直线的位置关系
一、同步知识梳理
1、两直线的位置关系
(1)平面内两条直线的位置关系有三种:重合、平行、相交(垂直)。 (2)判别方法:
法一:系数行列式判别解的个数方法
① D0相交;
② D=0且Dx、Dy至少有一个不等于零平行; ③ D=Dx=Dy=0 重合
法二:当直线不平行于坐标轴时,直线与直线的位置关系可根据下表判定
2、相交直线交点与夹角
(1)交点坐标:联立方程求解
(2)夹角公式:
向量表示:cos|cos||
12|
|a1a2b1b2|a1b1a2b2
2
2
2
2
.
斜率表示:同样地,由于不是所有的直线都有斜率,因此需要按“斜率存在、斜率不存在”
分类讨论.
(1)若两直线的斜率都存在,当
2
时,有公式tan
k2k1
;
1k1k2
(2)如果直线l1和l2中有一条斜率不存在,“夹角”可借助于图形,通过直线的倾斜角求出.
二、同步题型分析
题型1:位置关系的判别与计算
例1: 已知两条直线P:xm2y60,Q:(m2)x3my2m0.当m为何值时,
两直线
(1)相交; (2)平行; (3)重合.
【答案】
解:联立方程组:xmy6
2
(m2)x3my2m
616m2m232
则D=,Dy=. 3mm2m ,Dx=
2m3mm22mm23m
令D=0则m=0或m=3或m=1,
①当m0且m3且m1时,D0, 则P与Q相交; ②当m=0时,D=Dx=0 但Dy=-1≠0,则P与Q平行;
③当m=1时,D=0,Dx= 16 Dy=-16,则P与Q平行; ④当m=3时,D=Dx=Dy=0,则P与Q重合.
综上所述:(1)m0且m3且m1时,两直线相交; (2)m=0或m=1时,两直线平行; (3)m=3时,两直线重合.
【此题的解法体现了化归的数学思想,二元一次方程组的解的讨论是一个规范化的纯代数问题,而直线P与Q的位置关系是一个纯几何问题,由交点个数与方程组的解的个数转化顺实现化归;解题中要弄清楚“且”与“或”的关系】
,
例2、m为何值时,直线L1:(m2)xym0,L2:3xmym60,互相垂直. 【答案】
解:L1的法向量n1(m2,1),L2的法向量n2(3,m).
令n1n2=0,则3m2+m=0,解得m=
.
例3、从点1,2作直线3x5y210的垂线,则垂足的坐标为 . 【答案】
解:设垂足坐标为Px0,y0,
由直线的方向向量d(5,3),则(5,3)x0+1,y02=0①
3. 2
点Px0,y0代入直线方程得:3x05y021=0② 由①、②得:
x0=2
.
y0=3
题型2:夹角公式应用
例1:已知直线l1:3xy20,l2:3xy50,则直线l1与l2的夹角
是 . 答案:
3
例2:直线l1在x轴和y轴上的截距分别为3和1,直线l2的方程为axy10,直线l1与l2的夹角为45,则a的值为1
答案:或2
2
例3:直线y
1与直线y3的夹角为
解析:当出现平行或垂直x轴直线时,可数形结合用倾斜角判断
3
题型3:直线位置关系的综合分析
例1:当m取何值时,三条直线L1:4xy4,L2:mxy0,L3:2x3my4不
答案:能构成三角形.
解:(1)当三线交于一点时,不妨设L1、L2相交,易求点 将交点代入L3的方程,求得m=1或m=
4m4
,,
4m44m
2. 3
(2)当三条直线中至少有两条平行(或重合)时, ①L1与L2平行(或重合),求得m=4; ②L1与L3平行(或重合),求得m= ③L3与L2平行(或重合),m无解.
1
; 6
综上所述,当三条直线不能构成三角形时,m值可以是1或
21
或或4. 36
【由几何特征,易知三条直线交于一点或至少两条直线平行(或重合)时,三线都不能构
成三角形;分类讨论时要点是不重复且不遗漏】
三、课堂达标检测
1、当m为何值时,直线L1:(m2)xym0,L2:3xmym60.两直线 (1)相交;(2)平行; (3)重合. 【答案】(1)m3且m1,相交;
(2)m=1,平行; (3)m=3重合.
