相似三角形的性质与判定
相似三角形的性质与判定
一、内容提要
1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段;通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割.
2.理解相似三角形的判定定理:⑴两角分别相等的两个三角形相似;⑵两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;⑶三边成比例的两个三角形相似.
3.掌握相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比;面积比等于相似比的平方.
二. 热身练习 [A]组题
1. 如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,若
AD 1
=,DE =4,则BC =( ) AB 3
A .9 B .10 C . 11 D .12
2. 如图,在△ABC 中,AB =AC =5,BC =6,点M 为BC 的中点,MN ⊥AC 于点N ,则MN 等于( ) A .
6 5
B .
9 5
C .
12 5
D .
16 5
B 第2题
M
C
第1题
第3题
3. 如图,点F 是□ABCD的边CD 上一点,直线BF 交AD 的延长线于点E ,则下列结论错.误的是( ) .
ED DF DE EF BC BF BF BC C. D. EA AB BC FB DE BE BE AE
4. 如图,P 为线段AB 上一点,AD 与BC 交于E ,∠CPD =∠A =∠B ,BC 交PD 于F ,AD 交PC 于G ,则图中相似三角形有
A .1对 B .2对 C .3对 D .4对 5.
第4题
第5题
5.如图,四边形ABCD 中,∠BAD =∠ADC =90°,AB =AD 2,CD =2,点P 在四边形
3
ABCD 的边上.若P 到BD 的距离为 P 的个数为( )
2A .1
B .2
C .3
D .4
6. 如图,已知AB 是⊙O 的弦,OB=2,∠B=30°,C 是弦AB 上任意一点(不与点A 、B 重合),连接CO 并延长CO 交⊙O 于点D ,连接AD. (1)弦长AB=________(结果保留根号); (2)当∠D=20°时,求∠BOD 的度数;
(3)当AC 的长度为多少时,以点A 、C 、D 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似?请写出解答过程
.
★★★7.请阅读下面材料,完成下列问题:
(1)如图1,在⊙O 中,AB 是直径,CD ⊥AB 于点E ,AE =a ,EB =b .计算CE 的长
度(用a 、b 的代数式表示);
(2)如图2,请你在边长分别为a 、b (a >b )的矩形ABCD 的边AD 上找一点M ,
使得线段CM =
(3)请你利用(2)的结论,在图3中对矩形ABCD 进行拆分并拼接为一个与其面积相等
的正方形. 要求:画出拼成的正方形,并用相同的数字表明拼接前与拼接后的同一图形.
A
O
E
B C
A D A D
B
D
C
B C
(第7题图1) (第7题图2) (第7题图3) 三、例题分析
例1 如图,在等边三角形ABC 中,D 为BC 边上一点,E 为AC 边上一点,且∠ADE =60°,BD =4,CE =
4
,则△ABC 的面积是( ) 3
A .83
B .15
C .9 D .12
例2.如图,AB 是半圆直径,半径OC ⊥AB 于点O ,AD 平分∠CAB 分别交OC 于点E ,交弧BC 于点D ,连结CD 、OD ,给出以下四个结论:①S △AEC =2S△DEO ;②AC=2CD;③
第1题 线段OD 是DE 与DA 的比例中项;④2CD 2=CE ⋅AB .其中正确结论的序号是.
A
O
(例2)
B
例3. 如图27-96所示,A ,B ,D ,E 四点在⊙O 上,AE ,BD 的延长线相交于点C ,AE =8,OC =12,∠EDC =∠BAO .
(1)求证
CD CE
; =
AC CB
(2)计算CD ·CB 的值,并指出CB 的取值范围.
例4 已知△ABC 是等腰直角三角形,∠A =90°,D 是腰AC 上的一个动点,过C 作CE 垂直于BD 或BD 的延长线,垂足为E , 如图1. BD
(1)若BD 是AC 的中线,如图2,求的值;
CE BD
(2)若BD 是∠ABC 的角平分线,如图3,求的值;
CE
BD BD
(3)结合(1) 、(2) ,请你推断的值的取值范围(直接写出结论,不必证明)CE CE 4
的值能小于吗?若能,求出满足条件的D 点的位置;若不能,请说明理由.
3
第3题
B
B
例5. 观察计算
a
+b
_________________. 2a
+b
当a =4,b =4时, _________________.
2
当a =5,b =3时, ●探究证明
如图所示,∆ABC 为圆O 的内接三角形,AB 为直径,过C 作
CD ⊥AB 于D ,设AD =a ,BD =b .
(1)分别用a , b 表示线段OC ,CD ; (2)探求OC 与CD 表达式之间存在的关系 (用含a ,b 的式子表示). ●归纳结论
根据上面的观察计算、探究证明,你能得出●实践应用
要制作面积为1平方米的长方形镜框,直接利用探究得出的结论,求出镜框周长的最小值.
例6. ★★★已知:AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于点G ,E 是直线AB 上一动点(不与点A 、
B 、G 重合),直线DE 交⊙O 于点F ,直线CF 交直线AB 于点P . 设⊙O 的半径为r . (1)如图1,当点E 在直径AB 上时,试证明:OE ·OP =r 2
(2)当点E 在AB (或BA )的延长线上时,以如图2点E 的位置为例,请你画出符合题意的图形,标注上字母,(
1)中的结论是否成立?请说明理由.
第5题
a
+b
______________. 2
(图2)
(图
1)
四. 思维提升 [B]组题
1. 如图,每个小正方形边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与左图中△ABC 相似的是( )
A
B
A .
B .
C .
D .
