质量矩阵模式对桥梁自振频率的影响

第22卷　第6期2003年12月兰州铁道学院学报(自然科学版) JOURNA L OF LANZHOU RAI LW AY UNIVERSITY (Natural Sciences ) V ol. 22N o. 6Dec. 2003

　　文章编号:1001-4373(2003) 06-0080-04

质量矩阵模式对桥梁自振频率的影响

车树汶1, 　陈　权1, 　楼松庆2

Ξ

(1. 兰州交通大学土木工程学院, 甘肃兰州　730070; 2. 中国石化集团第五建设公司, 甘肃兰州　730050)

摘　要:利用自编程序和ANSY S 结构分析软件对几座大跨度桥梁的自振特性分别采用一致质量矩阵和堆聚质量矩阵进行了计算比较. 结果表明, 对于大型复杂桥跨结构的动力分析宜采用一致质量矩阵模型. 关键词:桥梁; 自振特性; 质量矩阵

中图分类号:T U311. 3　　　　　文献标识码:A

　　利用有限元方法进行结构自振特性分析、地震反应分析时都需要选用适当的单元质量矩阵模式. 一致质量矩阵能够正确反映结构空间质量分布, 计算精度高, 但计算时质量矩阵与总刚度矩阵占用相同的存储空间, 占用机时多, 计算效率低, 而堆聚质量矩阵为一对角矩阵, 可节约存储空间和计算工作量, 因而在结构动力分析中仍被广泛采用[1]. 本文通过几种不同形式的桥梁结构, 分别采用一致质量矩阵和堆聚质量矩阵对自振频率的影响进行了比较分析, 得出了具有工程参考价值的结论.

(2)

ξ=1/3, η=1/6, a z =(13/35) +6I z /(5Al 2) , b z =

(11l/210) +(I z /10Al ) ,

c z =(9/70) -(6I z /5Al 2) , d z =(I z /10Al ) -(13l/420) ,f z

2

=(l /105) +(2I z /15A ) ,

2

f y =(l /105) +(2I y /15A ) , J 1=J x /(3A ) , J 2=J x /(6A ) , 2

a y =(13/35) +(6I y 5Al ) ,

2

b y =(11l/210) +(I y /10Al ) , c y =(9/70) -(6I y /5Al ) , d y

1　局部坐标系下梁单元的质量矩阵

1. 1　局部坐标系下梁单元的一致质量矩阵

文献[2]给出的梁单元局部坐标系下的一致质量矩阵为

M =

e

=(I y /10Al ) -(13l/420)

式中:l 为单元长度; A 为横截面面积; I z 为绕3轴的截面惯性矩; I y 为绕2轴的截面惯性矩; J x 为扭转惯性矩; ρ为材料密度.

整体坐标系下梁单元的质量矩阵为

M s =R M R

e

∫

τ

ρ(N e ) T N e d τ

(1)

把形函数N e 的具体表达式代入式(1) 计算后可得:

ξ0a z

00a y 对000j 1

00-b y 0f y

0b z 000f z 称

M e =ρAl

η00000ξ0c z 000-d z 0a z

00c y 0d y 000a y 000j 200000j 100-d z 0f y 000b y 0f y 0d z 000f z 0-b z 000f Ξ收稿日期:2003-07-15

T e

(3)

1. 2　局部坐标系下梁单元的堆聚质量矩阵

理论分析表明, 梁的转动惯性力的影响很小, 一般可以略去不计. 略去转动惯性后, 把梁单元总质量的一半堆聚到它的两端结点的平动自由度上, 就得到堆聚质量矩阵.

作者简介:车树汶(1974-) , 男, 湖南邵阳人, 硕士生.

第6期车树汶等:质量矩阵模式对桥梁自振频率的影响81

局部坐标系梁单元的堆聚质量矩阵为[1]

e

M l =diag [[1**********]0](4)

2

它是一个对角矩阵, 并且与转动自由度相应的对角线元素为零. 由于旋转矩阵R 为正交矩阵, 所以

e e

(5) M e ls =R T M l R =M l

换言之, 整体坐标系下梁单元的堆聚质量矩阵仍由式(4) 给出.