2、若直线L1:ax3y50 , L2:2x4y30互相垂直,求a的值? 【答案】6.
3、若直线x1mym20与直线mx2y80平行,则实数m的值为
A.1 B.2 C.1或2 D.1或2
4、“两条直线的斜率的乘积等于—1”是“两条直线互相垂直”的 ( )
A.必要非充分条件; B.充分非必要条件;
C.充要条件; D.既非充分又非必要条件. 【答案】B.(提示:当斜率为零与斜率不存在的情况下的两条直线也相互平行)
5、若直线L1:ax3y40 , L2:2x4yb0互相平行,则a、b的值是 ( )
316316,b; B.a,b; 2323316316
C.a,b; D.a,b.
2323
【答案】 C.
A.a
6、若直线L1:kx(1k)y30,L2:(k-1)x(2k3)y20互相垂直,则k的值为 .
【答案】—3或1(提示:当斜率不存在的时候不能忽略).
7、两条直线A1xB1yC10,A2xB2yC20垂直的充要条件是( )
A.A1A2B1B20
B.A1A2B1B20
C.
A1A2
1 D.B1B2
B1B2
1 A1A2
解析:理解公式的全面性问题 答案:A
8、 “m
1
”是“直线m2x3my10与直线m2xm2y30 相2
互垂直”的( )
A.充分必要条件; B.充分而不必要条件; C.必要而不充分条件; D.既不充分
也不必要条件. 答案:A 9
、直线
xy
3和直线x
y2的位置关系是
A.相交不垂直 B.垂直 C.平行 D.重合
答案:B
10
、直线L1:xc
0,L2:xsin0(<<
3)的位置关2
系是( )
A.平行; B.相交; C.垂直; D.重合. 答案C.
11、若a、b、c是△ABC的三条边,则直线L1:xsinAayc0,
L2:bxysinBsinC0
的位置关系是( )
A.平行; B.相交; C.垂直; D.重合. 答案C.
12、已知两条直线l1:yx,其中a为实数,当这两条直线的夹角在0,axy0,l2:内变动时,a的取值范围是
12
A.0,1 B.
C.
3
3,1
解析:数形结合分析l1倾斜角 D.(1,
)
,则l2倾斜角范围可得
4
①L1、L2平行(或重合),求得a=1;
②L1、L2平行(或重合),求得a=2;
综上所述,当三条直线不能构成三角形时,a值可以是1或7或-2.
学法升华
一、 知识收获
1、两直线的位置关系
(1)平面内两条直线的位置关系有三种:重合、平行、相交(垂直)。 (2)判别方法:
法一:系数行列式判别解的个数方法
① D0相交;
② D=0且Dx、Dy至少有一个不等于零平行; ③ D=Dx=Dy=0 重合
法二:当直线不平行于坐标轴时,直线与直线的位置关系可根据下表判定
2、相交直线交点与夹角
(1)交点坐标:联立方程求解
(2)夹角公式:
向量表示:cos|cos||
12|
|a1a2b1b2|a1b1a2b2
2
2
2
2
.
斜率表示:同样地,由于不是所有的直线都有斜率,因此需要按“斜率存在、斜率不存在”分类讨论.
(1)若两直线的斜率都存在,当
2
时,有公式tan
k2k1
;
1k1k2
(2)如果直线l1和l2中有一条斜率不存在,“夹角”可借助于图形,通过直线的倾斜角求出.
二、 方法总结
1、基本公式理解加以区别和灵活应用
2、数形结合思想
三、 技巧提炼
做好公式区别,掌握特殊情况,数形结合思想分析等
课后作业
1、经过点A(1,0)且与直线xy10平行的直线l的方程为xy10_.
2、直线3x2ym0与直线2x3y10的位置关系是„„„„„„„„„„( A ) (A)相交 (B)平行 (C)重合 (D)由m决定
3、已知直线2xy20和3xy10的夹角是
4
4
.已知直线y0与直线kxy10的夹角为60,则实数k
.