关于极限的几种求解方法

论文题目来源：

国家自然科学基金项目 编号：

四川省自然科学研究项目 编号：

校级自然科学研究项目 编号：

关于极限的几种求解方法

学生：唐莉 指导教师：唐玲

摘 要：极限分为函数极限和数列极限．其中数列可以看作是定义在正整数集上的函数x n =f（n ）（n=1,2,…）．各种极限的基本含义是自变量的变化趋势引起的因变量的变化趋势．在高等数学中，极限理论是微分学的基础，是数学分析的灵魂，研究函数的性质实际上就是研究各种类型的极限. 本文通过对极限的有关概念、定理和公式的介绍，对高等数学课程中所学的求极限的基本方法进行了比较系统的总结. 论文采用由易至难、层层递进前后共归纳了12种求数列极限的方法，用典型例题阐述了每种方法的思路、内容及解题技巧，其中涉及到单调原理、微分中值定理、泰勒展开式、归结原则、两边夹定理等知识点，运用了极限定义法，定积分法、初等变形法、变量替换法、利用函数连续性等方法，体现了对极限的掌握应从近似认识精确，从有限认识无限，从量变认识质变的特点.

关键词：函数 数列 极限

Several methods of solving about limit

Undergraduate: Supervisor: TangLing

Abstract : the limit is divided into several columns limit. One series can be seen as defined in the function on the set of positive integers = f (n) (n = 1,2, ...). The basic meaning of a variety of extreme trends in the independent variable caused the trend of the dependent variable. In mathematics, the limit theory is the basis of differential calculus, is the soul of mathematical analysis to study the nature of the function is actually the limit of all types. Based on the limits of the relevant concepts, theorems and formulas of the introduction of higher mathematics Course Limit of learned the basic methods are compared systematically summarized. thesis, from easy to difficult, progressive layers before and after induction of the 12 series limit demand method, a typical example describes the idea of each method , Content and problem-solving skills, involving monotone theory, differential mean value theorem, Taylor expansion, attributed the principle of knowledge points on both sides of the folder theorem, using the limit definition of law, will be integral, elementary deformation, variable substitution, Method using the function continuity, reflects the understanding of the limits of precision grasp should be similar, from the limited understanding of infinity, from the quantitative understanding of qualitative features.

Key words: function rule-governed series of numbers limit

目 录

1绪论 .............................................................. 1 2 归纳总结方法 . ..................................................... 1

2.1 利用定义求极限 .............................................. 1 2.2 利用两个重要的极限来求函数的极限 ............................ 1

2.2.1 利用lim

x →0

sin x

=1来求极限 ............................... 1 x

1

(1+) x =e 来求极限 ........................... 2

x

2.2.2 利用

lim

x →∞

2.3 利用等价无穷小量代换来求极限 ................................ 2 2.4 利用迫敛性来求极限 .......................................... 4 2.5 利用洛比达法则求函数的极限 .................................. 4

2.5.1 对于型不定式极限，可根据以下定理来求出函数的极限 . .... 4

0∞

2.5.2型不定式极限 ........................................ 6

∞

2.5.3 其它类型不定式极限 . .................................... 7 2.6 利用定积分求极限 ............................................ 8 2.7 利用微分中值定理和积分中值定理求极限 ........................ 9 2.8 利用柯西准则 ................................................ 9 2.9 归结原则求极限 ............................................. 10 2.10 利用泰勒公式(Tylor)求极限 ................................. 10 2.11 利用函数的连续性质求极限 .................................. 11 2.12 先判断极限存在再求其值 .................................... 12 3 总结 . ............................................................ 14 参考文献 . .......................................................... 15 致 谢 . ............................................................ 16

