圆周运动动力学分析
圆周运动动力学分析
一、向心力
1.作用效果:产生向心加速度,只改变速度的方向,不改变速度的大小.
v 24π2r 2
2.大小:F =m mωr =m 4π2mf 2r
r T 3.方向:总是沿半径方向指向圆心,时刻在改变,即向心力是一个变力.
4.来源:向心力可以由一个力提供,也可以由几个力的合力提供,还可以由一个力的某个分力提供.
思考:向心力是按效果还是按性质命名的力?可以在受力分析时加一个向心力吗?
二、圆周运动、向心运动和离心运动
1.匀速圆周运动与非匀速圆周运动
1.匀速圆周运动
(1) .
(2) (3)质点做匀速圆周运动的条件
合力大小不变,方向始终与速度方向垂直且指向圆心. 2.非匀速圆周运动
(1) (2)合力的作用
①合力沿速度方向的分量F t 产生切向加速度,F t =ma t ,它只改变速度的大小. ②合力沿半径方向的分量F n 产生向心加速度,F n =ma n ,它只改变速度的方向.
2.离心运动
(1)本质:做圆周运动的物体,由于本身的惯性,总有沿着切线飞出去的倾向. (2)受力特点(如图所示)
①当F =mωr 时,物体做匀速圆周运动; ②当F =0时,物体沿切线飞出;
③当F mrω2时,物体逐渐向圆心靠近,做向心运动. 思考:1. 物体做离心运动是因为受到离心力的缘故吗?
2.物体做离心运动时是沿半径方向远离圆心吗?
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热点一 匀速圆周运动中的动力学问题
1.向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的,可以是重力、弹力、摩擦力等各种力,也可以是几个力的合力或某个力的分力,因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力.
2.向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面,确定圆心的位置.
(2)分析物体的受力情况,找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力,就是向心力. 3. 圆周运动的分析思路
(1)圆周可看成是牛顿第二定律应用的进一步延伸.将牛顿第二定律F =ma 应用于圆周运动,F 就是向心力,
v 24π22
a 就是向心加速度,即得:F =ma n =m mωR =R T
例1.[圆周运动的受力分析]如图4所示,小物体A 与圆盘保持相对静止,跟着圆盘一起做匀速圆周运动,则A 受力情况是( )
图4
A .重力、支持力 B .重力、向心力 C .重力、支持力和指向圆心的摩擦力答案 C
D .重力、支持力、向心力和摩擦力
解决圆周运动问题的主要步骤
(1)审清题意,确定研究对象;明确物体做圆周运动的平面是至关重要的一环.
(2)分析物体的运动情况,即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等; (3)分析物体的受力情况,画出受力示意图,确定向心力的来源; (4)根据牛顿运动定律及向心力公式列方程.
热点二 圆周运动的实例分析 1. 凹形桥与拱形桥模型
例1. 一辆汽车匀速率通过一座圆弧形拱形桥后,接着又以相同速率通过一圆弧形凹形桥。设两圆弧半径相等,汽车通过拱形桥桥顶时,对桥面的压力F N1为车重的一半,汽车通过圆弧形凹形桥的最低点时,对桥面的压力为F N2,则F N1与F N2之比为( ) A.3∶1 C.1∶3
B.3∶2 D.1∶2
解析 汽车过圆弧形桥的最高点(或最低点) 时,由重力与桥面对汽车的支持力的合力提供向心力。如图甲所示,汽车过圆弧形拱形桥的最高点时,由牛顿第三定律可知,汽车受桥面对它的支持力与它对桥面的压力大小相等,即F N1=F N1′① 所以由牛顿第二定律可得
m v 2
mg -F N1′=
R
甲 乙
m v 2
同样,如图乙所示,F N2′=F N2,汽车过圆弧形凹形桥的最低点时,有F N2′-mg ③
R
1
由题意可知F N1=④
2
3
由①②③④式得F N2=,
2所以F N1∶F N2=1∶3。
答案 C
【变式训练】.(2015·福建理综·17) 如图15,在竖直平面内,滑道ABC 关于B 点对称,且A 、B 、C 三点在同一水平线上.若小滑块第一次由A 滑到C ,所用的时间为t 1,第二次由C 滑到A ,所用的时间为t 2,小滑块两次的初速度大小相同且运动过程始终沿着滑道滑行,小滑块与滑道的动摩擦因数恒定,则( )
图15
A .t 1<t 2 C .t 1>t 2 答案 A
解析 在滑道AB 段上取任意一点E ,比较从A 点到E 点的速度v 1和从C 点到E 点的速度v 2易知,v 1>v 2. 因E 点处于“凸”形轨道上,速度越大,轨道对小滑块的支持力越小,因动摩擦因数恒定,则摩擦力越小,可知由A 滑到C 比由C 滑到A 在AB 段上的摩擦力小,因摩擦造成的动能损失也小.同理,在滑道BC 段的“凹”形轨道上,小滑块速度越小,其所受支持力越小,摩擦力也越小,因摩擦造成的动能损失也越小,从C 处开始滑动时,小滑块损失的动能更大.故综上所述,从A 滑到C 比从C 滑到A 在轨道上因摩擦造成的动能损失要小,整个过程中从A 滑到C 平均速度要更大一些,故t 1
B .t 1=t 2
D .无法比较t 1、t 2的大小
2 圆锥摆模型
a .模型特征
在重力和绳子的拉力的合力提供向心力的情况下,物体在水平面内做匀速圆周运动,这一类问题属于圆锥摆模型. b .模型规律
(1)圆锥摆的向心加速度a =g tan α
设摆球质量为m ,摆线长为L ,摆线与竖直方向夹角为α,由图可知, F 合=mg tan α 又F 合=ma 向, 故a 向=g tan α
可见摆球的向心加速度完全由α决定,与摆线长无关,即与运动的半径无关.
