高中数学必修5不等式例题及详细答案
第三章 不等式
一、选择题
1.若a =20.5,b =log π3,c =log πsin A .a >b >c
2π
,则( ) . 5
C .c >a >b
D .b >c >a
B .b >a >c
2.设a ,b 是非零实数,且a <b ,则下列不等式成立的是( ) . A .a 2<b 2
B .ab 2<a 2b
C .
11<2 2ab a b
D .
b a
< a b
3.若对任意实数x ∈R ,不等式|x |≥ax 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) . A .a <-1
B .|a |≤1
C .|a |<1
D .a ≥1
4.不等式x 3-x ≥0的解集为( ) . A .(1,+∞)
B .[1,+∞)
D .[-1,0]∪[1,+∞)
C .[0,1) ∪(1,+∞)
5.已知f (x ) 在R 上是减函数,则满足f (A .(-∞,1)
1
) >f (1) 的实数取值范围是( ) . x -1
B .(2,+∞) D .(1,2)
C .(-∞,1) ∪(2,+∞)
6.已知不等式f (x ) =ax 2-x -c >0的解集为{x |-2<x <1},则函数y =f (-x ) 的图象为图中( ) .
A B C D
(第6题)
⎧x -y ≥0 ⎪
7.设变量x ,y 满足约束条件⎨x +y ≤ 则目标函数z =5x +y 的最大值是( ) . 1
⎪x +2y
≥1 ⎩
A .2 B .3 C .4 D .5
⎧x +y -3≥0
⎪
8.设变量x ,y 满足⎨x -y +1≥ 1 设y =kx ,则k 的取值范围是( ) .
⎪3x -y -5
≤
1 ⎩
A .[
14
,] 23
B .[
4
,2] 3
C .[
1
,2] 2
D .[
1
,+∞) 2
9.已知a ,b ∈R ,则使|a |+|b |≥1成立的一个充分不必要条件是( ) . A .|a +b |<1 C .a <1,且b <1
B .a ≤1,且b ≤1 D .a 2+b 2≥1
10.若lg x +lg y =2,则A .
11
+的最小值为( ) . y x
1
20
B .
1 5
C .
1 2
D .2
二、填空题
11.以下四个不等式:①a <0<b ,②b <a <0,③b <0<a ,④0<b <a ,其中使成立的充分条件是 .
⎧1(x >0) ,
12.设函数f (x ) =⎨ 则不等式xf (x ) +x ≤4的解集是____________.
⎩-1(x <0) .
11<a b
(-1) n +1
13.若不等式(-1) a <2+对任意正整数n 恒成立, 则a 的取值范围是 .
n 11
14.关于x 的不等式x 2-(a ++1) x +a +<0(a >0) 的解集为__________________.
a a
n
15.若不等式x 2-2x +3≤a 2-2a -1在R 上的解集是空集,则a 的取值范围是 . 三、解答题
16.已知函数f (x ) =x 2-2x +
49(x -1) 2
,x ∈(-∞,1) ∪(1,+∞) ,求f (x ) 的最小值.
17.甲乙两人同时同地沿同一路线走向同一地点,甲有一半时间以速度m 行走,另一半时间以速度n 行走;乙有一半路程以速度m 行走,另一半路程以速度n 行走,若m ≠n ,问甲乙两人谁先到达指定地点?
18.已知关于x 的不等式(ax -5)(x 2-a ) <0的解集为M .
*
(1) 当a =4时,求集合M ;
(2) 当3∈M ,且5M 时,求实数a 的取值范围.
一、选择题 1.A
解析:三个以上的实数比较大小,可以先估算,进行分类(与0比较或与1比较) ,再应用不等式性质或作差法.