显然, 采用堆聚质量表示法后, 结构系统的总质量矩阵仍然是一个对角矩阵, 因而可简单地用一维数组予以存贮. 略去转动惯性后的质量矩阵, 已不再具有正定性, 而是一个非负矩阵.

相应的非零解φ, 即相应的振型.

3　Sturm 序列检查

利用子空间迭代法分别采用式(1, 4) 给出的质量矩阵编制了有限元分析程序求解式(7) 的广义特征值问题, 为了检查是否漏根有必要进行Sturm 序列检查.

设子空间迭代法已经求出前p 个圆频率值ω1ω2≤…≤ωp 和相应的特征向量, 为了检查是否发≤

生漏根, 按如下方法进行Sturm 序列检验. 取

μ=1. 01ω2p (10)

然后进行Sturm 序列检验, 即对矩阵K -μM 进行

T

LD L 分解:

T

(11) K -μM =LD L

并记对角矩阵D 中负元素的个数为N d . 则N d 就是式(9) 中小于μ的特征值的个数.

(12) 若N d =p

则不发生漏根. 若N d >p , 那么m =N d -p 就是所漏掉的特征对的个数.

2　自振特性分析

结构系统的无阻尼自由振动方程为

δ+K δ=0M

程为

φ=ω2M φ(7) K

这是一个广义特征值问题, 也称为振动特征值问题.

方程(7) 可改写为

2

(K -ω(8) M ) φ=0

式(8) 为关于φ的n 个分量的线性齐次代数方程组, 它有非零解φ的充分且必要条件是左端系数矩阵的行列式为零, 即

(9) det (K -ω2M ) =0

这就是确定ω的方程, 称为频率方程. 显然, 方程(9) 为n 次代数多项式, 由于n 次代数方程必有n 个根, 对每一个解ω, 代入式(8) 后, 即可得到与ω

. .

(6)

经整理可得确定圆频率ω与相应振型φ的方

4　计算实例

选用几种具有代表性的桥梁建立了三维有限元模型, 利用自编程序DFRAME , 分别采用一致质量矩阵和堆聚质量矩阵进行了自振特性分析, 限于篇幅桥梁算例的详细资料不再列出. 本文计算结果一致质量矩阵模型由ANSY S 软件的兰索丝法[3]验证, 堆聚质量矩阵模型由S AP90程序验证. 4. 1　连续刚构桥

1) 挪威托马斯PC 连续刚构桥, 跨度布置为(94+301+72) m , 全桥长467. 0m , 主跨为301. 0m , 桥面宽9. 0m , 箱型梁横截面, 梁高由3. 5m 至15m 按二次抛物线变化. 计算结果见表1.

H z

82. 05512. 05510. 00185. 56576. 213110. 4

92. 13182. 23174. 68196. 10516. 49676. 03

102. 85392. 86560. 41206. 68307. 610612. 2

5

61. 75291. 76310. 58164. 73584. 97584. 82

71. 76311. 80672. 46175. 53785. 56600. 51

表1　挪威托马斯PC 连续刚构桥前20阶频率

阶数一致质量集中质量误差/%阶数一致质量集中质量误差/%

10. 47950. 48000. 11112. 86562. 92171. 92

20. 49910. 49910. 01123. 32093. 32090. 00

30. 91360. 91960. 66133. 77893. 87082. 37

40. 95170. 95170. 00143. 91533. 91530. 00

1. 39971. 41441. 05154. 51134. 51130. 00

　　由表1看出, 用两种质量矩阵计算出的结果在低+55+90+55+40) m , 全桥长280m , 桥面宽28. 0m ,

阶时相差很小, 在20阶时误差达到12. 2%, 总体上两单箱三室箱型梁横截面, 梁高由2. 4m 至5. 5m 按抛种计算结果是比较接近的. 物线变化. 计算梁体采用板壳模型, 墩身采用实体模

2) 南安美林连续-刚构组合桥, 跨度布置为(40

型. 计算结果见表2.