2. 如图,用两根等长的钢条AC 和BD 交叉构成一个卡钳, 可以用来测量工作内槽的宽度.设
OA OB
==m ,且量得 OC OD
CD =b ,则内槽的宽AB 等于( )
m
A .mb B .
b b b
C . D .`
m +1m
(2)AB 边上的高为3,(3)△CDE ∽△CAB ,(4)△CDE 的面积与 △CAB 面积之比为1:4. 其中正确的有( )
A .1个 B .2个 C .3个 D .4个
(第2题图)
3. 如图3,已知等边三角形ABC 的边长为2,DE 是它的中位线,则下面四个结论:(1)DE=1,
4. 如图,在正方形ABCD 中,E 为AB 边的中点,G ,F 分别为AD ,BC 边上的点,若AG =1,
BF =2,∠GEF =90︒,则GF 的长为
第3题
D
C F
G
A
E
第6题
B E
第4题
x y z 2x +3y 5. 若==≠0,则=
234z
6. 如图5,平行四边形ABCD 中,E 是边BC 上的点,AE 交BD 于点F ,如果那么
BE 2
=,BC 3
BF
= FD
7. 如图,把矩形ABCD 对折,折痕为MN ,矩形DMNC 与矩形ABCD 相似,已知AB=4. (1)求AD 的长.
(2)求矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比.
8. 如图四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形,点R 为DE 的中点,BR 分别交AC 、CD 于点P 、Q 。
⑴请写出图中各对相似三角形(相似比为1 除外) ; A D 【解】 R
Q
(2)求BP ∶PQ ∶QR P 【解】
B E C
★★★9. (1)如图1,在△ABC 中,点D ,E ,Q 分别在AB ,AC ,BC 上,且DE ∥BC ,AQ 交DE 于点P .求证:
DP PE
.
BQ QC
第8题图
(2) 如图,在△ABC 中,∠BAC =90°,正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上,连接AG ,AF 分别交DE 于M ,N 两点. ①如图2,若AB=AC=1,直接写出MN 的长; ②如图3,求证MN 2=DM·EN .
[C]组题
1. 圆桌正上方的灯泡(看作一个点) 发出的光线照射桌面后,在地面上形成阴影(如图所示) .已知桌面的直径1.2米,桌面距离地面1米.若灯泡距离地面3面,则地面上阴影部分的面积为( )
A .0.36π平方米. B .0.81π平方米. C .2π平方米. D .
O
第3题 第1题
第2题
2.如图,在△ABC 中,点D 、E 分别是AB 、AC 的中点,DF 过EC 的中点G ,并与BC 延长线交与点F ,BE 与DF 交与点O . 若△ADE 的面积是S ,则四边形BOGC 的面积是 . 3. 如图, 在已建立直角坐标系的4×4正方形方格纸中,△ABC 是格点三角形(三角形的三个顶点都是小正方形的顶点), 若以格点P 、A 、B 为顶点的三角形与△ABC 相似(全等除外),则格点P 的坐标是 . ⌒上到一点E 使4已知:在△ABC 中,以AC 边为直径的⊙O 交BC 于点D ,在劣弧 AD ∠EBC=∠DEC ,延长BE 依次交AC 于G ,交⊙O 于H .
(1)求证:AC ⊥BH ;
(2)若∠ABC=45°,⊙O 的直径等于10,BD=8,求CE 的长.
第4题
答案
[A]组题
1.D 、 2.C 、3.C 、 4. C 、5.B 6. 解:(1)2.
(2)解法一:∵∠BOD 是△BOC 的外角,∠BCO 是△ACD 的外角,
∴∠BOD=∠B+∠BCO ,∠BCO=∠A+∠D. ∴∠BOD=∠B+∠A+∠D. 又∵∠BOD=2∠A ,∠B=30°,∠D=20°,∴2∠A=∠B+∠A+∠D=∠A+50°,∠A=50°,∴∠BOD=2∠A=100°. 解法二:如图,连接OA. ∵OA=OB,OA=OD,∴∠BAO=∠B ,∠DAO=∠D , ∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D. 又∵∠B=30°,∠D=20°,∴∠DAB=50°, ∴∠BOD=2∠DAB=100°.
(3)∵∠BCO=∠A+∠D ,∴∠BCO >∠A ,∠BCO >∠D. ∴要使△DAC 与△BOC 相似,只能∠DCA=∠BCO=90°. 此时,∠BOC=60°,∠BOD=120°,∴∠DAC=60°. ∴△DAC ∽△BOC. ∵∠BCO=90°,即OC ⊥AB ,∴AC=★★★7.(1)解:如图1,连接AC 、BC ,
∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB =90︒.∴∠ACE +∠ECB =90︒. 又∴CD ⊥AB 于点E ,∴∠AEC =90︒.∴∠ACE +∠A =90︒.
1
AB=3. 2
AE CE
=2
∴∠A =∠ECB .∴∆ACE ∆CBE .∴CE BE .∴CE =AE ⋅BE =ab .
∵CE
为线段,∴CE =
…
(2)如图2,延长BC ,使得CE=CD. 以BE 为直径画弧,交CD 的延长线于点P . 以C 为圆心,以CP 为半径画弧,交AD 于点M .点M 即为所求. (3)如图3.正方形MNQC 为所求.… F
B A
B
图1 图2 图3
三、例题分析 例1.C 例2.【答案】①④ 例3. 证明:(1)∵∠EDC =∠BAO ,∠C =∠C , ∴△CDE ∽△CAB ,∴
CD CE
. =
AC CB
CD CE
, ∴CD ·CB =AC ·CE =16×8=128. =
AC CB
1
AE =4,OC =12, 2
(2)∵AE =8,OC =12, ∴AC =12+4=16,CE =12-4=8.
