复数的四则运算练习题(文理通用)
1．已知复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于
( ) ．
A ．0 C ．6
解析 z ＝3－i －(i－3) ＝6－2i. 答案 D
B ．2i D ．6－2i
2．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是
( ) ．
A ．等腰三角形 C ．等边三角形
B ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 →→
解析 根据复数加(减) 法的几何意义，知以OA ，OB 为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB 为直角三角形． 答案 B
3．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于
( ) ．
A ．第一象限 C ．第三象限
B ．第二象限 D ．第四象限
解析 z ＝z 2－z 1＝(1＋2i) －(2＋i) ＝－1＋i ，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限． 答案 B
1
4．若z 1＝2－i ，z 22i ，则z 1，z 2在复平面上所对应的点为Z 1、Z 2，这两点之间的距
2离为________．
→
解析 |Z 1Z 2|＝ 答案
61 2
3
a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i(a ，b ∈R ) ，若z 1－z 2＝43，则a ＋b ＝2
⎛2＋1⎫2＋－1－ 2⎪⎝⎭
2
＝
61
2
5．已知z 1＝
________. 解析 ∵z 1－z 2＝43，
3⎛3⎫
a ＋(a ＋1)i －[－3b ＋(b ＋2)i]＝ a ＋33b ⎪＋(a －b －1)i ＝2⎝2⎭
⎧⎪3a ＋33b ＝43，
由复数相等的条件知⎨2
⎪⎩a －b －1＝0，
∴a ＋b ＝3. 答案 3
解得⎨
⎧a ＝2，⎪⎪⎩b ＝1.
6．已知z ，ω为复数，(1＋3i) z 为纯虚数，ω，且|ω|＝2，求ω.
2＋i
解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) ，则(1＋3i) z ＝a －3b ＋(3a ＋b )i ，由题意得a ＝3b ≠0. ∵|ω|＝⎪
z
⎪z ＝2，
⎪2＋i ⎪
2
2
∴|z |a ＋b ＝510， 将a ＝3b 代入上式，得⎨
⎧⎪a ＝15，⎪⎩b ＝5，
或⎨
⎧⎪a ＝－15，⎪⎩b ＝－5.
15＋5i
故ω＝±(7－i) ．
2＋i
综合提高
限时25分钟
7．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i|的最小值为
( ) ．
A ．0 C. 2 2
B ．1 1D. 2
解析 由|z ＋1|＝|z －i|知，在复平面内，复数z 对应的点的轨迹是以(－1,0) 和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y ＝－x ，而|z ＋i|表示直线y ＝－x 上的点到点(0，－1) 的距离，其最小值等于点(0，－1) 到直线y ＝－x 的距离．答案 C
8．复数z 1、z 2分别对应复平面内的点M 1、M 2，且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，线段M 1M 2的中点M 对应的复数为4＋3i ，则|z 1|＋|z 2|等于
( ) ．
A ．10 B．25 C．100 D．200
→
→
解析 根据复数加减法的几何意义，由|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|知，以OM 1、OM 2为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等) ，即∠M 1OM 2为直角，M 是斜边M 1M 2的中点，
2
2
→
22
∵|O M |4＋3＝5，
∴|M 1M 2|＝10.
→
2
2
2
→
2
→
2
∴|z 1|＋|z 2|＝|OM 1|＋|OM 2|＝|M 1M 2|＝100. 答案 C
9．在平行四边形OABC 中，各顶点对应的复数分别为z O ＝0，z A ＝2，z B ＝－2a ＋3i ，z C
2＝－b ＋a i ，则实数a －b 为________．
a
2－b ＝－2a ，⎧⎪
解析 因为OA ＋OC ＝OB ，所以2＋i ＋(－b ＋a i) ＝－2a ＋3i ，所以⎨a
2a ＝3，⎪⎩2
→→
→
a
得a －b ＝－4. 答案 －4
10．复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ) 满足条件|z －4i|＝|z ＋2|，则2＋4的最小值为________．
解析 方程|z －4i|＝|z ＋2|表示线段Z 1Z 2(Z 1(0,4)、Z 2(－2,0)) 的中垂线， 易求其方程为x ＋2y ＝3. ∴2＋4＝2＋22²2＝2＝22＝2. 当且仅当2＝2， 即x ＝2y 且x ＋2y ＝3，
33
即x ＝，y ＝42.