(2)圆锥摆的周期T =2π
g
4π2L cos α
由F 合=m L sin α和F 合=mg tan α可推理得圆锥摆的周期T =2πT g
设摆球圆周运动的平面到悬点的距离为h ,则h =
L
cos
α,
g
由此可见,圆锥摆的周期完全由悬点到运动平面的距离决定,与小球的质量、摆线长度无关. 故T =2π
例1. 如图6所示,一根细线下端拴一个金属小球P ,细线的上端固定在金属块Q 上,Q 放在带小孔的水平桌面
上.小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆) .现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动(图上未画出) ,两次金属块Q 都保持在桌面上静止.则后一种情况与原来相比较,下列说法中正确的是 ( )
图6
A .Q 受到桌面的支持力变大 B .Q 受到桌面的静摩擦力变大 C .小球P 运动的角速度变大 D .小球P 运动的周期变大 答案 BC
解析 根据小球做圆周运动的特点,设线与竖直方向的夹角为θ,
mg
故F T =,对金属块受力分析由平衡条件F f =F T sin θ=mg tan θ,
cos θF N =F T cos θ+Mg =mg +Mg ,故在θ增大时,Q 受到的支持力不 变,静摩擦力变大,A 选项错误,B 选项正确;设线的长度为L ,
由mg tan θ=mω2L sin θ,得ω= ,故角速度变大,周期
L cos θ变小,故C 选项正确,D 选项错误.
【变式训练】.. 如图6所示,“旋转秋千”中的两个座椅A 、B 质量相等,通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上。不考虑空气阻力的影响,当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时,下列说法正确的是( )
图6
A. A 的速度比B 的大 B. A 与B 的向心加速度大小相等
C. 悬挂A 、B 的缆绳与竖直方向的夹角相等 D. 悬挂A 的缆绳所受的拉力比悬挂B 的小
解析 A 、B 绕竖直轴匀速转动的角速度相等,即ωA =ωB ,但r A
F 向
a =ω2r 得,A 的向心加速度比B 的小,选项B 错误;A 、B 做圆周运动时的受力情况如图所示,根据F 向=mω2r 及tan θ=
mg
2ωr mg =A 的缆绳与竖直方向的夹角小,选项C 错误;由图知F T =A 的缆绳受到的拉力小,选项D 正g cos θ确。
答案 D
3 圆锥筒模型
a
.
模型特征
在重力和支持力的合力提供向心力的情况下,物体在水平面内做匀速圆周运动,这一类问题属于圆锥筒模型.
b .模型规律
例2.如图4-3-8所示,一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面,圆锥筒固定不动,有两个质量相等的小球A 和B 紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动,则以下说法中正确的是( )
图4-3-8
A .A 球的角速度等于B 球的角速度 B .A 球的线速度大于B 球的线速度 C .A 球的运动周期小于B 球的运动周期 D .A 球对筒壁的压力大于B 球对筒壁的压力 解析:选B 先对小球受力分析,如图所示,由图可知,两球的向心力都来支持力F N 的合力,建立如图所示的坐标系,则有:
F N sin θ=mg
①
F N 相等,结合
F N cos θ=mrω2 ②
mg
由①得F N =A 和B 受到的支持力F N 相等,D 错误。由于支持力
sin θ
源于重力G 和
②知,A 球运动的半径大于B 球运动的半径,A 球的角速度小于B 球的角速度,选项A 错误。A
2v
球的运动周期大于B 球的运动周期,选项C 错误。又根据F N cos θ=m A 球的线速度大于B 球的线速度,选项B 正确。
r
c.
