三角函数的图像与性质(比较全)
三角函数的图像与性质
【要点透析】
二、函数y =A sin(ωx +ϕ)
(A >0, ω≠0) 的性质
(1)定义域:R; (2)值域:[-A , A ]; (3)周期性:T =
2π
ω
;
(4)奇偶性:当ϕ=k π(k ∈Z )时,为奇函数;当ϕ=k π+
π
2
(k ∈Z )时为偶函数;
π
2
≤ωx +ϕ≤2k π+
(5)单调性:函数y =A sin (ωx +ϕ)(A >0, ω>0. x ∈R )的单调增区间可由2k π-单调减区间可由2k π+
π
2
, k ∈Z 解得;
π
3
≤ωx +ϕ≤2k π+π, k ∈Z 解得. 22
(6)对称中心:函数y =A sin (ωx +ϕ)的对称中心的横坐标可由ωx +ϕ=k π(k ∈Z )解得,纵坐标为0. (7)对称轴:函数y =A sin (ωx +ϕ)的对称轴方程可由ωx +ϕ=k π+
π
2
(k ∈Z )解得.
三、三角函数图像的平移和伸缩:水平只针对x →左加右减,伸缩就除;竖直→上加下减,伸缩就乘。
题型一、三角函数图像、定义域、值域
例1
、作函数y = 变式、作函数y =sin(2x +
例2、求下列函数的定义域: (1)y =sin 2x ; (2)y =cos(x +
π
3
) 的图像
π
3
) ; (3
)y = (4)y =
1
; (5
)y =lgsin x .
sin x +1
例3、求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合,并说出最大值是什么? (1)y =cos x +1,x ∈R ; (2)y =sin 2x ,x ∈R .
变式、求下列函数的值域:(1)y =
课堂作业1、(1)y =
2
2、已知函数y =2cos x -2a cos x -(2a +1) 。⑴求函数的最小值f (a ) ;⑵试确定满足f (a ) =
1sin x ππ2
y =y =3cos x +4sin x -4, x ∈[-, ] ; (2);(3)
sin 2x +1sin x +233
2+sin x cos x +32
;(2)y =;(3) y =tan x -3tan x -1
1+sin x cos x +2
1
的a 的值; 2
⑶当a 取⑵中的值时,求y 的最大值
题型二、三角函数周期
例1、求下列函数周期:(1)y =3cos x ,x ∈R ;(2)y =sin 2x ,x ∈R ;(3)y =2sin(x -
12
π
6
) ,x ∈R .
变式、函数y =-3sin
课堂作业
1⎛π1⎫
-x ⎪与y =|sin x |的最小正周期分别是
2⎝63⎭
(1)y =sin 3x ,x ∈R ; (2)y =cos
(4)y =sin(x +
题型三、奇偶性
例1、判断下列函数的奇偶性:
x x
,x ∈R ; (3)y =3sin ,x ∈R ; 34
1ππ
) ,x ∈R ; (5)y =cos(2x +) ,x ∈R ; (6
)y =x -) ,x ∈R . 10243
π
(1)y =
2x ;(2)y
y (4)y =sin x -1
变式、函数y =x cos x 是奇函数还是偶函数
例2、已知函数f (x )=2sin(ωx +ϕ-)(00) 为偶函数,则ϕ=
π
6
题型四、三角函数单调性 例1、函数y =cos
⎛π⎫
-x ⎪的递增区间是( ) ⎝4⎭
A 、⎢2k π-
⎡
⎣⎡⎣
3ππ⎤5ππ⎤⎡
, 2k π+⎥(k ∈Z ) B、⎢2k π-, 2k π-⎥(k ∈Z ) 44⎦44⎦⎣
C 、⎢2k π+
π
4
, 2k π+
5π⎤π3π⎤⎡
()(k ∈Z ) k ∈Z D、2k π-, 2k π+⎢⎥4⎥44⎦⎣⎦
变式1、函数y =sin
π⎫⎛1
x +⎪,x ∈[-2π, 2π]的单调递增区间是________________
3⎭⎝2
π
4
) 的单调递增区间是变式2、f (x ) =tan(x +
课堂作业1、在下列区间中, 是函数y =sin(x +
π
4
) 的一个递增区间的是 ( )
π
24
ππ5
2、函数y =cos(x -x ∈[, π])的最小值是.