又∵
连接OB ,在△OBC 中,OB = ∴8<BC <16.
例4【答案】(1)设AD=x,则AB=2x,根据勾股定理,可得BD=∵△ABD ∽△CDE,
BD AB 2BD 5
, 可得CE=所以=CE 25CE CD
(2)设AD=x,根据角平分线定理,可知2x ,AB=2x+x,由 勾股定理可知BD=(2)x ² △ABD ∽△CDE
,
AB EC 1, ==
AD DE 1
BD
∴
CE
(3)由前面两步的结论可以看出,点和点A 之间
例5【答案】●观察计算:●探究证明:
(1) AB =AD +BD =2OC , ∴OC =
A
B
BD
≥1, 所以这样的点是存在的,D 在AC 边的五等分CE
a +
b a +
b
>
22
a +b
AB 为⊙O 直径, 2
AD CD 2
. 即CD =AD ⋅BD =ab , =
CD BD
∴∠ACB =90︒. ∠A +∠ACD =90︒,∠ACD +∠ ∴∠A =∠BCD . ∴△ACD ∽△CBD . ∴∴CD =
(2)当a =b 时, OC =CD , ●结论归纳: ●实践应用
a +b a +b
a ≠b 时, OC >CD , 22
a +b
≥2
设长方形一边长为x 米, 则另一边长为
1
米, 设镜框周长为l 米,则 x
1
l =2(x +)
≥=4 .
x
当x =
1
, 即x =1(米)时, 镜框周长最小. x
此时四边形为正方形时, 周长最小为4 米.
★★★例6【答案】(1)证明:连接FO 并延长交⊙O 于Q ,连接DQ . ∵FQ 是⊙O 直径,∴∠FDQ =90°.
∴∠QFD +∠Q =90°. ∵CD ⊥AB ,∴∠P +∠C =∵∠Q =∠C ,∴∠QFD =∠P . ∵∠FOE =∠POF ,∴△FOE ∽△POF . ∴
OE OF
. ∴OE ·OP =OF 2=r 2. =
OF OP
90°.
(2)解:(1)中的结论成立.
理由:如图2,依题意画出图形,连接FO 并延长交⊙O 于M ,连接CM . ∵FM 是⊙O 直径,∴∠FCM =90°,∴∠M +∠CFM =90°. ∵CD ⊥AB ,∴∠E +∠D =90°. ∵∠M =∠D ,∴∠CFM =∠E. ∵∠POF =∠FOE ,∴△POF ∽△FOE . ∴OF 2=r 2. 四. 思维提升
[B]组题
OP OF
,∴OE ·OP ==
OF OE
132 6. 43
11
7. 解:(1)由已知,得MN=AB,MD= AD=BC .
22
1.B 2.A 3. D;4.3 5.
∵矩形DMNC 与矩形ABCD 相似,
DM MN 1
∴AD 2=AB2, ∴由AB=4得,
=
AB BC 2
(2)矩形DMNC 与矩形ABCD
的相似比为
DM = AB 2
8. 解:(1)△BCP ∽△BER ,△PCQ ∽△PAB ,△PCQ ∽△RDQ ,△PAB ∽△RDQ
(2)∵四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形 ∴BC=AD=CE,AC ∥DE ,∴PB=PR,
PC 1
=;又∵PC ∥DR ,∴△PCQ ∽△
RDQ RE 2
又∵点R 是DE 中点,∴DR=RE。
PQ PC PC 1
===,∴QR=2PQ。 QR DR RE 2
又∵BP=PR=PQ +QR=3PQ ∴BP ∶PQ ∶QR=3∶1∶2 9.【答案】(1)证明:在△ABQ 中,由于DP ∥BQ ,
∴△ADP ∽△ABQ , ∴DP/BQ=AP/AQ.同理在△ACQ 中,EP/CQ=AP/AQ. ∴DP/BQ=EP/CQ. (2)
2
. 9
(3)证明:∵∠B +∠C =90°,∠CEF +∠C =90°.∴∠B =∠CEF ,
又∵∠BGD =∠EFC ,∴△BGD ∽△EFC .∴DG/CF=BG/EF,∴DG·EF =CF·BG 又∵DG =GF =EF ,∴GF 2=CF·BG 由(1)得DM/BG=MN/GF=EN/CF∴(MN/GF)2=(DM/BG)·(EN/CF) ∴MN 2=DM·EN C 组题 1.B 2.
7
S . 3.P 1(1,4)、P 2(3,4).
4
4.【答案】证明:⑴连接AD , ∵∠DAC=∠DEC ∠EBC=∠DEC ∴∠DAC=∠EBC ,又∵AC 是⊙O 的直径,∴∠ADC=90° ∴∠DCA+∠DAC=90°∴∠EBC+∠DCA=90°
∴∠BGC=180°-(∠EBC+∠DCA)=180°-90°=90°∴AC ⊥BH
⑵∵∠BDA=180°-∠ADC=90°∠ABC=45°∴∠BAD=45°∴BD=AD∵BD=8 ∴AD=8又∵∠ADC=90° AC=10
(第4题解答图)
∴由勾股定理,得DC =AC 2-AD 2=2-82=6.