1

1绪论

高等数学是以函数为研究对象，以极限理论和极限方法为基本方法，以微积分学为主要内容的一门学科，极限理论和极限方法在这门课程中占有极其重要的地位。高等数学许多深层次的理论及其应用都是极限的延拓和深化，如连续、导数、微积分等等都是由极限定义的，离开了极限的思想高等数学就失去了基础失去了价值，因此极限运算是高等数学的基本运算。由于极限定义的高度抽象使我们很难用极限定义本身去求极限，又由于极限运算分布于整个高等数学的始终，许多重要的概念是由极限定义的。极限知识是研究导数、各种积分、级数等的基本工具。反过来，我们也可以利用这些概念来求一些极限，所以运算方法繁多。针对这种情况，本文作者通过立体归纳总结出了如下常见的求极限的方法。

2 归纳总结方法

2.1 利用定义求极限

定义1: 设{a n }为数列,a 为定数, 若对任意的正数ε, 总存在正数N, 使得当n>N时,

有a n -a

lim a

n →∞

n

=a 或 a n →a (n →∞)

定义2 设f 为定义在[a , +∞)上的函数,A 为定数, 若对任给的ε>0, 存在正数 M (≥a ) 使得当x>M时, 有f (x ) -A

为极限. 记作lim f (x ) =A 或 f (x ) →A (x →∞)

x →∞

例1[1]： 证明lim

n →∞

1

=0 x

1

证 任给ε>0, 取M= 则当x >M 时有

ε

1111-0=

2.2 利用两个重要的极限来求函数的极限

2.2.1 利用lim

x →0

sin x

=1来求极限 x

lim

x →0

sin x

=1的扩展形为： x

令g (x )→0，当x →x 0或x →∞时，则有

lim

x →x 0

sin g (x )sin g (x )=1 =1或lim g x g x x →∞

sin x

π-x

例2[5]：lim

x →π

解：令t=π-x . 则sinx=sin(π- t)=sint, 且当x →π时t →0 故 lim

x →π

[5]

sin x sin t

=lim =1 π-x t t →0

例3：求lim

x →1

sin x 2-1

x -1

()

(x +1)(sin (x 2-1))sin (x 2-1)解：原式=lim =lim (x +1)⋅=2 2

x +1x -1x -1x →1x →1

2.2.2 利用

lim

x →∞

1

(1+) x =e 来求极限

x

1

lim

x →∞

1

(1+) x =e 的另一种形式为

x

(1+α) α

lim α

→0

=e . 事实上，令

1

11

α=. x →∞⇔α→0. 所以e =lim (1+) x =lim (1+α) α=e

x x x →∞α→0

例4: 求lim (1+2x ) 的极限

[5]

1

x

x →0

解：原式=lim

x →0

11

⎡⎤22x 2x

⎢(1+2x ) ⋅(1+2x ) ⎥=e ⎣⎦

利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。

2.3 利用等价无穷小量代换来求极限

所谓等价无穷小量即lim

x →x 0

f (x )

=1. 称f (x ) 与g (x ) 是x →x 0时的等价无穷g (x )

小量，记作f (x ) ~g (x ) . (x →x 0) .

定理2：设函数f (x ), g (x ), h (x ) 在u 0(x 0) 内有定义， 且有f (x ) ~g (x ) . (x →x 0)

① 若lim f (x ) h (x ) =A , 则lim g (x ) h (x ) =A

x →x 0

x →x 0

② 若

lim

x →x 0x →x 0

h (x ) h (x )

=B , 则lim =B f (x ) x →x 0g (x )

g (x )

