浅谈李雅普诺夫函数的构造及应用
第二十一卷第3期2006年9月
西藏大学学报
JOURNALOFTIBETUNIVERSITYVol.21.No.3Sep.2006
浅谈李雅普诺夫函数的构造及应用
巴桑卓玛
(西藏大学理学院西藏拉萨850000)
摘要:文章分析常微分方程课程的稳定性理论中“李雅普诺夫(Liapunov)的第二方法”,并通过例子说明如何利用已构造的一个辅助函数即李雅普诺夫(Liapunov)函数来判断一个系统的稳定性。
关键词:v函数;李雅普诺夫函数;稳定性;微分方程中图分类号:O175
文献标识码:A
文章编号:1005-5738(2006)03-0111-03
数,根据V函数的特性直接去判断系统是稳定或者
一、前言
常微分方程是大学本科数学专业必修的基础课之一,也是自然科学和各类技术科学必不可少的有力工具。微分方程的主要任务在于求解和确定解的各种属性。因而微分方程的研究就大致可分为定量和定性的两部分[2]。然而绝大多数微分方程不能用已知函数的积分来表出通解。从定性方面提出的任务是:直接根据方程的结构来研究解的属性,这些问题的研究形成了在微分方程理论中占有重要地位的定性理论。
所谓稳定性,是指一个系统在运动的过程中,或在干扰力的作用下,是否保持原来的状态[1]。例如:一个电力系统在运行过程中的稳定性是指其电压、电流的波动要尽量小,限制在其允许范围内,若电压忽高忽低,电流忽大忽小,将给人民生活及工业生产造成极大的危害。在多数情况下,运动的不稳定性的严重后果将是灾难性的。稳定性的数学理论,就是为设计稳定的动力系统,避免不稳定的事故发生,提供一整套数学理论和方法,因而,它在国民经济中的巨大作用和现实意义是不言而喻的。在历史上,很多杰出的数学家和力学家都研究过稳定性问题,但是贡献最大的是俄国数学家李雅诺夫
定义1设函数v是一个定义在包含原点(0,0)的区域D上的连续函数。且当(x,y)=0时,v=0.
(x,y)≠0都有v(x,y)>0,则称1.如果对一切函数V是正定的。
(x,y)≥0,则称v函数是半正定的。2.如果v
(x,y)<0,则称3.如果对一切(x,y)≠0都有v的方程组。是不稳定。
二、基本原理
(一)v函数
在本文中我们只讨论形如
………………(1.1)
V函数是负定的。
(x,y)≤0,则称v函数是半负定的。4.如果v
(x,y)为变号函数[2]5.如果v任意,则称v
如:函数y(x,y)=sin(x2+y2)在区域x2+y2<! /2上是正定的,因为v(0,0)=0,且v(x,y)>0,0<x2+y2<
(x,y)=(x+y)2仅仅是半正定,因为" /2。然而函数v
(x,y)=0。除原点外在线y=-x上有v
定义2
假定v函数在(0,0)的领域中连续可
(Liapunov,1857-1918),他创立了两种方法,即第一
方法和第二方法。其中第二方法是比较常用的一种又称直接法(directmethod),这种方法不需要求出系统(微分方程)的解,而是寻求某个与所考虑微分方程有关的所谓李雅诺夫函数,以下我们简称v函
收搞日期:2006-04-26
作者简介:(1967-),女,藏族,西藏日喀则人,西藏大学理学院数学系讲师,硕士,主要研究方向为代数与编码。
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微,把函数
称为关于系统的全导数[1],记为
称为二次型函数.