∴BC=BD+DC=8+6=14又∵∠BGC=∠ADC=90° ∠BCG=∠ACD ∴△BCG ∽△ACD ∴
CG BC CG 1442
∴ ∴CG = ==
DC AC 5610
连接AE ,∵AC 是直径 ∴∠AEC=90°又∵EG ⊥AC
∴△CEG ∽△CAE ∴∴CE ==221.
CE CG 42
∴CE 2=AC ⋅CG ==⨯10=84
AC CE 5
相似三角形综合应用
一、内容提要
1、理解相似三角形的概念,总结相似三角形的对应角相等、对应边成比例等性质,掌握它们的基本运用。
2、了解黄金分割点的概念,掌握黄金分割比的应用 3、学会建立数学模型(相似三角形基本图形等),应用相似三角形的判定和性质解决实际问题。
4、掌握相似三角形与四边形、圆和函数的综合应用,并且灵活地运用相似的相关知识以及建模的思想解决一些实际问题。 二、课前练习 A组题 1.下列说法正确的是( )
A 、所有的等腰三角形都相似 B 、四个角都是直角的两个四边形一定相似 C 、所有的等腰直角三角形都相似 D 、四条边对应成比例的两个四边形相似
a b b -a
等于( ) =, 则
37a 3473 A 、 B 、 C 、 D 、
4337
2.若
3、一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm 、30cm 、36cm ,要做一个与它相似的铝质三角形框架,现有长为27cm 、45cm 的两根铝材,要求以其中的一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边.截法有( )
A.0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种
4、如图,光源P 在横杆AB 的正上方,AB 在灯光下的影子为CD,AB ∥CD,AB=2m,CD=6m,
点P 到CD 的距离是2.7m, 则_______m.
5、如图,△ABC 是一块锐角三角形的材料,边BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC 上,其余两个顶点分别在AB 、AC 上,这个正方形零件的边长是 mm .
。
6.有一块直角三角形木板, ∠ACB= 90, BC=30cm, AC= 40cm, 现在要把它裁出一个面积尽可能大的正方形桌面(加工损耗不计),求这个正方形桌面的边长。哪种裁法面积最大?
三、例题解析
a b c 2a +3b -c
的值; ==, 求
2343a -b +c
a +b b +c c +a (a +b )(b +c )(c +a )
(2)如果abc ≠0,且,求的值; ==
c a b abc
例1.(1)若(3)若
xy yz 111xz
=c ,且ab+bc+ac≠0,求++的值; =a ,=b ,
y +z x y z x +y x +z
x z y a b c
的值。 =c ,求=a ,=b ,++
x +y y +z z +x 1+a 1+b 1+c
(4)已知:
例2.如图,在△ABC 中,AB =AC ,D 为AB 上一点,E 为AC 延长线上的一点,且CE =
BD ,连接DE 交BC 于点P . (1) 求证:PD =PE ; A (2) 若CE ∶CA =1∶5,BC =10,求BP 的长.
B
E
3
x +3的图象与x 轴,y 轴分别相交于A ,B 两点,4
点C 在AB 上以每秒1个单位的速度从点B 向点A 运动,同时点D 在线段AO 上以同样的速度从点A 向点O 运动,运动时间用t (单位:秒)表示. (1)求AB 的长;
(2)当t 为何值时,△ACD 与△AOB 相似?并直接写出此时点C 的
例3. 如图,已知一次函数y =-
坐标;
例4如图1,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB=DC=5,AD=6,BC=12.动点P 从D 点出发沿DC 以每秒1个单位的速度向终点C 运动,动点Q 从C 点出发沿CB 以每秒2个单位的速度向B 点运动.两点同时出发,当P 点到达C 点时,Q 点随之停止运动.
(1)梯形ABCD 的面积等于 ;
(2)当PQ ∥AB 时,P 点离开D 点的时间等于 秒;
(3)当P ,Q ,C 三点构成直角三角形时,P 点离开D 点多少时间?
B
C
B
C
例5、如图,小胖和小瘦去公园玩标准的跷跷板游戏,两同学越玩越开心,小胖对小瘦说:“真可惜!我现在只能将你最高翘到1m 高,如果我俩各边的跷跷板都伸长相同的一段长度,那么我就能将你翘到1.25m ,甚至更高!”(1)你认为小胖的话对吗?请你作图分析说明:(2)你能找出将小瘦翘到1.25m 的方法吗?试说明.
O
A
P
例6.如图,已知D 是△ABC 的边AB 上任意一点,D E ∥AC 交AC 于E ,DF ∥AC 交BC 于F ,设△ADE 、△DBF 的面积分别为S 1,S 2,求证:平行四边形DFCE 的面积=2S 1S 2 思维提升
四、思维提升 B组题
1.黄金分割比能体现美感,当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时,越给人一种美感.如
图,某女士身高165cm ,下半身长x 与身高l 的比值是0.60,为尽可能达到好的效果,她应穿的高跟鞋的高度大约为( ) A .4cm
B .6cm
C .8cm
D .10cm
S 1
D E
S
2
B
F
C
2.如图1,D 、E 两点分别在△ABC 的边AB 、AC 上,DE 与BC 不平行, 当满足 条件时,△ADE ∽△ACB .
第1题图
A B
A B
E C
P
图1
D
图3
C
k 25
,它的对角线OB 与双曲线y =相交于点D ,且
x 3
DB ∶OD =2∶3,则k =____________.
