分形之海岸线

海岸线与分形

（刘婷 数学科学学院 06205006）

我们生活的世界里充满了分形，喧闹的都市生活、美轮美奂的自然风光、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线，坑坑洼洼的地面等都到处有分形的影子。电话卡、头巾、书签、包装材料的图案也表现了丰富的现象（如图1）。那么到底是什么导致分形几何的产生？分形几何又与我们平时学习的几何有什么不同呢？我们试图给出问题的答案。

图1

一、经典几何的特点

两千多年来，古希腊人创立的几何学，一直是人们认识自然物体形状的有力工具。经典几何学所描绘的都是由直线或曲线、平面或曲面、平直体或曲体所构成的各种几何形状，它们是现实世界中物体形状的高度抽象。天文学家们用这种几何知识构造了多种宇宙理论，建筑师们利用它设计出大量宏伟的建筑；以致于近代物理学的奠基者、伟大的科学家伽利略极其权威地断言：大自然的语言是数学，“它的标志是三角形、圆和其他几何图形”。在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以稍加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。在数学上, 把欧氏空间的几何对象连续地拉伸、压缩、扭曲, 维数也不变, 这就是拓扑维数。

自然界的现象通常都发生在某种特征标度上，如特征长度、特征时间等特征尺度上。科学家关于事物特征的描述最基本的莫过于问它有多大，持续多久。这都是依赖于标度（尺度）的一些基本性质。每种事物都有其特征尺度，例如天体物理学家描写的宇宙结构，大约在数百万光年的范围上；生物学家认识的微生物的结构大约有微米的长度；物理学家研究的夸克，约在10-13厘米的数量级上。每一个具体事物，都与特定的尺度相联系。几厘米长的昆虫与几米、十几米大小的巨兽在形态、结构上必然极不相同，否则它们就无法生存和繁衍。《楚辞·卜居》中说：“夫尺有所短，寸有所长”。这也是说事物都有其自己的特征尺度，要用适宜的尺去测度。用寸来量度细菌，用尺来量度万里长城，前者失之过长，后者又嫌太短。所以，标度是十分重要的。试图对自然现象做定量描写时，就必须从特征尺度入手。一个好的理论模型，往往要涉及三个层次：首先是由特征尺度确定的基本层次；更大尺度的环境就用“平均场”和决定外力的“位势”等描写；更小尺度上的相互作用，则以“摩擦系数”、“扩散系数”等得自于实验的“常数”来表征。如果要从理论上对这些系数做出阐明和推算，那就必须从物质运动的更深入细微的层次上进行探讨。

传统几何学的功能并不是那么大的，它所描述的只是那些具有光滑性即可微性（可切性），至少是分段分片光滑的规则形体。这类形体在自然界里只占极少数。自然界里普遍存在的几何形体大多数是不规则的、不光滑的、不可微的，甚至是不连续的。如蜿蜒起伏的山脉，曲折凸凹的海岸线，坑坑洼洼的地面，枝干纵横的树枝，团块交叠的浮云，孔穴交错的蛋糕„„真是奇形怪状，千姿百态。这些形状和经典几何学所描述的形状，真是大相径庭。对于了解自然界的复杂性来讲，欧几里得几何学是一种不充分、不具有普遍性的抽象。

二、分形几何产生的前奏

二十世纪七十年代，法国数学家曼德尔勃罗特在他的著作中讨论英国海岸线的长度。他发现，关于“某一段海岸线有多长”这一问题，初看起来，似乎是一个很简单的问题，但要明确回答，极不容易．他最初是在英国科学家理查逊的一篇鲜为人知的文章中遇到海岸线问题的．理查逊曾探索过大量关于自然界复杂现象的问题，并对海岸线和国境线的测量问题感到怀疑，他核查了西班牙、葡萄牙、比利时和荷兰的百科全书，发现这些国家对他们共同边界长度的估计相差竞达20%！曼德勃罗对这个问题发生兴趣，并进行了分析研究，提出“英国海岸线有多长”的问题，他对此问题的回答是：海岸线的长度是不确定的！海岸线的长度取决于测量时所用的尺度．为什么是这样呢？

设想测量员用两脚规，把它张成一定的长度，例如r 1，然后沿着海岸线，一步一步地测量，所得数为N r1．则海岸线在这一尺度下的近似长度为l 1=Nr1×r 1，说“近似”，是出为测量时忽略了小于r 1的那些些曲曲弯弯的曲线．见图1．

如果把两脚规张成较r 1小的长度，比如r 2(r2＜r 1＝．再沿着海岸线一步一步地测量，所得数为N r2．则海岸线在该尺度下的近似长度为l 2=Nr2×r 2，“近似”理由同上，此时，那些小于r 2的弯弯曲曲的海岸线仍被忽略了，„„如此下去，会得到关于海岸线长度的一系列不同结果：l 1，l 2，„，l n ，„，并且显然有l 1＜l 2＜„＜l n ＜„．于是便产生了以下问题：海岸线长度(欧氏几何中的传统长度概念) 是无穷？不能精确测量？如何解决这一问题？显然，传统的几何方法和计算已不适合这类不规则曲线(或图形) 了．