82兰州铁道学院学报(自然科学版) 表2　南安美林连续刚构组合桥前30阶频率

阶数

10. 97360. 97290. 07115. 18435. 13960. 86218. 18077. 93872. 96

21. 09711. 09650. 05125. 2735. 2360. 70228. 29228. 22530. 81

31. 74931. 74830. 06135. 29875. 2590. 75238. 6358. 28234. 08

41. 92811. 92390. 22145. 8855. 79521. 53248. 63518. 28244. 08

53. 30523. 29470. 32155. 92775. 83441. 57259. 25668. 69516. 07

63. 61113. 60120. 27166. 15856. 05951. 61269. 26238. 73155. 73

74. 04914. 03440. 36176. 31576. 21491. 60279. 47938. 85996. 53

84. 27974. 26810. 27186. 71226. 5871. 87289. 8689. 05798. 21

94. 48664. 44430. 94196. 80876. 79810. 16299. 92719. 16247. 70

第22卷

H z 105. 07335. 03670. 72207. 8857. 62213. 333010. 0129. 23507. 76

一致质量集中质量误差/%阶数一致质量集中质量误差/%阶数一致质量集中质量误差/%

　　由表2看出, 用两种质量矩阵计算出的结果在

低阶时相差很小, 在20阶以内时误差不超过4%, 最大误差在28阶达到8. 21%, 总体上两种计算结果是很接近的. 4. 2　斜拉桥

某双塔斜拉桥, 跨度布置为(40+250+605+250+40) m , 全桥长1196. 13

m , 主跨为605m , 桥面宽29. 0m , 主梁为钢主梁与钢筋混凝土板共同受

力的结合梁, 梁高为2. 7m , 宽27. 0m . 采用鱼骨结构模型. 计算结果见表3.

图1　斜拉桥结构示意图

表3　双塔斜拉桥前30阶频率

阶数一致质量集中质量误差/%阶数一致质量集中质量误差/%阶数一致质量集中质量误差/%

10. 48300. 538010. 2112. 64612. 80755. 75214. 79064. 56884. 86

20. 69310. 76659. 58122. 67323. 256917. 9225. 02934. 68007. 47

31. 12111. 262911. 2132. 94023. 279010. 3235. 16184. 85426. 34

41. 16431. 322911. 9143. 38083. 56255. 10245. 48125. 04268. 70

51. 35371. 38442. 22153. 67463. 59032. 35255. 59825. 46862. 37

61. 44401. 59959. 72163. 79723. 77190. 67265. 63125. 57331. 04

71. 44981. 754217. 4173. 96244. 02071. 45276. 11065. 71057. 01

81. 73382. 133018. 7184. 24134. 11972. 95286. 14735. 90734. 06

92. 10442. 507616. 1194. 41644. 17105. 88296. 38006. 09584. 66

10

H z

2. 26882. 51339. 73204. 75374. 43807. 11306. 40766. 16473. 94

　　由表3可以看出, 两种质量矩阵模型第一阶频

率就相差10. 2%, 最大误差为18. 7%, 为第8阶频率. 4. 3　钢桁架拱桥

某钢桁架拱桥, 全长286. 0m , 拱高36. 1m , 桥面宽22.

0m . 计算结果见表4.

由表4可见, 两种质量矩阵模型第一阶频率相差30. 7%, 最大误差为33. 32%, 为第20阶频率, 最小误差为0. 32%.

4. 4　悬索桥

图2钢桁架拱桥结构示意图

某钢桁架主梁体系悬索桥, 桥梁主跨577. 2m , 钢桁架梁宽22. 4m , 梁高3. 8m . 计算结果见表5.

