中考模拟(3)2016.03.24

15．如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，动点P 从A 点出发，按A →B →C 的方向在AB 和BC 上移动，记PA=x，点D 到直线PA 的距离为y ，则y 关于x 的函数图象大致是(

)

A ． B． C． D．

16．将一个无盖正方体纸盒展开（如图1），沿虚线剪开，用得到的5张纸片（其中4张是全等的直角三角形纸片）拼成一个正方形（如图2），则所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是(

)

A ． B ． C ． D ．

19．把边长相等的正五边形ABGHI 和正六边形ABCDEF 的AB 边重合，按照如图的方式叠合在一起，连接EB ，交HI 于点J ，则∠BJI 的大小为__________．

20．如图，∠AOB 是一角度为10°的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：EF 、FG 、GH …，且OE=EF=FG=GH…，在OA 、OB 足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为__________．

23．甲、乙两地之间有一条笔直的公路L ，小明从甲地出发沿公路L 步行前往乙地，同时小亮从乙地出发沿公路L 骑自行车前往甲地，小亮到达甲地停留一段时间，原路原速返回，追上小明后两人一起步行到乙地．设小明与甲地的距离为y 1米，小亮与甲地的距离为y 2米，

小明与小亮之间的距离为s 米，小明行走的时间为x 分钟．y 1、y 2与x 之间的函数图象如图1，s 与x 之间的函数图象（部分）如图2．

（1）求小亮从乙地到甲地过程中y 2（米）与x （分钟）之间的函数关系式；

（2）求小亮从甲地返回到与小明相遇的过程中s （米）与x （分钟）之间的函数关系式； （3）在图2中，补全整个过程中s （米）与x （分钟）之间的函数图象，并确定a 的值．

24．为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用，现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：

（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为__________，图①中m 的值为__________ （Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；

（Ⅲ）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买35号运动鞋多少双？

25．如图，已知抛物线经过A （1，0），B （0，3）两点，对称轴是x=﹣1．

（1）求抛物线对应的函数关系式；

（2）动点Q 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA 上运动，同时动点M 从O 点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB 上运动，过点Q 作x 轴的垂线交线段AB 于点N ，交抛物线于点P ，设运动的时间为t 秒．

①当t 为何值时，四边形OMPQ 为矩形；

②△AON 能否为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．

26．（14分）如图，⊙O 的半径为1，直线CD 经过圆心O ，交⊙O 于C 、D 两点，直径AB ⊥CD ，点M 是直线CD 上异于点C 、O 、D 的一个动点，AM 所在的直线交于⊙O 于点N ，点P 是直线CD 上另一点，且PM=PN．

（1）当点M 在⊙O 内部，如图一，试判断PN 与⊙O 的关系，并写出证明过程；

（2）当点M 在⊙O 外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由；

（3）当点M 在⊙O 外部，如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分的面积．

16【考点】动点问题的函数图象．

【专题】压轴题；动点型．

【分析】①点P 在AB 上时，点D 到AP 的距离为AD 的长度，②点P 在BC 上时，根据同角的余角相等求出∠APB=∠PAD ，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y 与x 的关系式，从而得解．

【解答】解：①点P 在AB 上时，0≤x ≤3，点D 到AP 的距离为AD 的长度，是定值4； ②点P 在BC 上时，3＜x ≤5，

∵∠APB+∠BAP=90°，

∠PAD+∠BAP=90°，

∴∠APB=∠PAD ，

又∵∠B=∠DEA=90°，

∴△ABP ∽△DEA ， ∴=， 即=，

∴

y=，

纵观各选项，只有B 选项图形符合．

故选：B ．

【点评】本题考查了动点问题函数图象，主要利用了相似三角形的判定与性质，难点在于根据点P 的位置分两种情况讨论．

19【考点】剪纸问题．

【专题】应用题；压轴题．

【分析】本题考查了拼摆的问题，仔细观察图形的特点作答．

【解答】解：由图可得，所剪得的直角三角形较短的边是原正方体棱长的一半，而较长的直角边正好是原正方体的棱长，

所以所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是1：2．

故选A ．

【点评】本题考查了剪纸的问题，难度不大，以不变应万变，透过现象把握本质，将问题转化为熟悉的知识去解决，同时考查了学生的动手和想象能力．

20【考点】多边形内角与外角．

【分析】根据正五边形的内角，可得∠I ，∠BAI 的值，根据正六边形，可得∠ABC 的度数，根据正六边形的对角线，可得∠ABJ 的度数，根据四边形的内角和公式，可得答案．