3.如图2,已知矩形OABC 的面积为
4.如图3,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,∠D =900,AB =3,DC =7,AD =15,请你在AD A 、B 和以P 、D 、C 为顶点的两个三角形相似,上找一点P ,使得以P 、这样的P 点有 则AP 的长为
5.如图,直线y=kx+b交x 轴、y 轴于点A 、B ,与反比例函数的图象交于C 、D 两点,如果A (2,0),点C 、D 分别在一、三象限,且OA=OB=AC=BD,求反比例函数的解析式。
6.如图,直角梯形ABCD 中,∠ADC=90°,AD ∥BC, 点E 在BC 上,∠DFC =∠AEB ,点F
在AC 上,
(1)求证:△ADF ∽△CAF
(2)当AD=8,DC=6,点E 、F 分别是BC 、AC 的中点时,求直角梯形ABCD 的面积
7.在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB =DC =AD =6,∠ABC =60,点E ,F 分别在线段AD ,DC 上(点E 与点A ,D 不重合),且∠BEF =120,设AE =x ,DF =y . (1)求y 与x 的函数表达式;
(2)当x 为何值时,y 有最大值,最大值是多少?
B
★★★8.如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD =3,DC =5,BC =10,梯形的高
为4.动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速 度向终点C 运动;动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动.设运动的时间为t (秒).
(1)当MN ∥AB 时,求t 的值;
(2)试探究:t 为何值时,△MNC 为等腰三角形. C 组题
16.(2012•丽水) 如图,在直角梯形ABCD 中,∠A =90°,∠B =120°,AD =底边AB 上取点E ,在射线DC 上取点F ,使得∠DEF =120°.
(1) 当点E 是AB 的中点时,线段DF 的长度是 6 ;
(2) 若射线EF 经过点C ,则AE 的长是 2或5 .
,AB =6.在
1、△ABC 是一张等腰直角三角形纸板,∠C=Rt∠,AC=BC=2,
(1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形,有甲、乙两种剪法(如图1) ,比较甲、乙两种剪法,哪种剪法所得的正方形面积大?请说明理由。
(2)图1中甲种剪法称为第1次剪取,记所得正方形面积为s 1;按照甲种剪法,在余下的△ADE 和△BDF 中,分别剪取正方形,得到两个相同的正方形,称为第2次剪取,并记这两个正方形面积和为s 2(如图2) ,则s 2=
_______分别剪取正方形,得到四个相同的正方形,称为第3次剪取,,
继续操作下去„„,则第10次剪取时,s 10=__________; (3)求第10次剪取后,余下的所有小三角形的面积之和。
图2
图3
乙 图1
3. 如图38—18,有一边长为5cm 的正方形ABCD 和等腰ΔPQR ,PQ=PR=5cm,QR=8cm,点B 、C 、Q 、R 在同一条直线上,当C 、Q 两点重合时,等腰ΔPQR 以lcm /秒的速度沿直线1按箭头所示方向开始匀速运动,t 秒后正方形与等腰ΔPQR 重合部分的面积为s cm2,解答下列问题:
(1)当t=3秒时,求s 的值. (2)当t=5秒时,求s 的值.
(3)当5≤t ≤8时,求s 关于t 的函数关系式,并求s 的最大值.
★★★4.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC 的两边分别在x 轴和y
轴上,OA = cm , OC=8cm ,现有两动点P 、Q 分别从O 、C 同时出发,P 在线段OA 上沿OA 方向
cm 的速度匀速运动,Q 在线段CO 上沿CO 方向以每秒1 cm 的速度匀速运动.设运动时间为t 秒.
(1)用t 的式子表示△OPQ 的面积S ;
(2)求证:四边形OPBQ 的面积是一个定值,并求出这个定值;
1
(3)当△OPQ 与△P AB 和△QPB 相似时,抛物线y =x 2+bx +c 经过B 、P 两点,过
4
线段BP 上一动点M 作y 轴的平行线交抛物线于N ,当线段MN 的长取最大值时,求直
线MN 把四边形OPBQ 分成两部分的面积之比.
相似三角形综合答案
A 组题
1、C 2、B 3、B ;4、1.8;5、48; 6、x =例1、(1)
120120
, y =
77. 4
13
7
a +b b +c c +a
(2)设=k 当a+b+c≠0时,k=2 ∴原式=8 ==
c a b
当a+b+c=0时,∴a+b=-c,b+c=-a,a+c=-b 原式
=-1
3)∵
[1**********]1ab +bc +ac +=,+=,+= ∴++==0
y z c x y z x y a x z b 2abc
4)
a x b y 1+a 1y +z x +y +z
===1+=1+=
1+a x +y +z 1+b x +y +z a a x x
c z
∴原式=1 =
1+c x +y +z
例2、(1)过D 作D F ∥AC 交BC 于F ,
证明△DF P ≌△ECP ∴PE=PD
(2)∵△BD F ∽△BAC ∴BF :BC=BD:BA=1:5 ∴BF=2,FC=8 ∵△DF P ≌△ECP ∴FP=PC=4 ∴BP=BF+FP=6 例3. 解:(1)易得A 点坐标为((4,0),B 点坐标为(0,3).
在Rt △AOB 中,AB ==5.
(2)依题意,运动t 秒后,AC =5-t ,AD =t .
因为△AOB 为直角三角形,故△ACD 也应为直角三角形.显然点
A
B
例3
E
A 不能作直角顶点,故分两种情形进行讨论.
当△ACD △ABO 时, (
AC AD 5-t t 20
,即.此时点C 的坐标为==,解得t =
AB AO 549
165
,). 93
AC AD 5-t t 25
,即.此时点C 的坐标为==,解得t =
AO AB 459
当△ADC △ABO 时, (
204
,). 93
例4.(1)由分析得梯形ABCD 面积为36.