第6期车树汶等:质量矩阵模式对桥梁自振频率的影响

表4　钢桁架拱桥前20阶频率

H z

70. 590. 5800. 7172. 682. 700. 69

80. 850. 59429. 8182. 993. 020. 98

91. 10. 73630. 7193. 003. 5718. 97

101. 200. 90923. 4203. 004. 0133. 72

83

阶数一致质量集中质量误差/%阶数一致质量集中质量误差/%

10. 300. 2130. 7111. 301. 208. 0

20. 310. 2130. 7121. 301. 282. 35

30. 360. 3259. 0131. 501. 480. 65

40. 470. 32530. 6142. 032. 093. 06

50. 470. 35723. 9152. 412. 342. 86

60. 560. 5482. 7162. 502. 500. 32

表5　钢桁架主梁体系悬索桥前30阶频率

阶数

一致质量集中质量误差/%阶数一致质量集中质量误差/%阶数一致质量集中质量误差/%

10. 04730. 037021. 8111. 10220. 717734. 9212. 39991. 923019. 9

20. 10020. 078521. 7121. 11680. 891220. 2222. 70312. 058723. 8

30. 18820. 146422. 2131. 35310. 901533. 4233. 00112. 090430. 3

40. 26250. 206621. 3141. 52221. 045031. 3243. 31852. 200533. 7

50. 31540. 248021. 4151. 70961. 094036. 0253. 64442. 240638. 5

60. 41860. 323022. 8161. 72141. 230828. 5263. 77012. 454434. 9

70. 56930. 443822. 0171. 72371. 417517. 8273. 79002. 628930. 6

80. 73150. 543225. 7181. 84771. 604513. 2283. 85482. 771528. 1

90. 91090. 672326. 2192. 13811. 684421. 2293. 97012. 801529. 4

10

H z 0. 92360. 689825. 3202. 25991. 821719. 4304. 05162. 8443

29. 8

受力特征的桥型, 不论是采用梁单元还是板壳单元, 两种质量矩阵的计算结果相差不大.

2) 一致质量矩阵与堆聚质量矩阵对具有空间质

量分布的桥跨结构影响较大, 结构越宽越复杂, 跨度越大误差也越大, 特别是对于大跨度宽体桥梁低阶频率的影响大.

图3　悬索桥结构示意图3) 对于大跨度复杂桥梁结构, 堆聚质量矩阵不能

　　由表5可见, 两种质量矩阵模型第一阶频率相正确反应桥跨结构质量在空间的真实分布模态, 在进差21. 8%, 而且前10阶频率误差均在20%以上, 这行大跨度复杂桥梁结构的动力分析时建议采用一致种误差随着结构频率的提高而扩大, 最小误差是第质量矩阵. 17阶频率为17. 8%.

以上计算结果经过Sturm 序列检查没有发现漏SY S 兰索丝法的验证, 集中堆聚质量矩阵计算结果得

参考文献:

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出版社, 2000.

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到了S AP90的验证.

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5　结论与建议

1) 一致质量矩阵与堆聚质量矩阵对连续梁或连

京大学出版社,2002.

续刚构桥梁低阶自振频率的影响很小, 随着跨度的增加影响程度有所增大, 但总体上较小; 另对于以梁为

(下转第98页)

98兰州铁道学院学报(自然科学版) 第22卷

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出版社, 1992.

Fuzzy Synthetic Evaluation on R ock -Mass Slope Stability

Zhang Lingzhao

(School of Civil Engineering ,Lanzhou Jiaotong University ,Lanzhou 　730070,China )

Abstract :Stability of rock -mass slope is inv olved in the engineering of mining ,railway ,highway. A slope has com plex failare mechanism ,and is affected by many factors. Therefore , m ore attention is paid by m ost of experts in the field of mining and geotechnical engineering. In this paper the m odel of fuzzy synthetic evaluation on rock -mass slope stability is established by analyzing the factor of in fluencing slope stability. And the forecast result of rock -mass slope stability is obtained , and it illustrates that the m odel is performed well.

K ey w ords :rock -mass slope ; the factor of in fluencing slope stability ; stability ;the m odel of fuzzy synthetic evaluation ; forecast

(上接第83页)

I nfluence of Mass Matrix Model on N atural Vibration Frequency of B ridges

Che Shuwen 1, 　Chen Quan 1, 　Lou S ongqing 2

(1. School of Civil Engineering , Lanzhou Jiaotong University , Lanzhou 　730070,China ; 2. The Fifth Developments C om pany of Chinese Petrochemical G roup ,Lanzhou 　730050,China )

Abstract :In the thesis , the author calculates the natural vibration frequencies of several wide -span bridges by using lum ped mass matrix and consistent mass matrix. Through the analysis and com paris on of the results , it is found that the dynamic analysis on large and com plicated bridges can be carried out by using consistent mass matrix. K ey w ords :bridge ;natural vibration frequency ;mass matrix