定理3赛尔维斯特(Sylvester)判别准则.设实对称阵P的各阶主子行列式为:
……(1.2)
1
……………………………………(1.4)
(" ,#)).(orV
(直接法)(二)李雅普诺夫第二法
定理1.假设系统(1.1)在原点处有孤立的奇点。如果存在一个连续的函数V,并且具有连续的一阶偏导数,则有
3
(1)如果包含(0,0)的领域D上V是正定(负定)且
(1.2)是负定(正定),则原点是渐近稳定。
(1.2)(2)如果包含(0,0)的区域D上V是正定且是半负定,则原点是稳定。
(1.1)在原点处有孤立的奇定理2.假设系统
点。如果存在一个连续的V函数,并且具有连续的一阶偏导数,则有
4
对于系统(1.1),我们有更简单的结论叙述如下:
定理4函数V(x,y)=ax2+bxy+cy2………(1.5)是正定,当且仅当a>0,4ac-b2>0.………(1.6)函数(1.5)是负定,当且仅当a<0,4ac-b2>0.……
(1)如果在D上至少有一点使V为正定(负定),
且V(0,0)=0
(1.2)是正定(负定)的,这时原(2)如果在D上
点被称为是不稳定的。
以上两定理对于确定稳定和不稳定,分别给出了关于函数V的一定条件下方可确定,应当指出,上述稳定性判据只是一个充分条件,并不是必要条(x,y)满足上述四个条件之一,那件。如果给定的V
么其结果成立。反之,如果给定的V不满足上述任何一个条件,那么只能说明所选的V对所示(1.1)系统失效,必须重新构造V函数。遗憾的是到目前还没有一个一般的方法构造V函数,建立在李雅普诺夫第二法基础上的稳定性分析中,有一类标量函数起着重要的作用,它就是二次型函数。下面的这个定理
[4]
……………………………………(1.7)
三、应用例子
例1给出系统,
试讨论在原点处的稳定性。
(x,y)[解]:我们将试图用定理3,设V
=ax2+bxy+cy2,则,Vx=bx+2cy,这时
如果取b=0,且a,c为任意正数,则这时
对于建立V函数通常是考虑的一种渠道,
我们把之叙述如下:
定义3! =(x1,x2,...x4)T,P为n×n阶的实对称矩阵,则:
是负定而V函数是正定,那么由定理1知奇点(即
原点)是渐近稳定。
例2考虑系统
的原点的稳定性,这里! (x,y)是连续的且具有连续
……………………(1.3)-
的一阶偏导数。
(x,y)=x2+y2[解]:我们取V
有(1.2)等式,得
它是正定函数,
四、结语
长期以来,研究稳定性一直沿用李雅普洛夫直接法,这是研究稳定性的一般方法。在研究控制理论和动力系统领域里它起着非常重要的作用。遗憾的是至今仍未形成构造李雅普诺夫函数的通用方法,该方法的最大困难是依赖一个未知的V函数的存在。然而,构造这种V函数又无一般规律可循,它是一种技巧性的问题,应该说凭借研究工作者本人的经验。然而这种经验也不是一朝一夕就可以形成的,要靠长期工作和实践的积累,这就给理论工作的研究及推广应用带来了一定的困难。那么在这里笔者想大胆地提出一个设想:
………(1.8)
在(1.8)中,当! (x,y)>0时,由定理1知原点是渐近稳定。
(x,y)<0时,当!
由定理2知,原点是不稳定。
1、由于这种李雅普洛夫直接法的局限性,在
以后的研究工作中有关的研究人员会不会放弃这种方法,去寻求其它的一些不用构造V函数的方法去研究稳定性理论?
例3讨论方程组
零解的稳定性,其中! (x,y)和! (x,y)连续,且在原
或是数学家们会继续研究构造V函数的更2、一般的方法呢?
参考文献
[1]东北师大数学系,常微分方程,高等教育出版社,1982,10.[2]http://www.cbkx.com/2002-1/211.shtml
“,常微分方程”,高等教育出版社,2004,2[3]伍卓群,李勇
…………(1.9)
(0,0)附近! (x,y)≥0,xg(x)>0(x≠0),点解:取函数
则它在原点附近是正定的,且
[4]WilliamE.Boyce,RichardC.DiPrima,"Differential
Equations",2003.
是半负定,故由定理1知(1.10)的零解是稳定的。[5]T.Yoshizawa.StabilityTheorybyLiapunov'sSecondMethod.Tokyo:Math.Soc.ofJapan,1996.
BrieflyDiscusstheConstructionandApplication
ofLiapunovFunction
BasangDronma
(Departmentofmathematics,SchoolofScience,TibetUniversity,Lhasa,Tibet850000)
Abstract:Havingdoneinvestigationandenhancedstudyon''Liapunovsecondmethod"(directmethod),theessaybrieflyanalyzesthepossibilityofconstructingandapplyingLiapunovfunction.SomeexamplesarealsoillustratedtoshowhowLiapunovfunctioncanbeusedtodeterminethestabilityofsystem.
Keywords:VfunctionLiapunovfunctionstabilitydifferentialequation.
[审搞:娄源冰][编辑:白玲]
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