)

（5） 收到消息Y 后获得的关于信源X 的平均信息量。（2分）

P(xy) y1 y2

《信息论基础》试卷第4页

x2 0.3×0.8 0.7×0.8

(1) H(x)=H(0.2,0.8)=0.722bit/符号

（2） I(x1;y2)=I(x1)-I(x1|y2)=log1/0.2-log0,58/0.02=-2.536bit/符号 （3） H（xy ）=H(0.18,0.02,0.24,0.56)=1.52076bit/每对符号 （4） H(x|y)=H(xy)-H(y)=1.52076-H(y) H(y)=H(0.42,0.58)=0.98145 H(x|y)=0.53936bit/符号 （5）I(X:Y)=H(x)+H(y)-H(xy) =H(x)-H(x|y)

=0.722-0.5393=0.1827bit/符号

九 （10分） 有一个二元马尔科夫信源，其状态转移概率如图所示，括号中的数表示转移时发出的符号。试计算

（1） 达到稳定后状态的极限概率

（2） 该马尔科夫信源的极限熵H ∞。

s 0s 1s 2s 000.50.5

(1) p =

s 10.50.50s 200.50.5P(s0)=0.5P(s1)

0.5(p(s0)+p(s1)+p(s2))=p(s1) 0.5(p(s0)+p(s2))=p(s2) P(s0)+p(s1)+p(s2)=1 得 p(s0)=0.25; P(s1)=0.5; P(s2)=0.25; (2)

H ∞=1/4H(0.5,0.5)+1/2H(0.5,0.5)+1/4H(0.5,0.5)

《信息论基础》试卷第5页

1/4+1/2+1/4=1bit/符号

《信息论基础》试卷第6页