任意四边形刚体平板绕质心轴的转动惯量公式
24物理与工程 Vol. 12 No. 6 2002
任意四边形刚体平板绕质心轴的转动惯量公式
周国全
(武汉大学物理学院物理系, 武汉 430072)
(收稿日期:2002208202)
摘 要 , 及对称条件下给出若干推论; .
关键词 转动惯量; 刚体; 质心轴
R OTATION INERTIA FOR AN
Y QUAD RILATERAL RIGID PLANE
AR OUN D ITS CENTER 2OF 2MASS AXIS
Zhou G uoquan
(Physics Department , Wuhan University , Wuhan 430072)
Abstract This paper gives a provement of the formula of rotation inertia for an arbitrary
quadrilateral rigid plane around its center 2of 2mass axis , and also gives some inference under the circumstances of limitation and symmetry which is coincident with the current conclusions. K ey Words rotation inertia ;rigid body ;center 2of 2mass axis 1 引言
1985年美国的物理学报第5期发表了R ・Rabinoff 的一篇论文[1,2], 首次提出用标度
及三边之长. 本文在这一结论的基础上, 又推
导出任意四边形刚体平板绕质心轴的转动惯量公式. 其特例正好与文献[1]及文献[3]的结论相符.
2 任意四边形质心位置的几何确定
变换配合平行轴定理推导平板型刚体的转动
惯量, 但他只给出对称性刚体诸如长方形、正方形、等腰三角形及正n 边形刚体平板的结论, 而对非对称刚体却未曾涉及. 拙作文献[3]将R ・Rabinoff 的方法之应用领域拓展到非对称的平板刚体, 成功地推导出非对称均匀等厚的任意三角形刚体平板绕质心轴的转动惯量公式[3]:
(1) I △AB C (G ) =m (a 2+b 2+c 2)
36
其中, m 与a 、b 、c 分别为三角形平板的质量
一个具有确定形状及大小的四边形, 其
四边及两对角线的长度必须同时给定, 否则其结构与形状将不唯一, 且不稳定, 这一点有别于三角形(三角形的三边长度一旦给定, 其结构与形状就是稳定而唯一的) . 因此, 我们所要得到的四边形绕质心轴的转动惯量公式, 一定是其质量m 与其四边及两条对角线长度的某个函数, 本文的目的就是求出这个
物理与工程 Vol. 12 No. 6 2002函数表达式. 用直接积分法求解需要给出四个顶点坐标, 其过程将异常繁复和棘手, 其表达式也不简洁. 而工程设计中一般给定的是四边形的边长及对角线长度, 为此我们首先对一给定的四边形确定其质心的位置, 我们将看到, 其质心位置从几何上用作图法即可确定, 而无须用笛卡尔坐标表示. 如图1所示, A B CD 是一质量为m 且均匀等厚的四边形刚体, 边长A D =a , A B =b , B C =c , CD =d ; 二对角线长B D =e , A C =f ; 对角线交点为O ; B D 将四边形A B CD 两部:ΔA B D 与ΔCB D ; △S 2; m △ABD , m m 2. D 的中点O 1, 连接1CO 1, 则△A B D 的质心在
A O 1上之G 1点, 且满足O 1G 1=O A ,
31
△CB D 的质心在CO 1上之G 2点, 且满足
O 1G 2=O C. 设G 1G 2交B D 于O 2, 则四
31
边形A B CD 质心必落在G 1G 2的连线上某点G , 且按质心(G ) 的性质应有:
(2
) m 1・G 1G =m 2・G 2G
=G 2G G 1O 2
25
即
= (合比定理)
G 1G +G 2G G 1O 2+G 2O 2
又
G 1G +G 2G =G 1O 2+G 2O 2
=G 2=
C O 2; 2=G 1O 2. 因
, G 点使G 2G =2, G 1G =G 2O 2即得四边形A B CD 的质心G. 同时从式(3) 、式(5) 和A O +CO =A C =f 可以求出:
G 1G =G 2O 2=O C
3G 2G =G 1O 2=OA
3
(6)
S
OA
=
S 1+S 2
f
O C =
f
S 1+S 2
从式(4) 及m 1+m 2=m 可以求出:
m 1=
m , m 2=m
S 1+S 2S 1+S 2
至此, 我们用纯几何的方法确定了四边形
A B CD 质心G 的位置.
