高二数学等比数列知识点总结与经典习题

参考答案

例题1、 9n-1

练习1、1、4

2、B

92n －11282

[解析] 8(3＝3(3n －1＝27＝(33∴n ＝4.

3、A [解析] ∵{a n }是等比数列，a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，∴设等比数列的公比为q ，则a 2＋a 3＝(a 1＋a 2) q ＝3q ＝6，∴q ＝2. ∴a 1＋a 2＝a 1＋a 1q ＝3a 1＝3，∴a 1＝1，

∴a 7＝a 1q 6＝26＝64.

4、A [解析] a 4＝a 1q 3＝q 3＝8，∴q ＝2，∴a 5＝a 4q ＝16. 5、C [解析] m －k ＝(a 5＋a 6) －(a 4＋a 7) ＝(a 5－a 4) －(a 7－a 6) ＝a 4(q －1) －a 6(q －1) ＝(q －1)(a 4－a 6) ＝(q －1)·a 4·(1－q 2)

＝－a 4(1＋q )(1－q ) 20，q ≠1) ． 6、B [解析] 设公比为q ，由已知得a 1q 2·a 1q 8＝2(a 1q 4) 2，即q 2＝2， a 12

因为等比数列{a n }的公比为正数，所以q ＝2，故a 1＝q 2，故选B.

2

7、B [解析]

⎪2

由条件知⎨b ＝ac ＝9

⎪⎩c 2＝－9b

2a ⎧＝－b

2

⎧a ⎪≥0，，∵⎨∴a 2>0，∴b

⎪⎩a ≠0，

8、 a n =Sn -S n-1=2n -1-[2n-1 -1]=2n -2n-1=2n-1，a n 2是以a 12=1为首项，4为公比的等比数列；S=4n -1/3 9、（1）a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c组成公比为q 的等比数列，所以q 3=(a+b-c)/(a+b+c) ，q 2=(c+a-b)/(a+b+c) q=(b+c-a)/(a+b+c)，q 3+q2+q=(a+b-c)/(a+b+c)+(c+a-b)/(a+b+c)+(b+c-a)/(a+b+c)=(a+b+c)/(a+b+c)=1 （2）因为a+b+c，b+c-a，c+a-b，a+b-c成等比数列，公比为q 所以(c+a-b)/(b+c-a)=q, (a+b-c)/(c+a-b)=q ∴q=[(c+a-b)+ (a+b-c)]/[(b+c-a) +(c+a-b)]=2a/(2c)=a/c.

例题2、 解a n -a n-1=3n-1 将n=2,3,4,5代入得：a ₂-a ₁=3¹

a ₃-a ₂=3² a ₃-a ₄=3³ ............... a n -a n-1=3n-1

将上面的式子相加得：a n -a 1 = 3¹+3²+3³+.......+3n-1

a n = 1+3¹+3²+3³+.......+3n-1=(1/2)(3ⁿ-1)

1

练习1、C [解析] ∵a 223，a 1成等差数列，∴a 3＝a 2＋a 1， ∵{a n }是公比为q 的等比数列，∴a 1q 2＝a 1q ＋a 1，

5＋1a 3＋a 4a 3＋a 45－11

∴q －q －1＝0，∵q >0，∴q ＝2 ＝＝＝2.

a 4＋a 5(a 3＋a 4)q q

2

2、C [解析] ∵a ，b ，c 成等比数列， ∴b 2＝ac >0. 又∵Δ＝b 2－4ac ＝－3ac

22

3、（a n +2）/2=√(2Sn ) S n =（a n +2）/8 S n+1=（a n+1+2）/8 a n+1=Sn+1-S n =an+12/8+a(n+1)/2-an 2/8-an /2

a n+12/8-a(n+1)/2-an 2/8-an /2=0 a n+12-4a n+1-a n 2-4a n =0 a (n+1)=an +4 a n =-2+4n

例题3、 xS n =x+3x+5x+7x+...+(2n-3)x

234(n-1)

+(2n-1)xn ①

因为 S n =1+3x+5x2+7x3+9x4+...+(2n-1)x(n-1) ② ②-①得,(1-x)Sn =1+2[x+x2+x3+x4+.....+xn-1]-(2n-1)xn (1-x)Sn =1+2[(x-xn )/(1-x)]-(2n-1)xn (1-x)Sn =1+(2x-2xn )/(1-x)-2nxn +xn (1-x)Sn =1+2x/(1-x)-2xn /(1-x)-2nxn +xn (1-x)Sn =1+2x/(1-x)+{1-2n-2/(1-x)}xn S n ={1+(2x)/(1-x)+[1-2n-2/(1-x)]xn }/(1-x)

练习1、在等比数列中，依次每k 项之和仍成等比数列。(S12-S 8)/(S8-S 4)=(S8-S 4)/S4

22

S 12-S 8=(S8-S 4) /S4=(20-4)/4=64

∴S 12=64+20=84

a 3＋a 4

2、B [解析] ∵q ＝＝9，∴q ＝±3，因此a 4＋a 5＝(a 3＋a 4) q ＝27或－27

a 2＋a 1

2

3、B [解析] 设A ＝a 1a 4a 7…a 28，B ＝a 2a 5a 8…a 29，C ＝a 3a 6a 9…a 30，则A 、B 、C 成等比数列，公比为q 10＝210，由条件得A ·B ·C ＝230，∴B ＝210，∴C ＝B ·210＝220.