⋅lim f (x ) h (x ) =1⋅A =A f (x ) x →x 0

证明：①lim g (x ) h (x ) =lim

x →x 0

②可类似证明，在此就不在详细证明了！

由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限 例5[6]：求lim

x →0

tan x -sin x

的极限

sin x 3

sin x

(1-cos x ). 而sin x ~x , (x →0) ； cos x

解：由 tan x -sin x =

x 2

1-cos x ~, （x →0）i s x 3~x 3, （x →0）. ；n

2

x 2x ⋅11⋅3= cos x x 2

故有lim

x →0

tan x -sin x

= lim sin x 3x →0

注：由上例可以看出，欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的 等价无穷小量，如：由于

s i n x

=1，故有s i n x ~x , (x →0). 又由于x x →0

lim

x →0

arctan x

=1, 故有arctanx ~x ，(x→0). x

另注：在利用等价无穷小代换求极限时，应该注意：只有对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则

不能随意代换。如上式中，若因有tanx ~x ，(x →0); sin x ~x , (x →0). 而推出

lim

x →0

tan x -sin x x -x

=0 则得到的结果是错误的。 =lim 33

sin x x →0sin x

2.4 利用迫敛性来求极限

定理3：设lim f(x)= lim g(x)=A,且在某u o (x 0, δ' ) 内有f(x)≤h(x)≤g(x),

x →x 0

x →x 0

则lim h(x)=A

x →x 0

⎛1⎫11

⎪ ++ +例6[4]：求极限lim ⎪222n →∞ n +2n +n ⎭⎝n +1

解: 由于

n n +n

2

1n +1

2

+n

1n +2

2

+ +

1n +n

2

n n +1

2

而易知:lim

n →∞

n n +n

2

=1 , lim

n →∞

n +1

2

=1 由两边夹法则可得

⎛1⎫11

⎪=1 lim ++ +⎪222n →∞

n +2n +n ⎭⎝n +1

两边夹法在数列求极限中经常用到, 关键是要适当的放缩, 然后用迫敛性定理求出其极限值.

2.5 利用洛比达法则求函数的极限

在前面的叙述中，我们已经提到了利用等价无穷小量来求函数的极限，在此笔者叙述一种牵涉到无穷小（大）量的比较的求极限的方法。我们把两个无穷小量或两个无穷大量的比的极限统称为不定式极限，分别记作

0∞

型或型的不定0∞

式极限。现在我们将以导数为工具研究不定式极限，这个方法通常称为洛比达法则。

下面就给出不定式极限的求法。 2.5.1 对于

型不定式极限，可根据以下定理来求出函数的极限 0

定理4：若函数f(x)和函数g(x)满足：

①lim f (x ) =lim g (x ) =0。

x →x 0

x →x 0

②在点x 0的某空心邻域u 0(x 0) 内两者都可导，且g ' (x ) ≠0

③lim

x →x 0

f ' (x )

=A。（A 可为实数，也可为±∞或∞） g ' (x )

则lim

x →x 0

f (x ) f ' (x )

=lim =A。 g (x ) x →x 0g ' (x )

注：此定理的证明可利用柯西中值定理，在此，笔者就不一一赘述了。 例7[7]：求lim

x →π

1+cos x

2

tan x

解：容易检验

f(x)=1+cos x 与g(x)=tan 2x 在x 0=π的邻域里满足定理的条件①和②，又因

lim π

x →

-sin x cos 3x 1f ' (x )

= =lim = -lim 2

22g ' (x ) x →π2tan x sec x x →π

故由洛比达法则求得，

lim

x →x 0

f (x ) f ' (x ) 1

=lim = g (x ) x →x 0g ' (x ) 2

0f ' (x )

仍是型的不定式极限，只要有可能，我们

0g ' (x )

在此类题目中，如果lim

x →x 0

可再次利用洛比达法则，即考察极限lim

x →x 0

f ' (x )

是否存在。当然，这是f ' (x ) 和g ' (x )

g ' (x ) 在x 0的某邻域内必须满足上述定理的条件。

例8：求

[9]

lim

x →0

e x -(1+2x )

2

ln(1+x )

12

解：利用ln(1+x 2) ~x 2 （x →0），则得 原式=lim

x →0x

e -(1+2x )

2

x

-12

x

12

=lim

x →0

e -(1+2x )

2x e -(1+2x )