(2)由分析得,当PQ ∥AB 时,P 点离开D 点的时间等于
15
秒. 8
(3)当P ,Q ,C 三点构成直角三角形时,有两种情况:
①当PQ ⊥BC 时,如图3,设P 点离开D 点x 秒,作DE ⊥BC 于E ,∴PQ ∥DE .∴△CDE ~△CPQ ,∴
CP CQ 5-x 2x 15
,即,∴x=. ==
CD CE 5313
15
∴当PQ ⊥BC 时,P 点离开D 点秒.
13
B
C
B
C
图
3
②当PQ ⊥CD 时,如图4,设P 点离开D 点x 秒, ∠QPC =∠DEC =90,
∠C =∠C .∴△QPC ~△DEC . ∴
CP CQ 5-x 2x 25
,即,∴x=. ==
EC CD 351125
∴当PQ ⊥CD 时,P 点离开D 点秒.
11
1525
由①②知,当P ,Q ,C 三点构成直角三角形时,P 点离开D 点秒或秒.
1311
例5.分析:(1)小胖的话不对.
根据“小胖说能将小瘦翘到1m 高”,我们可以求出跷跷板OP 的高度,(如图甲)因为OP ⊥BC ,AC ⊥BC ,∠OBP=∠ABC ,所以△BOP ∽△BAC ,从而跷板是标准蹊跷板,BO=OA,即
BO OP
. 又因为此蹊=
BA AC
图甲
BO 1
=,而AC=1m,因此BA 2
OP=0.5m.
若将两端同时都再伸长相同的长度,假设为am(a>0).如图乙所示,OD=OB+a,OE=OA+a,因为BO=OA,所以OD=OE,即同理可证明△DOP ∽△DEF ,所以
DO 1
=. DE 2
DO OP
,由OP=0.5m,=
DE EF
图乙
得EF=1m.
综上所述,蹊跷板两边同时都在伸长相同的长度,蹊跷板
能翘到的最高高度始终为支架OP 高度的两倍,所以不可能翘得更高.
(2)答案不唯一,例如:如图丙,保持BO 长度不变,将OA 延长一半至点E ,即只将小瘦一边伸长一半,使AE=
图丙
1
OA ,则2
BO 2BO OP
,从而EF=1.25米. =. 由△BOP ∽△BEF ,得=
BE 5BE EF
S AD ⎛AD ⎫
=例6、∵△ADE ∽△DBF ∴1= ⎪,即DB S 2⎝DB ⎭
又∵△ADE ∽△ABC ∴
2
AD
= AB S 2
S 1S 1S 1+S 2
2
2
S ∆ADE
S ∆ABC
⎛⎫S 1⎛AD ⎫ ⎪ = ⎪= ⎪⎝AB ⎭⎝S 1+S 2⎭
S ∆ABC =S 1+2S 1S 2+S 2
∴平行四边形DFCE 的面积=2S 1S 2
B 组题
1、C 2、∠ADE=∠C 或 ∠AED=∠B 或
15±AD AE
3、k =3 4、解:3个,4.5 =
2AC AB
5、解:设该反比例函数的解析式为y =
k
(k ≠0) x
AO AB OB
过点D 作DE ⊥x 轴,则△AOB ~△AED ∴ AE =AD =DE
又
A(2,0) ,AB=,
∴OA =OA =BD =AC =2
2222
==AD =2, ∴
AE 22+2DE ∴AE =DE =2+2
∴OE =AE -AO =∴D 点的坐标为(2)
6、证明: (1)在梯形ABCD 中,AD ∥BC
∴∠D AF=∠ACE ∵∠D FC=∠AEB
∠D FC=∠DAF+∠ADF, ∠AEB= ∠A C E+∠CAE ∴∠ADF =∠CAE ∽△CAF
(2) ∵AD=8,DC=6,∠ADC=90°,∴AC=10
又∵F 是AC 的中点,∴AF=5 ∵△ADF ∽△CAF
∴△ADF
AD CA 8102525
∴= ∴CE= ∵E 是BC 的中点 ∴BC= =
AF CE 5CE 42
112325
∴直角梯形ABCD 的面积=×(+8)×6=
222
∴
7.解:(1)在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB =DC =AD =6,∠ABC =60,
, ∴∠A =∠D =120 , ∠BEF =120 ∴∠A E B +∠D E F =180-12 0=60
△ABE ∽△DEF .∴∴∠ABE =∠DEF .∴
∴
AE AB
. AE =x ,DF =y , =
DF DE
x 6112
.∴y 与x 的函数表达式是y = x (6-x ) =-x +x ; =
y 6-x 66
(2)y =-
12133
x +x =-(x -3) 2+.∴当x =3时,y 有最大值,最大值为. 6622
∵ MN ∥AB ,∴ MN ∥DG . ∴ BG =AD =3. ∴ GC =10-3=7.
8.(1)如图①,过D 作DG ∥AB 交BC 于G 点,则四边形ADGB 是平行四边形.
由题意知,当M 、N 运动到t 秒时,
CN =t ,CM =10-2t .
∵ DG ∥MN ,∴ △MNC ∽△GDC . ∴
CN CM t 10-2t 50
.即 =.解得,t =. =
CD CG 5717
(3)分三种情况讨论:
① 当NC =MC 时,如图②,即t =10-2t . ∴ t =
② 当MN =NC 时,如图③,过N 作NE ⊥MC 于E ,DH ⊥BC 于H . 则 EC =
10. 3
11
MC =(10-2t )=5-t ,DH =4.∴ CH =3. 22
∵ ∠C =∠C ,∠DHC =∠NEC =90︒,∴ △NEC ∽△DHC .