【例3】.(多选) (2016·江西上饶中学月考) 火车转弯可近似看成做匀速圆周运动,当提高火车速度时会使轨道的外轨受损。为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题,你认为以下措施可行的是( ) A. 减小内、外轨的高度差 C. 减小弯道半径
B. 增大内、外轨的高度差 D. 增大弯道半径
解析 根据题意,要使火车转弯时对外轨压力变小,可以把火车弯道设计成外高内低,在内、外轨之间有一定的高度差,火
v 2
车受到的重力与支持力的合力提供向心力。根据F 合=F 向=m 可知,通过增大弯道半径可以减小向心力,重力和支持力的合
r
h
力为mg tan θ=mg ,可知当增大内、外轨的高度差时,合力变大,可减小外轨的受力,故选项B 、D 正确。
d
答案 BD
【跟踪短训】.铁路转弯处的弯道半径r 是根据地形决定的.弯道处要求外轨比内轨高,其内、外轨高度差h 的设计不仅与r 有关.还与火车在弯道上的行驶速度v 有关.下列说法正确的是( ) .
A .速率v 一定时,r 越小,要求h 越大 B .速率v 一定时,r 越大,要求h 越大 C .半径r 一定时,v 越小,要求h 越大 D .半径r 一定时,v 越大,要求h 越大 解析
火车转弯时,圆周平面在水平面内,火车以设计速率行驶时,向心力刚好由重力G 与轨道支持力F N 的合力来提供,如
m v 2h h m v 2
图所示,则有mg tan θ=,且tan θ≈sin θ=,其中L 为轨间距,是定值,有mg =
r L L r
通过分析可知A 、D 正确.
答案 AD
题组二 匀速圆周运动的动力学问题
1.如图3所示,洗衣机脱水筒在转动时,衣服贴靠在匀速转动的圆筒内壁上而不掉下来,则衣服
( )
图3
A .受到重力、弹力、静摩擦力和离心力四个力的作用 B .所需的向心力由重力提供
C .所需的向心力由弹力提供 D .转速越快,弹力越大,摩擦力也越大 答案 C
解析 衣服只受重力、弹力和静摩擦力三个力作用,A 错;衣服做圆周运动的向心力为它所受到的合力,由于重力与静摩擦力平衡,故弹力提供向心力,即F N =mrω2,转速越大,F N 越大.C 对,B 、D 错.
2.(单选) 如图4-3-9所示,是某课外研究小组设计的可以用来测量转盘转速的装置.该装置上方是一与转盘固定在一起有横向均匀刻度的标尺,带孔的小球穿在光滑细杆与一轻弹簧相连,弹簧的另一端固定在转动轴上,小球可沿杆自由滑动并随转盘在水平面内转动.当转盘不转动时,指针指在O 处,当转盘转动的角速度为ω1时,指针指在A 处,当转盘转动的角速度为ω2时,指针指在B 处,设弹簧均没有超过弹性限度.则ω1与ω2的比值为( ) .
图4-3-9
1111A. B . C . D .2423
解析 小球随转盘转动时由弹簧的弹力提供向心力.设标尺的最小分度的长度为x ,弹簧的劲度系数为k ,则有kx =m ·4x ·ω23x =m ·6x ·ω21,k ·2,故有ω1∶ω2=12,B 正确.
答案 B
4. 如图4所示,内壁光滑的竖直圆桶,绕中心轴做匀速圆周运动,一物块用细绳系着,绳的另一端系于圆桶上表面圆心,且物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动,则( )
图4
A. 绳的张力可能为零 B. 桶对物块的弹力不可能为零
C. 随着转动的角速度增大,绳的张力保持不变 D. 随着转动的角速度增大,绳的张力一定增大
解析 当物块随圆桶做圆周运动时,绳的拉力的竖直分力与物块的重力保持平衡,因此绳的张力为一定值,且不可能为零,A 、D 项错误,C 项正确;当绳的水平分力提供向心力的时候,桶对物块的弹力恰好为零,B 项错误。
答案 C
5[向心力来源分析]如图1所示,水平的木板
B
托着木块
A 一起在竖直平面内做匀速圆周运动,从水平位置a
沿逆时针方向运动到最高点b 的过程中 ( )
图1
A .B 对A 的支持力越来越大 B .B 对A 的支持力越来越小 C .B 对A 的摩擦力越来越小 D .B 对A 的摩擦力越来越大 答案 BC
解析 因做匀速圆周运动,所以其向心力大小不变,方向始终指向圆心,故对木块A ,在a →b 的过程中,竖直方向的分加速度向下且增大,而竖直方向的力是由A 的重力减去B 对A 的支持力提供的,因重力不变,所以支持力越来越小,即A 错,B 对;在水平方向上A 的加速度向左且减小,至b 时减为0,因水平方向的加速度是由摩擦力提供的,故B 对A 的摩擦力越来越小,所以C 对,D 错.