2

x

-

=lim

x →0

32

=0

在利用洛比达法则求极限时，为使计算更加快捷减少运算中的诸多不便，可用适当的代换，如下例， 例9[10]：求lim

x →0+

x 1-e

x

解：这是型不定式极限，可直接运用洛比达法则求解，但是比较麻烦。如作适

当的变换，计算上就会更方便些，故 令t =x , 当x →0+时有t →0+，于是有

lim

x →0+

x 1-e

x

=lim

t →0+

t 1

==-1 lim t t

+1-e t →0-e

2.5.2

∞

型不定式极限 ∞

若满足如下定理的条件，即可由如下定理计算出其极限。 定理5：若函数f(x)和函数g(x)满足：

①lim f (x ) =lim g (x ) =∞

x →x 0+

x →x 0+

②在点x 0的某空心邻域u 0+(x 0) 内两者都可导，且g ' (x ) ≠0 ③lim 则lim

f ' (x )

=A，（A 可为实数，也可为±∞或∞）。 g ' (x )

f (x ) f ' (x )

=lim =A。 g (x ) x →x 0+g ' (x )

x →x 0+

x →x 0+

此定理可用柯西中值定理来证明，在此，笔者就不一一赘述了。 例10[11]：求lim

ln x

x

x →+∞

解：由定理4得，

ln x (lnx ) ' l

===0 lim lim lim ' x x →+∞x →+∞(x ) x →+∞x

注1：若lim

x →x 0

f ' (x ) f (x )

不存在，并不能说明lim 不存在。 g ' (x ) x →x 0g (x )

注2：不能对任何比式极限都按洛比达法则来求解。首先必须注意它是不是不定式极限；其次是观察它是否满足洛比达法则的其它条件。

下面这个简单的极限 lim

x →∞

x +sin x

=1 x

虽然是

∞

型的，但若不顾条件随便使用洛比达法则： ∞

lim

x →∞

x +sin x 1+cos x

=lim 就会因右式的极限不存在而推出原式的极限x 1x →∞

不存在这个错误的结论。 2.5.3 其它类型不定式极限

不定式极限还有0⋅∞，1∞，00，∞0，∞-∞等类型。这些类型经过简单的变换，都可以化为例11[11]：求lim

x →0+

0∞

型和型的不定式极限。 0∞x ln x

解：这是一个1∞型的不定式极限，作恒等变形x ln x =

ln x ∞

，将它转化为型的1∞x

不定式极限，并用洛比达法则得到

lim

x →0+

x ln x =lim

x →0+

ln x

=1lim x →0+x

x -2

1=(-x ) =0 -1lim +

x →02x

例12

[14]

：求lim (cosx )

x →0

解：这是一个1∞型的不定式极限，作恒等变形

1

(cosx ) =e

其指数部分的极限

x

-2

x ln cos x

lim

x →0

10ln cos x 是型的不定式极限，可先求得2

0x

lim

x →0

1-tan x 1

ln cos x -== lim 2x 2x 2x →0

从而得lim (cosx ) =e

x →0

1

x 2

-

12

例13

[15]

: 求lim (sinx )

x →0

+

k 1+ln x

（k 为常数）

∞

型的极限， ∞

解：这是一个00型的不定式极限，按上例变形的方法，先求

k ln sin x

=lim 1+ln x x →0+

k

1+ln x

lim

x →0+

k cos x

x sin x =k cos x ⋅=k lim 1+sin x x →0

x =e k （k ≠0）

然后得到 lim (sinx )

x →0+

当k =0时上面的结果仍成立。 例14

[13]

: 求lim (x ++x )

2

x →+∞

1ln x

∞

型） ∞

解：这是一个∞0型的不定式极限，类似地，先求其对数的极限（

1

lim

x →+∞

ln(x ++x 2)

=lim ln x x →+∞

1ln x

+x

=1 1x

于是有lim (x ++x )

2

x →+∞

=e

2.6 利用定积分求极限

11⎫⎛1

例15[12]：. 求lim ++ +⎪ n →∞n +n ⎭⎝n +1n +2

⎡⎤

1⎢111⎥111

++ +++ +=⎢⎥ 2n ⎥n +1n +2n +n n ⎢11+1+1+⎢n n ⎥⎣n ⎦

解:

=∑

1

⋅…………………………………(1) k n k =1

1+n

1

, 0≤x ≤1, 则有定积分的定义可知, 1+x

n

1

令f(x)=

1

⎰01+x = lim n →∞

1

1

⋅……………………(2) ∑k n k =1

1+n

n

1

又⎰

1

=ln2……………………………………(3) 01+x

1

由(1)(2)(3)可得:

11⎫⎛1

lim ++ +⎪= ln2 n →∞n +n ⎭⎝n +1n +2

:用积分法求一数列的极限, 往往需要构造出定积分的极限表达式, 然后求其值.

2.7 利用微分中值定理和积分中值定理求极限

例16[8]：求

lim

x →0

2x -2sin x

x 3的极限

x sin x x sin x

2-22-2x -sin x

=⋅解： 33

x -sin x x x

由微分中值定理得，

2x -2sin x

=2ζln 2

x -sin x （ζ介于x 与sin x 之间）

原式=lim

x →0

2x -2sin x x -sin x 1-cos x ln 2ζ

⋅lim =2ln 2⋅=lim lim 32

x -sin x x →06x 3x ζ→0x →0

()

2.8 利用柯西准则

定理1 要使{x n }有极限的充要条件是:任给ε>0, 存在自然数N, 使得当n>N时,

对任意的自然数m 有x n -x m

定理2 设函数f(x)定义在x=x 0外的一个邻域0

x →x 0

在的充要条件是:任给ε>0, 存在δ>0, 使得当0

111

++ +没有极限. 23n

证 对任意的n 取m=n 我们有

111++ + n +1n +22n

1111++ += ≥2n 2n 2n 2

x n -x m +n =x n + +x 2n =

n

因此, 对于ε0=

1

, 对任意的N, 当n>N时, 取m=n就有 2

1

x n -x m +n =x n + +x 2n ≥ε0=

2

即变量x n 没有极限.

2.9 归结原则求极限

定理: 设f 在u 0(x 0, δ' ) 内有定义, lim f (x ) 存在的充要条件是:对任何含于.

x →x 0

以x 0u 0(x 0, δ' ) 且为极限的数列{x n }极限lim f (x n ) 都存在且相等.

n →∞

注: 归结原则也可简述为lim f (x ) =A ⇔对任何x n →x 0 (n →∞)

x →x 0

有lim f (x n ) =A

n →∞

例18[9]： 证明极限lim sin

x →0

1

不存在 x

证 设x n ' =

1

x n ' ' =n π

12n π+

2

(n =1, 2, )

则显然有x ' n →0 x ' ' n →0 (n →∞) sin

11

→0=0 s i =1→1 (n →∞) ' ' '

x n x n

故由归结原则即得结论

2.10 利用泰勒公式(Tylor)求极限

定理: 若函数f 在点x 0存在直至n 阶导数, 则有f (x ) =T n (x ) +ο(x -x n ) n 即

f ' ' (x 0) f (n )' (x 0) 2

f (x ) =f (x 0) +f (x 0)(x -x 0) +(x -x 0) + +(x -x 0) n +ο(x -x 0) n

2! n !

'

常用函数的泰勒公式:

x x 2x n

+ ++ο(x n ) (1) e =1++

1! 2! n !

x

x 3x 5x 2n -1n -1

(2) sin x =x -+- +(-1) +ο(x 2n )

3! 5! (2n -1)!

2n x 2x 4n x (3) cos x =1-+- +(-1) +ο(x 2n +1) 2! 4! (2n )! n

x 2x 3n -1x +- +(-1) +ο(x n ) (4) ln(1+x ) =x -23n

(5) (1+x ) α=1+αx +

α

1!

⋅x +

α(α-1)

2!