NC EC t 5-t
.即 =. =
DC HC 5325∴ t =.
8
∴
③ 当MN =MC 时,如图④,过M 作MF ⊥CN 于F 点.
则 FC =
11NC =t . 22
∵∠C =∠C ,∠MFC =∠DHC =90︒, ∴ △MFC ∽△DHC .
1
t
FC MC 10-2t ∴ .即 . ==HC DC 3560∴ t =.
17
256010
综上所述,当t =、t =或t =时,△MNC 为等腰三角形.
8173
C 组题 1、(1)DF =6;(2)2或5.
2、(1)解法1:如图甲,由题意,得AE=DE=EC,即EC=1,S 正方形CFDE =1=1
如图乙,设MN=x,则由题意,得AM=MQ=PN=NB=MN=x, ∴3x =22,解得
2
x =
2222288
) = 又∵1> ∴甲种剪法所得的正方形面 ∴S 正方形PNMQ =(
3399
积更大。
说明:图甲可另解为:由题意得点D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 的中点,
S 正方形OFDE =1
解法2:如图甲,由题意得AE=DE=EC,即EC=1
如图乙,设MN=x,则由题意得AM=MQ=QP=PN=NB=MN=x, ∴3x =22,解得x =
2222
又∵1>,即EC >MN 33
∴甲种剪法所得的正方形面积更大。 (2)S 2=
11
S 10=9 22
(3)解法1:探索规律可知:S n = 剩余三角形面积和为
12
n -1
2-(S 1+S 2+ +S 10) =2-(1+
1111
++ +9) =9 2422
解法2:由题意可知, 第一次剪取后剩余三角形面积和为2-S 1=1=S 1
11
==S 2 22111
第三次剪取后剩余三角形面积和为S 2-S 3=-==S 3
244
第二次剪取后剩余三角形面积和为S 1-S 2=1- „„
第十次剪取后剩余三角形面积和为S 9-S 10=S 10=
3. (1) 当t=3秒时,s=
(2) 当t=5时,s=
1 92
27 8
69 [***********]
(3)当5≤t ≤8,s =-t 2+t - ∴当t =时,s 最大= =-(t -) 2+
4484216216
4.解:(1) ∵CQ =t ,OP
t ,CO =8 ∴OQ =8-t
∴S △OPQ
=(2) ∵S =
12
(8-t ) =-+(0<t <8) 22
OPBQ =S
矩形
四边形
ABCD -S △P AB -S △CBQ
=8⨯11
⨯-⨯8⨯) 22
∴四边形O PBQ 的面积为一个定值,且等于
(3)当△OPQ 与△P AB 和△QPB 相似时, △QPB 必须是一个直角三角形,依题意只
能是∠QPB =90° 又∵BQ 与AO 不平行 ∴∠QPO 不可能等于∠PQB ,∠APB 不可能等于∠PBQ
∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ ∽△PBQ ∽△ABP
=解得:t =4 经检验:t =4是方程的解且符合题意(从边长关
系和速度)
此时P
(0) ∴抛物线是y =
∵B
(8)且抛物线y =
12
x +bx +c 经过B 、P 两点,
4
12
x -+8,直线BP
是:y =-8 4
1
设M (m
-8)、N (m
,m 2-+8)
4
∵M 在BP 上运动
∴≤m ≤
∵y 1=
12
x -+
8与y 2=-8交于P 、B 两点 4
且抛物线的顶点是P
∴当≤m ≤时,y 1>y 2 ∴MN =y 1-
y 2=-
1
(m -2+2
∴当m =时,MN 有最大值是2 4
∴设MN 与BQ 交于H
点则M
、H ∴S △BHM
=
1
⨯3⨯
2
五边形QOPMH
∴S △BHM :S 之比是3
==3:29 ∴当MN 取最大值时两部分面积
圆的性质综合应用
一、内容提要
1.能运用垂径定理及推论进行圆中的有关计算和证明;
2.在同圆或等圆中有关圆心角、圆周角、弧、弦和弦心距数量关系进行转化的应用; 3.利用圆的基本性质解决简单的实际问题。 4.圆中常见的辅助线
(1)作半径,利用同圆或等圆的半径相等; (2)作弦心距,利用垂径定理进行证明或计算;
(3)作半径和弦心距,构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算; (4)作弦构造同弧或等弧所对的圆周角;
(5)作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角; (6)遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点。 二、热身练习 A 组题
1、如图,⊙O 的直径CD ⊥AB ,∠AOC =50°,则∠CDB 大小为 ( ) A .25° B .30° C .40° D .50°
2、如图,5个圆的圆心在同一条直线上, 且互相相切,若大圆直径是12,4个 小圆大小相等,则这5个圆的周长的和为( )
A. 48π B. 24π C. 12π D. 6π
O A
C
第1
题
第2题
第4题
第5题
3、下列说法正确的有( )
(1)如图3(a ),可以利用刻度尺和三角板测量圆形工件的直径; (2)如图3(b ),可以利用直角曲尺检查工件是否为半圆形;
(3)如图3(c ),两次使用丁字尺(CD 所在直线垂直平分线段AB )可以找到圆形工件的圆心;
(4)如图3(d ),测倾器零刻度线和铅垂线的夹角,就是从P 点看A 点时仰角的度数.