因为π>1,0<sin
2π2π
<1,所以c =log π sin <0. 55
又因为3>1,所以b =log π3>0,而a =20.5>0,故c 最小,只需再比较a 与b 的大小. 由指数函数的性质知,20.5>1而且0<log π 3<log π π=1,所以a >b ,即a >b >c . 2.C
解析:比较两个实数的大小,可采用作差法,也可用特殊值排除法,以下用作差法. ∵a 2-b 2=(a +b )(a -b ) ,
当a <b ,且a ,b 均为负数时,(a +b )( a-b ) >0,a 2 >b 2,排除A . ∵ab 2-a 2b =ab (b -a ) ,
由于b -a >0,当a ,b 同号时(比如a =1,b =2) ,ab (b -a ) >0,ab 2>a 2b ,排除B .
a -b 1111
-2=22<0,即2<2. 2ab a b ab a b a b
b a
同样可以用作差法判断<是错误的.
a b
∵3.B
(第3题)
解析:由于不等号两边的函数比较熟悉,可以尝试数形结合法. 令f (x ) =|x |,g (x ) =ax ,画出图象如右图, 由图可以看出|a |≤1. 4.D
解析:用数轴标根法求解. x 3-x ≥0可化为 x (x -1)(x +1) ≥0,
如图,原不等式的解集为{x |-1≤x ≤0,或x ≥1}. 5.C
解析:关键是利用单调性去掉“f ”,转化为不含“f ”的不等式求解. ∵f (x ) 在R 上是减函数, ∴f (
(第4题)
11x -2
) >f (1) ⇔<1⇔>0⇔x <1或x >2. x -1x -1x -1
6.B
解析:首先根据方程ax 2-x -c =0的根确定a ,c ,再求出f (-x ) . 由已知,方程ax 2-x -c =0的两个实根为-2和1,则(-2) +1=
-c 1
,(-2) ×1=,a a
129
) +,由开
24
解得a =-1,c =-2,则f (x ) =-x 2-x +2,f (-x ) =-x 2+x +2=-(x -
口方向和对称轴位置判断为B .
7.D
解:先画可行域如图.作直线l 0:5x +y =0,平行移动直线l 0至直线l ,从图形中可以发现,当直线l 经过平面区域内的点A 时,直线在y 轴的截距最大,此时z 最大.
1⎧x +2y =⎧x =1
由⎨,解得⎨,即A (1,0) ,
⎩
x +y =1⎩y =0∴z =5×1+0=5.
(第7题)
8.C
解析:k 的几何意义是可行域内的点与原点连线的斜率.
解: 先画出题中不等式组所表示的区域(如图) ,可以看出k OA 最小,k OB 最大.
⎧3x -y -5=0⎧x =2由⎨得A (2,1) , ⇔⎨
x +y -3=0y =1⎩⎩
k OA =
1-01
=; 22-0
(第8题)
=01⎧x -y +1⎧x =
由⎨得B (1,2) , ⇔⎨
x +y -3=0y =2⎩⎩
k OB =9.D
2-011
=2.∴≤k ≤2,即k ∈[,2].
221-0
分析:如果①:某选项能推出|a |+|b |≥1,则充分性成立;还需要②:|a |+|b |≥1不能推出该选项,①和②满足,该选项就是充分不必要条件.
解:若a 2+b 2≥1,则(|a |+|b |)2=a 2+2|ab |+b 2≥a 2+b 2≥1,|a |+|b |≥1,充分性11⎛1⎫⎛1⎫
成立.但|a |+|b |≥1时,未必有a +b ≥1,例如+=1,然而 ⎪+ ⎪<1.
22⎝2⎭⎝2⎭
2
2
2
2
10.B
解:∵lg x +lg y =2,∴xy =100,且x >0,y >0, ∴
11211111
+≥2,即+≥, ⋅=
y y x y x x 5xy
⎧x =y
当且仅当⎨ x =10,y =10时取等号.
xy =100⎩
二、填空题 11.①②④. 解:a <0<b ⇒
11
<0<,充分性成立; a b
b -a 11
<0,即<,充分性成立;
a b ab
b <a <0⇒ab >0,b -a <0⇒b <0<a ⇒
1111
<0,>0⇒>,充分性不成立; b a b a
0<b <a ⇒ab >0,b -a <0⇒12.{x |0<x ≤2,或x <0}.