4、A [解析] 设

b n ＋1a 2a n ＋1n ＋12

b n ＝a n ，则b a ＝(a ) 2＝q 2，∴{b n }成等比数列；

n n n

2a n ＋1c n ＋1(n ＋1)a n ＋1(n ＋1)q

＝2a －a ≠常数；当a

⎧a 2a 10＝6⎧a 2＝2⎧a 2＝3

5、D [解析] a 2a 10＝a 5a 7＝6. 由⎨，得⎨或⎨.

a ＋a ＝5a ＝3a ＝2⎩2⎩10⎩1010a a 32

∴a ＝a 23故选D. 102

⎧2b ＝a ＋c 6、D [解析] ⎨2消去a 得：4b 2－5bc ＋c 2＝0，

⎩a ＝bc

∵b ≠c ，∴c ＝4b ，∴a ＝－2b ，代入a ＋3b ＋c ＝10中得b ＝2，∴a ＝－4.

7、 B[解析] 设前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1q n －3，a 1q n －2，a 1q n －1.

333n －63(n －1) n －1

所以前三项之积a 3＝4. 两式相乘得，a 6＝8，即a 2＝2. 1q ＝2，后三项之积a 1q 1q 1q

又a 1·a 1q ·a 1q ·…·a 1q

2n －1

n n (n －1)n －1n

＝a 1q ＝64，即(a 2) ＝642，即1q

2

2n ＝642. 所以n ＝12.

8、

0

⎧a 2>a 1⎪∵⎨

⎪a 3>a 2⎩

⎧⎪a 1q >a 1

∴⎨2

⎪⎩a 1q ＜a 1q

∴0＜q ＜1.

132

916 [解析] ∵a 1，a 3，a 9成等比∴a 23＝a 1a 9，即(a 1＋2d ) ＝a 1(a 1＋8d ) ，∴d ＝a 1，∴a n ＝a 1＋(n －1) d a 1＋a 3＋a 913 d 13＝nd ，∴＝a 2＋a 4＋a 1016 d 16

⎧2a ＝3＋b ⎧a ＝3⎧a ＝15

⎨⎨ 10、3或27 [解析] 设此三数为3、a 、b ，则⎨，解得或， 2

⎩(a －6)＝3b ⎩b ＝3⎩b ＝27

∴这个未知数为3或27.

b

11、由题意设此四个数为q ，b ，bq ，a ，则有2bq ＝a ＋b ，

ab 2q ＝－80，4

所以这四个数为1，－2,4,10或－5，－2，－5，－8.

⎧⎨⎩

b 3＝－8，

⎧

解得⎨b ＝－2，

⎩q ＝－2

a ＝10，

⎧⎪b ＝－2，或⎨

5q ＝⎪⎩2a ＝－8，

12、A [解析] 解法1：a ＝log 23，b ＝log 26＝log 2 3＋1，c ＝log 2 12＝log 2 3＋2. ∴b －a ＝c －b . 13、C [解析] 依题意，a 1，a 3，a 5，a 7，a 9，a 11构成以2为首项，2为公比的等比数列，故a 11＝a 1×25＝64，a 12＝a 11＋2＝66. 故选C.

a a a p －a n [a 1＋(p －1)d ]－[a 1＋(n －1)d ]

14、A[解析] 设等差数列首项为a 1，公差为d ，则q ＝a a

a n －a k [a 1＋(n －1)d ]－[a 1＋(k －1)d ]k n p －n n －p

＝＝故选A.

n －k k －n

15、D [解析] 由题意可知1是方程之一根，若1是方程x 2－5x ＋m ＝0的根则m ＝4，另一根为4，设x 3，x 4是方程x 2－10x ＋n ＝0的根，则x 3＋x 4＝10，这四个数的排列顺序只能为1、x 3、4、x 4，公比为2、

m 1x 3＝2、x 4＝8、n ＝16n 41是方程x 2－10x ＋n ＝0的根，另一根为9，则n ＝9，设x 2－5x ＋m ＝0之

两根为x 1、x 2则x 1＋x 2＝5，无论什么顺序均不合题意．

16、4,12,36 [解析] ∵a 、b 、c 成等比数列，公比q ＝3，∴b ＝3a ，c ＝9a ，又a ，b ＋8，c 成等差数列，∴2b ＋16＝a ＋c ， 即6a ＋16＝a ＋9a ，∴a ＝4，∴三数为4,12,36.

3 17、 5 [解析] 本题考查等比数列及古典概型的知识．等比数列的通项公式为a n ＝(－3) n －1. 所以此

数列中偶数项都为负值，奇数项全为正值．若a n ≥8，则n 为奇数且(－3) n －1＝3n －1≥8，则n －1≥2，∴n ≥3，

43∴n ＝3,5,7,9共四项满足要求．∴p ＝1－10＝518、原计划三年产值成等差数列，设为a －d ，a ，a ＋d ，d >0，由三年总产值为300万元，得a ＝100万元，又a ＋10－d ，a ＋10，a ＋11＋d 成等比数列，得(a ＋10) 2＝(a ＋10－d )(a ＋11＋d ) ，∴(110－d )(111＋d ) ＝1102⇒d 2＋d －110＝0⇒d ＝10，或d ＝－11(舍) ．∴原计划三年的产值依次为90万元，100万元，110万元．

19、(1)依题意：S n ＝2n －1(n ∈N *) ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n 1＝2n 1. －－

当n ＝1，S 1＝a 1＝1，∴a n ＝2n －1(n ∈N *) ．

n 2－25n 125625 (2)因为b n ＝log 2a n －12＝n －13，所以数列{b n }是等差数列．∴T n ＝2＝2n －228 故当n ＝12或13时，数列{b n }的前n 项和最小．

n 2－25n n 2－27n ＋26(n －1)(n －26) (3)∵T n －b n ＝2－(n －13) ＝

∴1