三角函数-向量基本公式
1.正弦定理及其变形
a b c (1)==2R . sin A sin B sin C
(2)a =,b =,c =.
a b c (3)sin A =sin B =sin C =. 2R 2R 2R
(4)sin A ∶sin B ∶sin C =2.余弦定理及其推论
(1)a 2=b 2+c 2-2bc cos_A .
b 2+c 2-a 2
(2)cos A =2bc
(3)在△ABC 中,c 2=a 2+b 2⇔C 为直角;c 2>a 2+b 2⇔C 为钝角;c 2
3.在△ABC 中,边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ,则有:
A +B πC (1)A +B +C ==222
(2)sin(A +B ) =cos(A +B ) ,tan(A +B ) A +B A +B C C (3)sin cos cos =sin 2222
B ⇔c o s A c o s B 4、在∆ABC 中,a >b ⇔A B ⇔sin A s i n
5、在∆ABC 中,sin 2A =sin 2B ⇔A 或⇔∆为
练习:
(1)在∆ABC 中,A , =)
(2)在∆ABC 中,已知BC=8,AC=5,三角形面积为12,则cos 2C =
a b =⇔∆为三角形; (3)在∆ABC 中,cos A cos B
b a =
⇔∆为
6、向量的数量积的几何意义
(1)投影:|a |cos θ(|b |cos θ) 叫做向量) 的投影.
(2)几何意义:数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影的乘积.
7、向量的数量积的性质
设a 与b 都是非零向量, θ为a 与b 的夹角.
(1)a ⊥b ⇔ (2)当a 与b 同向时,a ·b =;当a 与b 反向时,a ·b =
(3)a ·a =|a |=a ·a = (4)cos θ= (5)|a ·b ||a ||b |.
例题: 已知: 、、是同一平面内的三个向量,其中 =(1,2)
⑴若|c |=25,且//,求c 的坐标;
⑵若|b |=5, 且a +2b 与a -b 垂直,求a 与b 的夹角θ. 2
0例题: 已知向量 、的夹角为120
,a =3, a +b =,则b =例题: (1)已知a =4, b =3, 2a -3b ()(2a +b )=61, 求a 与b 的夹角θ。 , 在OC 上是否存在点M ,使得MA ⊥MB ? 若存在,求出点M 的(2)设O A =(2,5),O B =(3,1),O C =(6,3),O (0,0)坐标;若不存在,说明理由。
例题: 在Rt ∆ABC 中,∠C =900, ∠A =300, 斜边AB 长为2,M,N 分别是BC,AC 的中点,求:(1)向量BN , AM 的长度;
(2)中线AM 与BN 所成的钝角的余弦值。
⎛a b ⎫
例题: 在∆ABC 中,已知BA =a , BC =b , AC =c , 且 +⎪c =0,则∆ABC 的形状是 a b ⎪⎝⎭
难点三:平面向量在平面几何中的几个重要模型,请牢记(若有需要,请自行证明)
(1)在平行四边形ABCD 中,若AB =AD ,则(AB +AD )(⋅AB -AD )=0即菱形模型;
(2)在平行四边形ABCD 中,若AB ⊥AD ,则AB +AD =AB -AD 即矩形模型;
(3)在∆ABC 中AB +AC 一定过BC 的中点,通过∆ABC 的重心; (4)在∆ABC 中OA +OB +OC =0,则O 是∆ABC 的重心;
(5)在∆ABC 中AP =λ(AB AB +AC AC ) ,(λ∈R ) 则直线AP 通过∆ABC 的内心;
(6)在∆ABC 中,OA =OB =OC , 则O 是∆ABC 的外心;
(7)在∆ABC 中,PA PB =PB PC =PC PA ,则p 是∆ABC 的垂心。