【解答】解：由正五边形内角，得

∠I=∠

BAI=

由正六边形内角，得

∠ABC=

BE 平分∠ABC ，

∠ABJ=60°， =108°， =120°，

由四边形的内角和，得

∠BJI=360°﹣∠I ﹣∠BAI ﹣∠ABJ

=360°﹣108°﹣108°﹣60°

=84°．

故答案为：84°．

【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用了正五边形的内角，正六边形的内角，四边形的内角和公式．

23【考点】等腰三角形的性质．

【专题】应用题．

【分析】根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角形的内角和定理不难求解．

【解答】解：∵添加的钢管长度都与OE 相等，∠AOB=10°，

…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，∴∠GEF=∠FGE=20°，即第一个等腰三角形的底

角是10°，第二个是20°，第三个是30°，四个是40°，五个是50°，六个是60°，七个是70°，八个是80°，九个是90°就不存在了．所以一共有8个．

故答案为8．

【点评】此题考查了三角形的内角和是180度的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性质；发现并利用规律是正确解答本题的关键．

【考点】一次函数的应用．

【专题】压轴题．

【分析】（1）设小亮从乙地到甲地过程中y 2（米）与x （分钟）之间的函数关系式为y 2=k2x+b，由待定系数法根据图象就可以求出解析式；

（2）先根据函数图象求出甲乙的速度，然后与追击问题就可以求出小亮追上小明的时间，

就可以求出小亮从甲地返回到与小明相遇的过程中s （米）与x （分钟）之间的函数关系式；

（3）先根据相遇问题建立方程就可以求出a 值，10分钟甲、乙走的路程就是相距的距离，14分钟小明走的路程和小亮追到小明时的时间就可以补充完图象．

【解答】解：（1）设小亮从乙地到甲地过程中y 2（米）与x （分钟）之间的函数关系式为y 2=k2x+b，由图象，得

， 解得：，

∴y 2=﹣200x+2000；

（2）由题意，得

小明的速度为：2000÷40=50米/分，

小亮的速度为：2000÷10=200米/分，

∴小亮从甲地追上小明的时间为（24×50）÷=8分钟，

∴24分钟时两人的距离为：S=24×50=1200，32分钟时S=0，

设S 与x 之间的函数关系式为：S=kx+b1，由题意，得

， 解得：，

∴S=﹣150x+4800（24≤x ≤32）；

（3）由题意，得

a=2000÷=8分钟，

当x=24时，S=1200，

设经过x 分钟追上小明，则200x ﹣50x=1200，解得x=8，此时的总时间就是24+8=32分钟．

故描出相应的点就可以补全图象．

如图：

【点评】本题是一道一次函数的综合试题，考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，追击问题与相遇问题在实际问题中的运用，描点法画函数图象的运用，解答时灵活运用路程、速度、时间之间的数量关系是关键．

24【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；中位数；众数．

【专题】图表型．

【分析】（Ⅰ）根据条形统计图求出总人数即可；由扇形统计图以及单位1，求出m 的值即可；

（Ⅱ）找出出现次数最多的即为众数，将数据按照从小到大顺序排列，求出中位数即可； （Ⅲ）根据题意列出算式，计算即可得到结果．

【解答】解：（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为6+12+10+8+4=40，图①中m 的值为100﹣30﹣25﹣20﹣10=15；

故答案为：40；15；

（Ⅱ）∵在这组样本数据中，35出现了12次，出现次数最多，

∴这组样本数据的众数为35；

∵将这组样本数据从小到大得顺序排列，其中处于中间的两个数都为36， ∴中位数为=36；

（Ⅲ）∵在40名学生中，鞋号为35的学生人数比例为30%，

∴由样本数据，估计学校各年级中学生鞋号为35的人数比例约为30%，

则计划购买200双运动鞋，有200×30%=60双为35号．

【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．

【考点】二次函数综合题．

【专题】压轴题．

【分析】（1）利用顶点式、待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）①当四边形OMPQ 为矩形时，满足条件OM=PQ，据此列一元二次方程求解； ②△AON 为等腰三角形时，可能存在三种情形，需要分类讨论，逐一计算．