这个问题的解决取决于测量所使用的尺度。采用公里做单位，一些几米和几十米的曲折会被忽略，如果采用米做单位，测得的长度会曾加，但厘米以下的量仍然无法反映，测量单位的缩小使测得的长度曾加，由于在自然尺度之间有许多个数量级，这种曾加不会停止，海岸线的长度会趋于无限长。也就是说，长度不是海岸线的定量特征。

曼德勃罗经研究发现，虽然海岸线长度不能测量，但它却具有某种特征性的“粗糙度”，在给出构造图形的某种技巧或给出某些数据后，可计算出它的“维数”，从而解决了海岸线的测量问题，使得用传统方法测量时，在不同尺度下不规则的程度保持不变，即通过计算“维数”的方法，去刻画一类事物的不规则性．这里的“维数”，粗略地说，是对一个集合允满空间程度的一种描述。Cantor 在1883年构造了如下一类集合：取一段欧式长度为l 的直线段，将该线段三等分，去掉中间的一段，剩下两段。再将剩下的两段分别三等分，各去掉中间的一段，剩下四段。将这个操作进行下去，直至无穷，可得到一个离散的点集，点数趋于无穷多，而长度趋于零。经无限次操作所得到的离散点集称为Cantor 集。瑞典数学家科赫（H.von Koch）在1904年提出了一种曲线，它的生成方法是把一条直线段分成三段，将中间的一段用夹角为60度的两条等长折线来代替，形成一个生成元，然后再把每个直线段用生成元进行代换，经无穷次迭代后就呈现出一条有无穷多弯曲的Koch 曲线。它们都是经典几何无法描述的图形，是一种“只有皮没有肉”的几何集合。 它们都具有无穷多个自相似的内部结构，任何一个分割后的图形放大后都是原来图形的翻版。国数学家曼德尔勃罗特这位计算机和数学兼通的人物，对分形几何产生了重大的推动作用。他在1975、1977和1982年先后用法文和英文出版了三本书，特别是《分形——形、机遇和维数》以及《自然界中的分形几何学》，开创了新的数学分支——分形几何学。

三、分形几何的内容

分形几何突破了经典几何的束缚，它把目光也投射在了那些极不规则的的，处处不光滑的图形，否定了关于事物大小和久暂的区分的绝对标度性，不具有特征标度，它是跨越尺度的对称性；它在不同测量尺度上看去差不多一样，是一种“无穷嵌套的自相似结构”，因此对于大自然的某些现象，去寻求特征尺度是毫无意义的。

分形几何的思想是客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，成为自相似性。例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。“大自然在所有标度上同时起作用”。自然界的许多事物在其内部的各个层次上都具有自相似的结构，在一个花样内部还有更小的同样的花样。“分形”就意味着“自相似”。一个几何图形，如果它的组成部分与图形整体之间有某种相似性，就称为“分形”。“自相似”的思想在人类文化的各个方面都有所反映。中国古代就有“袖里有乾坤，壶中有日月”和“一尘一世界”的说法。”德国哲人莱布尼兹(G.W.F.VonLeibniz1646～1716) 也曾设想，在一滴水里包含着多姿多彩的世界，其中又有许多滴水，每滴水又各有新的世界。

分维, 作为分形的定量表征和基本参数, 是分形理论的又一重要原则。分维, 又称分形维或分数维, 通常用分数或带小数点的数表示。长期以来人们习惯于将点定义为零维, 直线为一维, 平面为二维, 空间为三维, 爱因斯坦在相对论中引入时间维, 就形成四维时空。对某一问题给予多方面的考虑, 可建立高维空间, 但都是整数维。在数学上, 把欧氏空间的几何对象连续地拉伸、压缩、扭曲, 维数也不变, 这就是拓扑维数。然而, 这种传统的维数观受到了挑战。曼德布罗特曾描述过一个绳球的维数:从很远的距离观察这个绳球, 可看作一点(零维); 从较近的距离观察, 它充满了一个球形空间(三维); 再近一些, 就看到了绳子(一维); 再向微观深入, 绳子又变成了三维的柱, 三维的柱又可分解成一维的纤维。那么, 介于这些观察点之间的中间状态又如何呢? 显然, 并没有绳球从三维对象变成一维对象的确切界限。数学家豪斯道夫(Hausdoff)在1919年提出了连续空间的概念, 也就是空间维数是可以连续变化的, 它可以是整数也可以是分数, 称为豪斯道夫维数。记作Df, 一般的表达式为:K=LDf,也作K=(1/L)-Df,取对数并整理得Df=lnK/lnL,其中L 为某客体沿其每个独立方向皆扩大的倍数,K 为得到的新客体是原客体的倍数。显然,Df 在一般情况下是一个分数。因此, 曼德布罗特也把分形定义为豪斯道夫维数大于或等于拓扑维数的集合。

分形几何和欧氏几何的维度又有异曲同工之处。根据相似性来看线段、正方形和立方体的维数。首先把线段、正方形和立方体的边两等分，这样，线段成为长度一半的两条线段，正方形变成边长为原来边长1/2的四个小正方形，而立方体而成为八个小立方体，边长为原来边长的1/2。原来的线段、正方形和立方体分别由2，4，8个把全体分成1/2的相似形组成。而2，4，8可改写成2的1，2，3次方，这里的1，2，3分别与其图形的经验维数相一致。因此对于严格的自相似图形，如果某图形是由把全体缩小为1/a的a D 个相似图形构成的，那么此指数D 就具有维度的意义。此维数被称为相似维数。