666
3、求函数y =-tan 2x -
A .[, π] B.[0, ] C.[-π, 0] D.[, ]
πππ
42
⎛⎝3⎫
π⎪的定义域、周期和单调区间. 4⎭
例1、函数y =cos(2x +π) 的图象的一条对称轴方程是( )
A .x =-π B.x =-π C.x =π D.x =π
例2、函数y =1+cos x 的图像关于( )
A 、x 轴对称 B、y 轴对称 C、原点对称 D、直线x =变式1、函数y =
π
2
对称
2sin 2x +1的对称轴是_____________,对称中心是______________。
2、若函数f (x ) =cos(3x +ϕ) 的图像关于原点成中心对称图形,则ϕ= 课堂作业
1、给定性质: ①最小正周期为π; ②图象关于直线x =对称, 则下列四个函数中, 同时具有性质①、②的是( )
3
π⎫π⎫⎛x π⎫⎛⎛
A. y =sin +⎪ B.y =sin 2x +⎪ C.y =sin x D.y =sin 2x -⎪
6⎭6⎭⎝26⎭⎝⎝2、函数y =2sin(2x +
π
3
) 的图像关于( )
A .原点成中心对称 B.y 轴成轴对称图形 C.直线x =-
π
6
成轴对称图形 D.直线x =
π
12
成轴对称图形
3、函数y =2sin3x (≤x ≤) 与函数y=2的图像围成一个封闭图形,这个封闭图形的面积是66
题型六、零点问题
1
的x 个数是( ) 2
A 、1 B、2 C、3 D、4 2、方程2x =cos x 的实数解个数( )
A 、0 B、1 C、2 D 、无穷多
x
=cos x 解的个数为;4、sin x =lg x 的根的个数3、方程100
1、从函数y =sin x ,x ∈[0,2π]图像看,对应于sin x =
题型七、三角函数平移 例1、为了得到函数y =2sin
x ⎛x π⎫
+⎪,x ∈R 的图像,只需把函数y =2sin ,x ∈R 的图像( )
3⎝36⎭
ππ
个单位长度 B、向右平移个单位长度 66ππ
C 、向左平移个单位长度 D、向右平移个单位长度
22
A 、向左平移
例2、要得到函数y =cos
x ⎛x π⎫
-⎪的图像,只需将函数y =sin 的图像( )
2⎝24⎭
A 、向左平移
ππππ
个单位 B、向右平移个单位 C、向左平移个单位 D、向右平移个单位 2244
例3、函数y =cos x (x ∈R )的图像可以通过将y =sin x (x ∈R )的图像向左平移m 个单位长度得到,那么m 的最小值等于( ) A、
3ππππ
B、 C、 D、
223 4
课堂作业1、将函数y =sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x ) =3sin(x -
题型八、求解析式
例1、已知函数f (x )=sin (2x +ϕ)的图像关于直线x =
A 、
2
4
), x ∈R 的图象
π
8
对称,则ϕ的一个值是( )
πππ3π B、- C、 D、
44 24
⎛π⎫⎛π⎫
-x ⎪=f +x ⎪,则函数f (x )⎝4⎭⎝4⎭
例2、若函数f (x )具有性质:(1)f (x )为偶函数;(2)对任意x ∈R ,都有f 的解析式可以是( )
A 、cos 2x B、cos 3x C、sin 2x D、cos 4x 例3、已知y =A sin(ωx +ϕ) +B (A >0, ω>0, 最小) 图像,求表达式
课堂作业1、已知函数y =sin(ωx +ϕ) (ω>0,-π≤ϕ
1、下列说法正确的是(填上你认为正确的所有命题的代号)______________.
①函数y =sin (k π+x )(k ∈Z )是奇函数.
π⎫⎛
②函数y =sin 2x +⎪关于点(π,0) 对称.
3⎭⎝
π⎫⎛
③函数y =cos 2x +⎪的最小正周期是π.
6⎭⎝
5π⎫⎛7π④函数y =sin 2x +⎪的图象的一条对称轴方程是x =. 3⎭⎝
2、已知函数y=
1π5
sin(2x+)+.,x∈R . 264
(1) 用五点法作出它一个周期内的简图;
(2) 求f (x ) 的最小正周期,单调递减区间,对称轴和对称中心;
(3) 该函数的图象是由y=sinx(x∈R ) 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的?
3、是函数y =A sin (ωx +ϕ)(A >0, ω>0. x ∈R )的图象,(1)确定A 、ω、ϕ的值并求函数解析式;(2) 设
x ∈[-
ππ
, ],求f (x
) 的值域和单调递增区间. 36