测试技术课后题答案3测量系统

习题3 测量系统的特性

3.1说明线性系统的频率保持性在测量中的作用。

3.2在使用灵敏度为80nC/MPa的压电式力传感器进行压力测量时，首先将它与增益为 5mV/nC的电荷放大器相连，电荷放大器接到灵敏度为25mm/V的笔试记录仪上，试求该压力测试系统的灵敏度。当记录仪的输出变化30mm 时，压力变化为多少？

解 总灵敏度

K =80(nC/Mpa)×5(mV/nC)×25/1000(mm/mV)=10(mm/Mpa)

ΔP =30/10=3(Mpa)

3.3把灵敏度为404⨯10-4pC Pa 的压电式力传感器与一台灵敏度调到0. 226m V pC 的电荷放大器相接，求其总灵敏度。若要将总灵敏度调到

10⨯10

-6

mV Pa ，电荷放大器的灵敏度应作如何调整？

解

S=S1 S2=404×10-4 (pC/Pa)×0.226(mV/pC)=9.13×10-3 (mV/Pa) S 2= S /S1=10×10-6 (mV/Pa)/ (404×10-4) (pC/Pa) =2.48×10-4 (mV/pC)

3.4 用一时间常数为2s 的温度计测量炉温时，当炉温在200℃—400℃之间，以150s 为周期，按正弦规律变化时，温度计输出的变化范围是多少？

解 温度计为一阶系统，其幅频特性为

A (ω) =

1(ωτ) +1

1(2π150

⨯2) +1

2

2

=

(

12πT

2

τ) +1

=≈0. 9965

T m in =200⨯0. 9965=199. 3℃

T m ax =400⨯0. 9965=398. 6℃

3.5 已知一测试系统是二阶线性系统，其频响函数为

H (j ω) =

1

1-(ωn )+0. 5j (ωn )

2

信号 x (t ) =cos(ω0t +π) +0. 5cos(2ω0t +π) +0. 2cos(4ω0t +π)

2

6

输入此系统，基频ω0=0. 5ωn ，求输出信号y (t ) 。

解 输入信号x (t ) 各次谐波的幅值和相位与频率的关系是

1

频率 ω0, 2ω0, 4ω0 幅值 1 0.5 0.2 相位 π/2 π π/6

H (j ω) =

1

[1-(ω

n )

22

]

(2.34)

+0. 25(ωn )

2

ϕ(ω) =-arctan

0. 5(ωn )1-(ωn )

2

(2.35)

将三个频率成分的频率值：ω

=0. 5ωn 、2ω

=ωn 和4ω0=2ωn 分别代入式

(2.34)和(2.35)，求出它们所对应的幅频特性值和相频特性值:

频率 ω0, 2ω0, 4ω0

|H (jω)|幅值 1.28 2.00 0.32 φ(ω) 相位 –0.1π –0.5π –0.9π 得到时域表达式

y (t ) =1. 28cos(ω0t +0. 4π) +cos(2ω0t +

π

2

) +0. 064cos(4ω0t -0. 7π)

3.6 用一阶系统对100Hz 的正弦信号进行测量时，如果要求振幅误差在10%以内, 时间常数应为多少？如果用该系统对50Ｈz 的正弦信号进行测试时，则此时的幅值误差和相位误差是多少？

解

A (f ) =

1

(2πf ) +1

A (100) =

1

22

≥0. 9

(2π100) +1

22

于是，有 τ≤7. 71⨯10

A (50) =

(7. 71⨯10

1

-4

2

-4

2

≈0. 971

) (2π50) +1

。

幅值相对误差 r =0. 971-1=-0. 029

相位误差 ϕ(ω) =-arctan[(7. 71⨯10)(2π50)]=-13.6

3.7某一阶测量装置的传递函数为1(0. 04s +1) ，若用它测量频率为0.5Hz 、1Hz 、2Hz 的正弦信号，试求其幅度误差。

解 A (f ) =

1

0. 04(2πf ) +1

2

2

-4

=

1

0. 063166f

2

+1

将f =0.5, 1, 2 (Hz) 分别代入，有A (f )=0.9922，0.9698，0.8935

2

相对误差 r = A(f )-1

分别为 r = -0.78%，-3.02%，-10.7%

3.8用传递函数为(0. 0025s +1) 的一阶测量装置进行周期信号测量。若将幅度误差限制在5%以下，试求所能测量的最高频率成分。此时的相位差是多少？

H (j ω) =

1j 0. 0025ω+11(0. 0025ω) +1

2

A (ω) =

1

≥0. 95

于是，有 ω≤

A (ω)

2

-1/0. 0025

=131.5 (1/s)=20.9 Hz,

ϕ(ω) =-arctan(0. 0025ω)

=-arctan(0. 0025⨯131. 5)

φ(ω)=-0.318=-18.2°

3.9设一力传感器作为二阶系统处理。已知传感器的固有频率为800Hz ，阻尼比为0.14，问使用该传感器作频率为400Hz 正弦变化的外力测试时，其振幅和相位角各为多少？

η=400/800=0. 5

A (ω) =

1

(1-η) +(2ζη)

2

2

2

=

1

(1-0. 5) +(2⨯0. 14⨯0. 5)

2

2

2

=1. 31

ϕ(ω) =-arctan

2ζη1-η

2

=-arctan

2⨯0. 14⨯0. 51-0. 5

2

=-0.184=-10.57°

3.10对一个二阶系统输入单位阶跃信号后，测得响应中产生的第一个过冲量的数值为1.5，同时测得其周期为6.28ms 。设已知装置的静态增益为3，试求该装值的传递函数和装置在无阻尼固有频率处的频率响应。

解

最大过冲量 M =1.5/3=0.5

ζ=

(

1πln M

2

=

) +1

2

1(3. 14ln 0. 5

) +1

2

=0.216

ωn =

2πt d

-ζ

=

6. 28⨯10

2⨯3. 14

-3

⨯-0. 216

2

=1024 rad/s

3

H (s ) =

K

s +2ςωn s +ωn

2

2

=

3

s +442s +1024

22

2

H (j ω) =

K

(1-η) +(2ζη)

2

2

=

32⨯0. 216

=6.9

φ(ω) =-arctan

2ςη1-η

2

=-π/2

3-5 一气象气球携带一种时间常数为15秒的温度计，以每秒5米的上升速度通过大气层，设温度随所处的高度每升高30米下降0.15℃的规律而变化, 气球将温度和高度的数据用无线电送回地面, 在3000米处所记录的温度为-1℃。试问实际出现-1℃的真实高度是多少？

解 气球的温度表达式

y (t ) =Kt

取拉氏变换，有 Y (s ) =温度计的传递函数 X (ω) =

1

1

K s

2

τ

s

1

τs +1

=1s

2

令 Z (ω) =

τs +1s 2

⋅-+

τ

2

τs +1

取拉氏反变换，有 z (t ) =t -τ+τe

-t /τ

上升到3000米所需时间 t =3000/5=600s>>τ

所以，温度计对输入的响应延时τ=15s，实际指示-1℃的真实高度

H =3000-5⨯15=2925m

4