6. 如图8所示,一根细线下端拴一个金属小球P ,细线的上端固定在金属块Q 上,Q 放在带小孔(小孔光滑) 的水平桌面上,小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆) .现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动(图中P ′位置) ,两次金属块Q 都静止在桌面上的同一点,则后一种情况与原来相比较,下列判断中正确的是( )
图8
A .细线所受的拉力变小 B .小球P 运动的角速度变小 C .Q 受到桌面的静摩擦力变大 D .Q 受到桌面的支持力变大 答案 C
解析 设细线与竖直方向的夹角为θ,细线的拉力大小为F T ,细线的长度为L . P 球做匀速圆周运动时,
mg g
由重力和细线的拉力的合力提供向心力,如图,则有:F T ,mg tan θ=mω2L sin θ,得角速度ω= cos θL cos θ
2π
周期T =,使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动时,θ增大,cos θ减小,则细线拉力F T
ω增大,角速度增大,周期T 减小.对Q 球,由平衡条件得知,Q 受到桌面的静摩擦力变大,故A 、B 错误,C 正确;金属块Q 保持在桌面上静止,根据平衡条件知,Q 受到桌面的支持力等于其重力,保持不变.故D 错误.
题组三 离心现象
[对离心现象的理解]下列关于离心现象的说法正确的是
A .当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象
B .做匀速圆周运动的物体,当它所受的一切力都突然消失后,物体将做背离圆心的圆周运动 C .做匀速圆周运动的物体,当它所受的一切力都突然消失后,物体将沿切线做直线运动 D .做匀速圆周运动的物体,当它所受的一切力都突然消失后,物体将做曲线运动 答案 C
解析 物体只要受到力,必有施力物体,但“离心力”是没有施力物体的,故所谓的离心力是不存在的,只要物体所受合外力不足以提供其所需向心力,物体就做离心运动,故A 选项错;做匀速圆周运动的物体,当所受的一切力突然消失后,物体将沿切线做匀速直线运动,故B 、D 选项错,C 选项对.
( )
6.(单选) 世界一级方程式锦标赛新加坡大奖赛赛道单圈长5.067公里,共有23个弯道,如图4
-
3
-12所示,
赛车在水平路面上转弯时,常常在弯道上冲出跑道,则以下说法正确的是( ) .
图4-3-12
A .是由于赛车行驶到弯道时,运动员未能及时转动方向盘才造成赛车冲出跑道的 B .是由于赛车行驶到弯道时,运动员没有及时加速才造成赛车冲出跑道的 C .是由于赛车行驶到弯道时,运动员没有及时减速才造成赛车冲出跑道的 D .由公式F =mω2r 可知,弯道半径越大,越容易冲出跑道
v 2
解析 赛车在水平面上转弯时,它需要的向心力是由赛车与地面间的摩擦力提供的.由F =m 知,当v 较
r 大时,赛车需要的向心力也较大,当摩擦力不足以提供其所需的向心力时,赛车将冲出跑道.
答案 C
7.(2013·新课标全国卷Ⅱ,21)(多选) 公路急转弯处通常是交通事故多发地带.如图4-3-13,某公路急转弯处是一圆弧,当汽车行驶的速率为v c 时,汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势,则在该弯道处( ) .
图4-3-13
A .路面外侧高内侧低
B .车速只要低于v c ,车辆便会向内侧滑动
C .车速虽然高于v c ,但只要不超出某一最高限度,车辆便不会向外侧滑动 D .当路面结冰时,与未结冰时相比,v c 的值变小
解析 汽车转弯时,恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势,说明公路外侧高一些,支持力的水平分力刚好提供向心力,此时汽车不受静摩擦力的作用,与路面是否结冰无关,故选项A 正确;选项D 错误.当v v c 时,支持力的水平分力小于所需向心力,汽车有向外侧滑动的趋势,在摩擦力大于最大静摩擦力前不会侧滑,故选项B 错误,选项C 正确.
答案 AC