图 1
又容易证明如下三个结论:
①△O 1G 1G 2∽△O 1A C (相似比为1∶3) ;
②G 1G 2∥A C 且G 1G 2=A C (①的
3
推论) ;
③
= (②的推论) . CO G 2O 2
=m 1S 1
(3)
3 四边形刚体平板绕质心轴的转动惯量公
式
如图1所示, 四边形A B CD 绕质心轴(通
过G 点且垂直于A B CD 所在平面) 的转动惯量可写成:
I AB CD (G ) =I ΔABD (G ) +I ΔCBD (G )
因为刚体平板的质量均匀分布, 故有
(4)
而
I ΔABD (G ) =I ΔABD (G 1) +m 1(GG 1) 2
I ΔCBD (G ) =I ΔCBD (G 2) +m 2(GG 2)
2
而
== (因S 1, S 2共底B D ) S 2S △CBD CO
(5)
(3) 、(4) 、(5) 可得:由式(2) 、
其中运用了平行轴定理. 而由拙作文献[3]的
公式(1) 可得:
I △ABD (G 1) =m 1(a 2+b 2+e 2)
36
26
I △CBD (G 2) =
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222
m 2(c +d +e ) 36
(6) 式, 可得:由此并应用(2) 式、22222222
I AB CD (G ) =m 1(a +b +e ) +m 2(c +d +e ) +m 1(GG 1) +m 2(GG 2)
36362222(m 1+m 2) e 2+=[m 1(a +b ) +m 2(c +d ) ]+m 1G 1G (G 1G +G 2G ) 3636
=
222222
me +m (a +b ) +m (c +d ) +m 2f 3636S 1+S 2S 1+S 2(1+S 2)
S 1+S 2
2
将上式写得对称一点, 可得
I AB CD (G )
22
) c +d 2) -=m (e +f ) +361+1S 2
f
2
(7)
注意其中S 12:
S 1=S 2=
P 1(P 1-a ) (P 1-b ) (P 1-e ) P 2(P 2-c ) (P 2-d ) (P 2-e )
这里P 1=
(a +b +e ) , P 2=(c +d +e ) . 22
至此, 我们成功地推导出非对称的任意
四边形刚体平板绕质心轴的转动惯量公式(7) . 它完全取决于刚体平板的质量m 及四边的边长a 、b 、c 、d 和对角线长度e 、f . 4 若干特例与讨论
(1) 当O 点平分A C 时, A O =CO =f , 且S 1=S 2; 而有
I AB CD (G ) =
2
22
m (e +f ) +362222
m (a +b +c +d ) 72
矩形是特殊的平行四边形, 其绕质心轴的转动惯量当然也是上式. 这正是文献[1]、文献[3]中的结论, 故公式(7) 经特例检验是正确的.
(3) 公式(7) 在a 、b 、c 、d 之一为零时应回到三角形刚体平板绕质心轴的转动惯量公式(1) 的形式. 在(7) 式中令d =0, 则S 2=0且有f (=A C ) =a 、e (=B D ) =c 代入(7) 式中可得:
I △AB C (G ) =m (a 2+b 2+c 2)
36
回到了(1) 式的形式.
(4) 我们再用另一方式使A B CD 退化为三角形———使C 点沿CA 方向趋近于O 点, 即令CO =0, 此时, S 2=0, m 1=m , 不难证明, 公式(7) 同样回归到公式(1) 的形式:
I △ABD (G ) =m (a 2+b 2+c 2)
36
其中A D =a , A B =b , B D =e.
参 考 文 献
[1] Rabinoff R. A m. J. Phys. 1985, 53(5) :501
[2] Rabinoff R. 用标度变换求转动惯量:如何避免繁杂的
(2) 当A B CD 是一平行四边形, 即A C 、
B D 相互平分于O 点, 则:OA =OC , OB =OD , S 1=S 2; 而且由平行四边形的性质得:
22222222e +f =a +b +c +d =2(a +b )
因而
I □AB CD (G ) =
积分. 愈志毅译. 大学物理,1987, (7) :3132
m (e 2+f 2) =m (a 2+b 2) 2412
[3] 周国全. 对称操作与量纲方法求刚体转动惯量. 物理与
) 1996, (2) :1215工程(原《工科物理》