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求正十二面体和正二十面题的体积

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求正十二面体和正二十面题的体积

正十二面体

正二十面体

正十二面体是由12个正五边形组成，正二十面体是由20个正三角形组成.要求这两个正多面体的体积，先假设多面体的中心为点O，这样问题就转化为：求O为顶点的12个全等的五棱锥的体积和与O为顶点的20个全等的三棱锥的体积和.而求五棱锥的体积和三棱锥的体积就需要求出正十二面体和正二十面体的相邻的二面角大小. 先来证明一个引理：在三面角OABC中，设AOC，BOC，AOB，

AOB.如下图所示

如图建系，其中ODMN，AO平面P，则AOD

2

，问题就转化为求DOx.

假设DOx，由AOB，可以求得OA,OB方向的单位向量为

asincos,cos,sinsin

bsin,cos,0

再由cos

abcoscossinsincos，也就是已知三面角,和，

可以求出二面角的大小，即

coscoscossinsincos①

其中二面角和相对.

看正十二面体，假设正五边形的边长为1，正五边形每个角的大小都为108，而每个顶点都有3个正五边形围绕.可以令108，由式①得

cos1081cos108

cos

sin2108

而 所以



cos18sin722sin36cos364sin18cos1812sin218 8sin3184sin1812sin1814sin2182sin1810

解得sin18代入有





5115

sin108cos18，从而cos108sin18，，

448

cos1081cos1085

cos 2

sin1085

也就是说正十二面体的二面角大小的余弦值为

.

5



可以求得每个正五边形中心到一边中点的距离h中心点O到每个正五边形的中心距离dhtan

2

costan21cos

从而

15

tan54，而正五边形的面积Sh，221

tan54tan.再由半角公式 221

2

1

V12V'12Sd4Sd

3

151

 4tan54tan54242

51

tan254

22

51sin54

 22cos5451cos36 22sin365512cos2181

 222sin18cos18

222

157. 4

再看正二十面体，令60，108可得二面角

cos108cos260 cos2

sin603

每个正三角形的面积S，正三角形中心到边的距离h，中心点O到每个正三角

461cos335

形中心的距离dhtan.这样就可以求出单位正二十面

261cos12



体的体积

1

V20V'20Sd

3

13320

3412155.

12


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