⋅x 2+ +

α(α-1) (α-n +1)

n !

x n +ο(x n )

1

例19[3]： 求极限lim [x -x 2ln(1+)]

x x →∞解

12

[x -x ln(1+)] lim x x →∞

111111=lim [x -x 2(-⋅2+ο(2))]=lim (+ο(1)) =

x 2x 2x x →∞x →∞2

2.11 利用函数的连续性质求极限

常见的有以下几种形式:

(1) 设f(x)在x=a 处连续, 若lim x n =a 则

n →∞

lim

n →∞

f (x n ) =f (lim x n ) =f (a )

n →∞

(2) 设f(y)在y=b连续, y=g(x)有性质lim g (x ) =b

x →a

⎡⎤

则lim f [g (x ) ]=f ⎢lim g (x ) ⎥=f (b )

x →a ⎣n →a ⎦

(3) 设lim u (x ) =A >0

x →a

lim v (x ) =B 则

x →a

lim u (x )

x →a

v (x )

=lim e v (x ) ln u (x ) =e B ln A =A B

x →a

例20[5]： 设lim x n =a 求证lim (1+

n →∞

n →∞

x n n

) =e a n

证 显然有lim

n →∞

n

=∞ x n

则由(3)得lim (1+

n →∞

x n n

) =lim n n →∞

n

⎡1x n ⎤

) ⎥⎢(1+

n /x n ⎥⎢⎣⎦

x n

=e a

2.12 先判断极限存在再求其值

此种方法一般适用于具有递推形式a n +1=f (a n )的数列, 首先判断极限存在, 然后设lim a n =l 利用递推形式a n +1=f (a n )求出l .

n →∞

例21[6]： 设c >0 x 1=c x 2=c +c ……x n =c +c + +

n

求lim x n

n →∞

解 从x n 的表达式, 容易看出{x n }单调上升, 现证明x n ≤1+c n=1,2,… 事实上, 当n=1时是显然的, 用数学归纳法, 设x m

显然用x m

因此, {x n }必有极限, 令lim x n =a 则在x n

n →∞

a =c +a 即a 2=c +a 由此可解出a =

1±+4c

2

由于a >0 所以lim x n =

n →∞

1+4c +1

2

例22[7]：设a n +1=1+

a n

a n >0(n =1, 2 ) 求lim a n

n →∞1+a n

x 1

(x >0) 可知f (x )可微, 且f '(x )=>0 2

1+x 1+x 解:引入辅助函数f (x )=1+

∴f (x )单调递增, 又f (x )=1+

x

0)有界 1+x

∴数列a n +1=f (a n )=1+

a n

(n =1, 2 )单调有界, 故｛a n ｝收敛 1+a n

a n l

可知:l =1+.

1+l 1+a n

设lim a n =l . 则有a n +1=1+

n →∞

解得: l =

1-51+1+(舍去), l =(∵a n >0) 故lim a n =

n →∞222

c c a

：. 设0

222

2

例23

[16]

证明:用数学归纳法可以证明 0

c x 2

令f (x )=+, 则f '(x )=x

22

a n +1-a n =f (a n )-f (a n -1=f '(ξ)⋅a n -a n -1=ξ⋅a n -a n -1

再由(1)式可知｛a n ｝为压缩数列, 故收敛, 设lim a n =l .

n →∞

由于a n +1

c l 2c a n

=+ 所以l =+, 即l 2-2l +c =0.

2222

2

所以lim a n =1--c l =1--c ，l =1+-c (舍去)，

n →∞

小结:例21, 例22都是利用单调有界定理判断极限存在, 但例21用了数学归纳法, 例22用了辅助函数法, 而例23则是利用压缩映象原理证明了极限存在, 最后通过递推式求出极限

