5.求和比例

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高考数学母题

[母题]Ⅰ(10-05):求和比例(198) 549

求和比例

年全国高考试题,1999年上海高考试题,2004年全国高中数学联赛河南预赛试题)

(2n -1)(a 1+a 2n -1)

2n -12n -1S n S 2n -1a 2n 2(2n -1) =[解析]:由=. =⇒⇒⇒n =(2n -1)(b 1+b 2n -1) 3n -1T n 3n +1T 2n -13(2n -1) +1b n 3n -1

2[点评]:由等差数列{an }的求和性质:S2n-1=(2n-1)an 可得其比例性质:①

(2m+2n-1)⋅S (2m -1) +2n 2n -1a n S S 2n -1⋅=; ②若2m -1=t,则= a k a k +n S 2m -12m -1a m S a (2m -1)(m -k ) +(m +n -k )(t +1-2m ) ; ③等差数列{an }和{bn }的前n 项和分别为S n ,T n . 则2n -1=n .

(2m -1)(m -k ) +n (t +1-2m ) T 2n -1b n

1a 55S (A)1(B)-1(C)2(D) =, 则9=( ) 2a 39S 5年福建高考试题) 设S n 是等差数列{an }的前n 项的和, 若

[解析]:由S 9=S 59a 595=⋅=1.故选(A). 5a 359

注:等差数列{an }的比例性质①是求和性质

:S2n-1=(2n-1)an 的直接结果, 应理解掌握.

年全国高中数学联赛天津预赛试题) 等差数列{an }前n 项的和为S n , 已知S 25S =5,则65的值是 a 23a 43

( ) (A)125 (B)85 (C)45 (D)35

[解析]:由S 25=5⇒a 23a +20d a +8a 1325a 1365a 339a S =5⇒a 23=5a13⇒a 13+10d=5a13⇒5d=2a13⇒33=13=13==45.⇒65=a 23a 43a 43a 13+30d a 13+12a 1313a 43

故选(C). 注:等差数列{an }的比例性质②无须记忆, 但要掌握其算法程序及其解题原理.

年湖北高考试题) 己知两个等差数列{an }和{bn }的前n 项和分别为A n ,B n , 且A n 7n +45a =, 则使n 为B n b n n +3

整数的正整数n 的个数是( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5

[解析]:由A 2n -17(2n -1) +45A n 7n +45(2n -1) a n 7n +19a 12===∈N +⇒n+1=2,3,4,6,12.故选(D). ⇒⇒⇒n

=7+B n B 2n -1n +1n +1(2n -1) +3n +3(2n -1) b n b n

注:对等差数列{an }和{bn }的前n 项和的比问题, 有两种解法, 或利用比例性质③, 或设S n 与T n . 1.(2009年全国Ⅱ高考试题) 设等差数列{an }的前n 项和为S n , 若a 5=5a3, 则S 9= . S 5

2.(2013年全国高中数学联赛天津预赛试题) 等差数列{an }前n 项的和为S n , 已知S 25S S =5,45=25,则65的值是( ) a 23a 33a 43

(A)125 (B)85 (C)45 (D)35

3.(1995年第六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二) 试题) 设等差数列{an }与{bn }的前n 项和分别为S n 和T n , 并且n +2S n = T n 3n +4

550 [母题]Ⅰ(10-05):求和比例(198) 对于一切n 都成立, 则a 12= . b 12

3n +1S n =, T n 2n +74.(2002年第十三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二) 试题) 已知两个等差数列{an }和{bn }的前n 项和S n ,T n 的比

则a 2n +1= (用n 表示). b 2n +1

5.(2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛(高一) 试题) 等差数列{an }、{bn }的前n 项的和分别为S n 、T n , 且

则S n 3n -3=, T n 2n +33627a 6=( ) (A) (B)1 (C) (D) 2523b 6

6.(2011年全国高中数学联赛福建初赛试题) 设S n 、T n 分别为等差数列{an }、{bn }的前n 项和, 且

a 11= . b 6+b 15a S n 2n +1=, 则10+ b 3+b 18T n 4n -2

7.(2004年全国高中数学联赛河南初赛试题) 等差数列{an }、{bn }的前n 项和分别为S n 、T n , 对一切正整数n, 都有则a 7等于 . b 92n S n =, T n 3n +1

8.(2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛(高一) 试题) 已知等差数列{an }的前n 项和为S n , 等差数列{bn }的前n 项和为T n , 且a 2n S n =, 则8= . b 6T n 3n +7

S n = T n 9.(2014年全国高中数学联赛江西预赛试题) 等差数列{an },{bn }的前n 项和分别为S n ,T n , 若对任意的正整数n 都有

5n -3a , 则20= . 2n +1b 7

10.(2014年全国高中数学联赛陕西预赛试题) 已知数列{an }、{bn }的前n 项和分别为S n 、T n 且对于一切正整数n, 都有a n 2n -1S =, 则6= .

b n 3n +1T 5

1. 解:由a 5=5a3⇒S 99a 5522S a 45a 23==9.2. 解:由45=25⇒=25⇒23=⇒9a 23=5a33=5(a23+10d)⇒2a 23=25d⇒d=a 23= 2525S 55a 3a 33a 339a 33

⋅a 33a 332n +12565a 33S a S a 529a a 33=a 33⇒33====45.故选(C). 3. 解:由n =2n -1=. ⇒65=⇒12=94513a 43b 1273a 43a 33+10d a +a a 43b n T 2n -16n +133339

12n +46n -66a S a n S 2n -16n -2a a ==. 5. 解:由n =2n -1=⇒2n +1=⇒6=. 故选(C). 8n +94n +1b 2n +1b n T 2n -14n +5b n T 2n -1b 654. 解:由

6. 解:由a +a S a 10411a a 112+=1011=20=. 7. 解:设S n =2kn,T n =kn(3n+1)⇒a 7=26k,b9=52k⇒7=. b 1+b 20T 2078b 3+b 18b 6+b 15b 92

28. 解:设S n =2kn,T n =kn(3n+7)⇒a 8=30k,b6=40k⇒

10. 设a n =k(2n-1),bn =k(3n+1)⇒S 6=36k,T5=50k⇒

a 8364a =. 9. 解:设S n =kn(5n-3),Tn =kn(2n+1)⇒20=. 9b 64b 7S 618=. T 525