24答案 2
x
2y
3
x y
x y x 2y
m 2＋m
11．设m ∈R ，复数z 1(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取
m ＋2
值范围．
m 2＋m
解 因为z 1＝＋(m －15)i ，
m ＋2z 2＝－2＋m (m －3)i ，
⎛m ＋m 2⎫＋[(m －15) ＋m (m －3)]i
所以z 1＋z 2＝ ⎪
⎝m ＋2⎭
m 2－m －42＝＋(m －2m －15)i.
m ＋2
因为z 1＋z 2是虚数，
2
所以m －2m －15≠0且m ≠－2， 所以m ≠5且m ≠－3且m ≠－2， 所以m 的取值范围是
(－∞，－3) ∪(－3，－2) ∪(－2,5) ∪(5，＋∞)．
12．设z 1、z 2∈C ，已知|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|2，求|z 1－z 2|.
解 法一 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R ) ，由题设知a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，(a ＋c ) ＋(b ＋d ) ＝2，
又由(a ＋c ) ＋(b ＋d ) ＝a ＋2ac ＋c ＋b ＋2bd ＋d ，可得2ac ＋2bd ＝0. |z 1－z 2|＝(a －c ) ＋(b －d ) ＝a ＋c ＋b ＋d －(2ac ＋2bd ) ＝2， ∴|z 1－z 2|2.
法二 ∵|z 1＋z 2|＋|z 1－z 2|＝2(|z 1|＋|z 2|) ， ∴将已知数值代入，可得|z 1－z 2|＝2， ∴|z 1－z 2|2.
→
→
法三 作出z 1、z 2对应的向量OZ 1、OZ 2，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
→
使OZ 1＋OZ 2＝O Z .
→
→
→
→
→
→
∵|z 1|＝|z 2|＝1，又OZ 1、OZ 2不共线(若OZ 1、OZ 2共线，则|z 1＋z 2|＝2或0与题设矛盾) ， ∴平行四边形OZ 1ZZ 2为菱形． 又∵|z 1＋z 2|2， ∴∠Z 1OZ 2＝90°， 即四边形OZ 1ZZ 2为正方形， 故|z 1－z 2|2.
1．(1－2i)(3＋4i)(－2＋i) 等于
( ) ．
A ．20＋15i C ．－20－15i
B ．20－15i D ．－20＋15i
解析 (1－2i)(3＋4i)(－2＋i) ＝(3＋4i －6i ＋8)(－2＋i) ＝(11－2i)(－2＋i) ＝－22＋11i ＋4i ＋2＝－20＋15i. 答案 D
2．(1＋i) －(1－i) 的值是
( ) ．
A ．－1 024
B ．1 024
20
20
C ．0
20
20
D ．512
210
210
解析 (1＋i) －(1－i) ＝[(1＋i) ]－[(1－i) ]＝ (2i)－(－2i) ＝(2i)－(2i)＝0. 答案 C －133.
＋
36
10
10
10
10
－2＋i 的值是 1＋2i
( ) ．
A ．0 B．1 C．i D．2i
－1＋3
23＋＋]
3
解析 原式＝＝2i ，故选D. 答案 D
－2＋
＋
＝
⎛－1
3i ⎫3 2³⎪
2⎝⎭
3
＋
－2＋
－2＋i 1＋i
i
4．设复数z ＝1＋2i ，则z －2z ＝________.
解析 ∵z ＝1＋2i
∴z －2z ＝z (z －2) ＝(1＋2i)(12i －2) ＝(1＋2i)(－12i) ＝－3. 答案 －3
5．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且为纯虚数，则实数a 的值为________．
解析
2
2
z 1z 2
z 1a ＋2i a ＋＋＝z 23－4i 9＋16a －
＋
25
3a ＋4a i ＋6i －825
＝
a ＋
⎧⎪3a －8＝0，，∴⎨
⎪4a ＋6≠0，⎩
8
∴a 3
8答案
36．计算(1)
⎛1＋i 6＋2＋3i
⎝1－i ⎭3－2i
3⎫4⎛1
(2) ＋⎪. ⎝22⎭解 (1)原式＝i ＝－1＋i.