3 总结

数列极限问题是数学分析的基础, 要想灵活的掌握数列极限的求法也是很困难的, 不过在具体的操作过程中还是有一定的规律和方法的, 一般说来, 遇到一个数列极限问题, 我们首先要观察其形式是否具有某些特征, 先对数列极限是否存在作出判断, 然后再求其值. 例如当遇到具有递推形式a n +1=f (a n )的数列时, 首先要判断极限存在, 我们知道单调有界定理是判断极限存在的常用方法, 如例22用数学归纳法证明了数列{a n }单调有界, 从而可知数列{a n }极限存在, 最后可以求出数列{a n }的极限, 当然, 我们还可以利用级数∑a n 收敛的必要条件lim a n =0和定积

n =1

n ←∞

∞

分的定义⎰f (x ) dx =lim ∑f (ξi ) ∆x i , 而⎰f (x ) dx 的值易求出, 从而可以求出数列

a

n →∞

i =1

b

n

b

a

极限. 我们都知道归结原则沟通了数列极限和函数极限之间的关系, 使得求函数极限的一切方法都可以用到数列上, 如求函数极限的洛必达法则, 泰勒公式, 拉哥朗日中值定理等等。以上方法是在高等数学里求解极限的重要方法。在做求解极限的题目时，仅仅掌握以上方法而不能够透彻清晰地明白以上各方法所需的条件也是不够的，必须要细心分析仔细甄选，选择出适当的方法。这样不仅准确率更高，而且会省去许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果。这就要求学习者要吃透其精髓，明了其道理，体会出做题的窍门。达到这样的境界非一日之功，必须要多做题善于总结，日积月累，定会熟能生巧，在做题时得心应手。

参考文献

[1] 华东师范大学数学系．数学分析［Ｍ］．高等教育出版社，2001年6月第3版，23-64 [2] 陈传璋，朱学炎等. 数学分析[Ｍ].复旦大学数学系，高等教育出版社，15-34 [3] 郝涌，卢士堂. 数学考研精解[Ｍ].华中理工大学出版社，1-30 [4] 钱吉林. 数学分析题解精粹[Ｍ].崇文书局,13-58

[5] 李云锦. 谈谈极限求法[Ｊ].太原教育学院学报 2004年6月第22卷 [6] 曹希陶. . 极限求法再补遗[Ｊ].河北轻化工学院学报. 第18卷 第三期 [7] 李永乐，刘西垣．考研数学三［Ｍ］．国家行政学院出版社，45-60

[8] 赵显曾，黄安才．数学分析的方法与题解［Ｍ］．陕西师范大学出版社，24-105 [9] 李成章，黄玉民．数学分析［Ｍ］．科学出版社，第二版，20-64 [10] 杨传林．数学分析解题思想与方法［Ｍ］．浙江大学出版社，1-35 [11] 李克典，马云苓．数学分析选讲［Ｍ］．厦门大学出版社，1-74

[12] 裴礼文．数学分析中的典型问题与方法［Ｍ］．高等教育出版社，第二版，32-56 [13] 梁昌洪．话说极限［Ｍ］．科学出版社

[14] 湖南大学数学与计量经济学院．一元分析基础［Ｍ］．科学出版社，35-64 [15] 苏兆龙．数学考研辅导教程［Ｍ］．国防工业出版社，1-46

[16] 邵剑，陈维新，张继昌．大学数学考研专题复习［Ｍ］．科学出版社，1-40

致 谢

通过这一阶段的努力，我的毕业论文《关于极限的几种求解方法》终于完成了，这意味着大学生活即将结束。在大学阶段，我在学习上和思想上都受益非浅，这除了自身的努力外，与各位老师、同学和朋友的关心、支持和鼓励是分不开的。在本论文的写作过程中，我的导师唐玲老师倾注了大量的心血，从选题到开题报告，从写作提纲，到一遍又一遍地指出每稿中的具体问题，严格把关，循循善诱，在此我表示衷心感谢。同时我还要感谢在我学习期间给我极大关心和支持的各位老师以及关心我的同学和朋友。

写作毕业论文是一次再系统学习的过程，毕业论文的完成，同样也意味着新的学习生活的开始。我将铭记我曾是一名绵阳师范学院学子，在今后的工作中把绵师的优良传统发扬光大。

感谢各位专家的批评指导。

学生:唐莉 2011-4-27