【解答】解：（1）根据题意，设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+k，

∵点A （1，0），B （0，3）在抛物线上， ∴，

解得：a=﹣1，k=4，

∴抛物线的解析式为：y=﹣（x+1）2+4．

（2）①∵四边形OMPQ 为矩形，

∴OM=PQ，即3t=﹣（t+1）2+4，

整理得：t 2+5t﹣3=0，

解得t=

∴当t=，由于t=＜0，故舍去， 秒时，四边形OMPQ 为矩形；

②Rt △AOB 中，OA=1，OB=3，∴tanA=3．

若△AON 为等腰三角形，有三种情况：

（I ）若ON=AN，如答图1所示：

则Q 为OA 中点，OQ=OA=，

∴t=；

（II ）若ON=OA，如答图2所示：

设AQ=x，则NQ=AQ•tanA=3x，OQ=OA﹣AQ=1﹣x ，

在Rt △NOQ 中，由勾股定理得：OQ 2+NQ2=ON2，

即（1﹣x ）2+（3x ）2=12，解得x 1=，x 2=0（舍去），

∴x=，OQ=1﹣x=，

∴t=；

（III ）若OA=AN，如答图3所示：

设AQ=x，则NQ=AQ•tanA=3x，

在Rt △ANQ 中，由勾股定理得：NQ 2+AQ2=AN2，

即（x ）2+（3x ）2=12，解得x 1=

∴OQ=1﹣x=1﹣

∴t=1﹣． ， ，x 2=﹣（舍去），

综上所述，当t 为秒、秒、（1﹣）秒时，△AON 为等腰三角形．

【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、解一元二次方程、勾股定理、解直角三角形、矩形性质、等腰三角形的性质等知识点，综合性比较强，有一定的难度．第（2）问为运动型与存在型的综合性问题，注意要弄清动点的运动过程，进行分类讨论计算．

24【考点】二次函数综合题．

【专题】压轴题．

【分析】（1）利用顶点式、待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）①当四边形OMPQ 为矩形时，满足条件OM=PQ，据此列一元二次方程求解； ②△AON 为等腰三角形时，可能存在三种情形，需要分类讨论，逐一计算．

【解答】解：（1）根据题意，设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+k，

∵点A （1，0），B （0，3）在抛物线上， ∴，

解得：a=﹣1，k=4，

∴抛物线的解析式为：y=﹣（x+1）2+4．

（2）①∵四边形OMPQ 为矩形，

∴OM=PQ，即3t=﹣（t+1）2+4，

整理得：t 2+5t﹣3=0，

解得t=

∴当t=，由于t=＜0，故舍去， 秒时，四边形OMPQ 为矩形；

②Rt △AOB 中，OA=1，OB=3，∴tanA=3．

若△AON 为等腰三角形，有三种情况：

（I ）若ON=AN，如答图1所示：

则Q 为OA 中点，OQ=OA=，

∴t=；

（II ）若ON=OA，如答图2所示：

设AQ=x，则NQ=AQ•tanA=3x，OQ=OA﹣AQ=1﹣x ，

在Rt △NOQ 中，由勾股定理得：OQ 2+NQ2=ON2，

即（1﹣x ）2+（3x ）2=12，解得x 1=，x 2=0（舍去），

∴x=，OQ=1﹣x=，

∴t=；

（III ）若OA=AN，如答图3所示：

设AQ=x，则NQ=AQ•tanA=3x，

在Rt △ANQ 中，由勾股定理得：NQ 2+AQ2=AN2，

即（x ）2+（3x ）2=12，解得x 1=

∴OQ=1﹣x=1﹣

∴t=1﹣．

）秒时，△AON 为等腰三角形． ， ，x 2=﹣（舍去）， 综上所述，当t 为秒、秒、（1﹣

【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、解一元二次方程、勾股定理、解直角三角形、矩形性质、等腰三角形的性质等知识点，综合性比较强，有一定的难度．第（2）问为运动型与存在型的综合性问题，注意要弄清动点的运动过程，进行分类讨论计算．

26【考点】圆的综合题．

【专题】压轴题．

【分析】（1）根据切线的判定得出∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA 进而求出即可；

（2）根据已知得出∠PNM+∠ONA=90°，进而得出∠PNO=180°﹣90°=90°即可得出答案； （3）首先根据外角的性质得出∠AON=30°进而利用扇形面积公式得出即可．

【解答】（1）PN 与⊙O 相切．

证明：连接ON ，

则∠ONA=∠OAN ，

∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN ．

∵∠AMO=∠PMN ，∴∠PNM=∠AMO ．

∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠OAN=90°．

即PN 与⊙O 相切．

（2）成立．

证明：连接ON ，

则∠ONA=∠OAN ，

∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN ．

在Rt △AOM 中，

∵∠OMA+∠OAM=90°，

∴∠PNM+∠ONA=90°．

∴∠PNO=180°﹣90°=90°．

即PN 与⊙O 相切．

（3）解：连接ON ，由（2）可知∠ONP=90°．

∵∠AMO=15°，PM=PN，∴∠PNM=15°，∠OPN=30°，

∴∠PON=60°，∠AON=30°．

作NE ⊥OD ，垂足为点E ，

则NE=ON•sin60°=1×=．

S 阴影=S△AOC +S扇形AON ﹣S △CON =OC •OA+

=×1×1+

=

+π﹣π﹣×1×．

CO •NE

【点评】此题主要考查了扇形面积公式以及切线的判定等知识，熟练根据切线的判定得出对应角的度数是解题关键．