3⎫2⎤2⎛13⎫2⎡⎛1
(2)法一 原式＝⎢ i ⎪⎥＝ －i ⎪
⎣⎝22⎭⎦⎝22⎭
6
233－2
＝i 2
2＋32＋3i
13
＝－i.
223⎫3⎛1
法二 ∵ －⎪＝1，
⎝22⎭
3⎫4⎛13⎫3⎛13⎫⎛1
∴原式＝ －⎪＝ －i ⎪ －⎪
⎝22⎭⎝22⎭⎝22⎭13 ＝－i.
22
综合提高
－
7．复数z 满足(1＋2i) z ＝4＋3i ，那么z ＝
( ) ．
A ．2＋i C ．1＋2i
4＋3i 4＋3i
解析 z 1＋2i 1＋2i ∴z ＝2＋i. 答案 A
1－3i 1
8．若x ＝，那么2＝
2x －x
( ) ．
A ．－2 B．－1 C．1＋3i D．1 解析 ∵x －x ＝x (x －1) ＝i)(1＋3i) ＝－1， 所以
1
＝－1，故选B. x －x
2
2
限时25分钟
B ．2－i D ．1－2i
1－2i 1
＝(10－5i) ＝2－i ，
1－2i 5
－
13i ⎛13i ⎫1－3i －1－3i 1
. ²＝－(1－31⎪＝2224⎝2⎭
答案 B
9．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ) ，i 为虚数单位，则下列结论正确的是________．
①|z －z |＝2y ；②z ＝x ＋y ； ③|z －z |≥2x ；④|z |≤|x |＋|y |.
解析 ∵z ＝x －y i(x ，y ∈R ) ，|z －z |＝|x ＋y i －x ＋y i|＝|2y i|＝|2y |，∴①不正确；对于②，z ＝x －y ＋2xy i ，故不正确；∵|z －z |＝|2y |≥2x 不一定成立，∴③不正确；对于④，|z |＝x ＋y ≤|x |＋|y |，故④正确．
2
2
22
2
2
答案 ④
⎛11⎫10．设f (z ＋i) ＝1－z ，z 1＝1＋i ，z 2＝1－i ，则f ⎪＝________.
⎝z 1z 2⎭
解析 令z ＋i ＝t ，得z ＝t －i ，
－
－
f (t ) ＝1－(t －i ) ＝1－i －t ，
111
＋＋z 1z 21＋i 1－i 1
1－i ＋1＋i ＋
－
2
1. 2
⎛11⎫∴f ⎪＝f (1)＝1－i －1＝－i. ⎝z 1z 2⎭
答案 －i 11．复数z ＝
2
＋
＋
2＋i
2
2
－
z ＋
2
a z
解 由z
a z a z
z ＝
＋
＋2＋i
2
－
＝
2i ＋3－3i 3－i
＝1－i.
2＋i 2＋i
∵a 为纯虚数，∴设a ＝m i(m ≠0)，则
a m i m i －m
z 2＋(1－i) 2＋＝－2i ＋
z 1－i 2
⎛⎫＝－ －2⎪i
m －，⎧⎪2∴⎨m ⎪⎩2－2＝0，
m m
32
∴m ＝4，∴a ＝4i.
12．复数z ＋a ＋b
－
且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z 对应
1－i
的点是正三角形的三个顶点，求实数a 、b 的值． 解 z ＝
＋
＋
1－i
a ＋b i)
＝2i²i(a ＋b i) ＝－2a －2b i. 由|z |＝4，得a ＋b ＝4，
－
∵复数0，z ，z 对应的点构成正三角形，
2
2
①
－∴|z －z |＝|z |.
把z ＝－2a －2b i 代入化简得|b |＝1. 又∵z 对应的点在第一象限，∴a
②
⎧a ＝－3，
⎩b ＝－1.
故所求值为a 3，b ＝－1