11
<,充分性成立. a b
解析:由于f (x ) 是分段函数,所以要分别对每一段(分别在x >0,x <0条件下) 解不等式.
⎧x >0 ⎧x >0
由⎨ ⇔⎨ ⇔0<x ≤2, ⎩xf (x ) +x ≤4 ⎩x ·1+x ≤4 ⎧x <0 ⎧x <0
由⎨ ⇔⎨ ⇔x <0, ⎩xf (x ) +x ≤4 ⎩x ·(-1) +x ≤4
∴0<x ≤2或x <0. 13.[-2,
3
) . 2
解析:首先处理(-1) n ,需要对n 的奇偶性进行讨论. 若n 为奇数,原不等式⇔-a <2+数n 恒成立,因为-(2+
111
⇔ a >-(2+) ,即a >-(2+) 对任意正奇n n n
11
) =-2-<-2,所以只需a ≥-2. n n
11
,即a <2-对任意正偶数n 恒成立, n n
若n 为偶数,原不等式⇔a <2-只需a <(2-
1133
) 最小值=2-=,即a <. n 222
所以若对任意正整数n 不等式恒成立,以上应同时满足, 故-2≤a <
3. 2
1
}. a
11
+1) x +a +=0(a >0) 是否有实数根,实数根大小是a a
14.{x |1<x <a +
解析:首先判断方程x 2-(a +否确定.
x 2-(a +
111
+1) x +a +<0可化为(x -1)[x -(a +)]<0, a a a
11
≥2>1,∴1<x <a +. a a
∵a >0,a +
15.{x |-1<a <3}.
解析:把问题等价转化为“恒成立”问题. x 2-2x +3≤a 2-2a -1在R 上的解集是空集,
⇔ x 2-2x +3>a 2-2a -1在R 上恒成立,
⇔ x 2-2x -a 2+2a +4>0在R 上恒成立.
因为抛物线y =x 2-2x -a 2+2a +4开口向上,故只需△=4-4(-a 2+2a +4) <0, 即x 2-2x +3<0⇔-1<a <3. 三、解答题
16.解析:f (x ) =(x -1) 2+
49(x -1) 2
-1≥2
41
-1=. 93
当x -1=
49(x -1) 2
时,即x =1±
1
时,f (x ) 取到最小值. 33
17.分析:行走时间短者先到达指定地点,问题的实质是比较两个实数(式子) 的大小,用作差法.
解:设从出发地到指定地点的路程是s ,甲乙两人走完这段路程所用的时间分别为t 1,t 2,则
t 1t s s 2s (m +n ) s
,t 2=. m +1n =s ,+=t 2,所以t 1=
222m 2n m +n 2mn
(m +n ) 2]s (m -n ) 2s 2s (m +n ) s [4mn -
=-t 1-t 2==, -
2mn (m +n ) 2mn (m +n ) m +n 2mn
因为s ,m ,n 均为正数且m ≠n ,所以t 1-t 2<0,即t 1<t 2, 所以甲比乙先到达指定地点.
18.解:(1) 当a =4时,(ax -5)(x 2-a ) <0⇔(x -
*
5
)(x -2)(x +2) <0,由数轴标根4
法得x <-2,或
5
<x <2. 4
5
<x <2}. 4
故M ={x |x <-2,或(2) 3∈M ,且5M
(第18题)
5⎧⎧(a -)(a -9) >0 ⎪(3a -5)(9-a ) <0 ⎪
⇔⎨ ⇔⎨3
⎪⎩(5a -5)(25-a ) ≥0 ⎪(a -1)(a -25) ≤0 ⎩⎧5a <,或a >9 5⎪
⇔⎨ 3 ⇔1≤a <,或9<a ≤25.
3⎪1≤a ≤25
⎩
故实数a 的取值范围是{x |1≤a <
5
,或9<a ≤25}. 3