A
C
D
B
P
A
图3(a ) A .1个
B .2个
图3(b ) C .3个
图3(c ) D .4个
图3(
d )
4、如图,有一圆形展厅,在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器,它的监控角度是这样的监视器( ) 台. 65 .为了监控整个展厅,最少需在圆形边缘上共安装...
A 、3; B 、4; C 、5; D 、6.
5、如图是一个由正方形ABCD 和半圆O 组成的封闭图形,点O 是圆心.点P 从点A 出发,沿线段AB 、弧BC 和线段CD 匀速运动,到达终点D .运动过程中OP 扫过的面积(s )随时间(t )变化的图象大致是( )
6、 工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽口,假设钢珠的直径是10mm ,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ,如图所示,则这个小孔的宽口AB 是 mm .
8mm
A
B
第6题
第7题
7
450的扇形AOB 内部,作一个正方形CDEF ,使点C 在OA 上,点D 、E 在OB 上点F 在弧AB 上,求阴影部分的面积为(结果保留 )。 8、某中学在校内安放了几个圆柱形饮水桶的木制支架(如图①),若不计木条的厚度,其俯视图如图②所示,已知AD 垂直平分BC ,AD =BC =40cm ,则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是 cm .
C
A
(第8题)
图②
图①
三、例题分析
例1、如图:已知△ABC 是等边三角形,以BC 为直径的圆⊙O 交AB 、BC 于D 、E 点。 (1)求证:△ODE 是等边三角形。
(
2)如图,若∠A=60°,AB ≠AC ,则(1)的结论是否成立? 如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由。
例2、已知:如图,直径为OA 的⊙M 与x 轴交于点O 、A 点B 、C 把半圆OA 分为三等份,,连接MC 并延长交y 轴于点D (0,.3) (1)求证:△OMD ≌△BAO ;
(2)若直线l :y =kx +b 把⊙M +b =0.
例3、如图,以矩形OCPD 的顶点O 为原点, 它的两条边所在的直线分别为x 轴和
y 轴建立直角坐标系. 以点P 为圆心, PC 为半径的⊙P 与x 轴的正半轴交于A 、B
两点, 若抛物线y=ax+bx +4经过A , B , C 三点, 且AB =6. ⑴求⊙P 的半径R 的长;
⑵求该抛物线的解析式并直接写出该抛物线与⊙P 的第四个交点E 的坐标; ⑶若以AB 为直径的圆与直线AC 的交点为F , 求AF 的长。
2
例4、探究问题
(1) 阅读理解:
①如图1,在△ABC 所在平面上存在一点P ,使它到三角形三顶点的距离之和最小,则称点P 为△ABC 的费马点,此时P A +PB +PC 的值为△ABC 的费马距离. ②如图2,若四边形ABCD 的四个顶点在同一个圆上,则有AB ·CD +BC ·AD =
AC ·BD .此为托勒密定理. D 图1
C
图2 图3
图4
(2) 知识迁移:
①请你利用托勒密定理,解决如下问题:
如图3,已知点P 为等边△ABC 外接圆的⌒BC 上任意一点.求证:PB +PC =P A . ②根据(2) ①的结论,我们有如下探寻△ABC (其中∠A 、∠B 、∠C 均小于120º) 的费马点和费马距离的方法:
第一步:如图4,在△ABC 的外部以BC 为边长作等边△BCD 及其外接圆; 第二步:在⌒BC 上取一点P 0,连接P 0A 、P 0B 、P 0C 、P 0D .
易知P 0A +P 0B +P 0C =P 0A +(P 0B +P 0C ) =P 0A +
第三步:请你根据(1) ①中定义,在图4中找出△ABC 的费马点P ,线段 的
长度即
△ABC 的费马距离.
(3) 知识应用:
2010年4月,我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象,许多村庄出现了人、畜饮水困难.为解决老百姓饮水问题,解放军某部到云南某地打井取水.
已知三村庄A 、B 、C 构成了如图5所示的△ABC (其中∠A 、∠B 、∠C 均小于120º) ,现选取一点P 打水井,使水井P 到三村庄A 、B 、C 所铺设的输水管总长度最小.求输水管总长度的最小值.
4km 图5
四、思维提升 B 组题
k
1、如图1,点P (3a ,a )是反比例函y =k >0)与⊙O 的一个交点,图中阴影部分的
x
C
面积为10π,则反比例函数的解析式为( )
351012
A .y = B .y = C .y = D .y x x x x
第2题
第3题
2、如图,在三个等圆上各自有一条劣弧AB 、CD 、EF ,如果AB+CD=EF,那么AB+CD与E 的大小关系是( )
A .AB+CD=EF B .AB+CD>EF C . AB+CD
3.如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,若AB=10cm,CD =8cm ,那么A 、B 两点到直线CD 的距离之和为( )
A .12cm B .10cm C . 8cm D .6cm
4、如图. ⊙O 中,AB 、AC 是弦,O 在∠ABO 的内部,∠ABO =α,∠ACO =β,∠BOC =θ,则下列关系中,正确的是( )
A.θ=α+β B. θ=2α+2β C .α+β+θ=180︒ D.
α+β+θ=360︒
第4题
第5题
B
A
第7题
C
5、如图,用3个边长为1的正方形组成一个对称图形,则能将其完全覆盖的圆的最小半径为( )
A . B .
555 C . D . 2164
6、如图,在直角坐标系中,以坐标原点为圆心、半径为1的⊙O 与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于C ,D 两点.E 为⊙O 上在第一象限的某一点,直线BF 交⊙O 于点F ,并且∠ABF =∠AEC ,则直线BF 的函数表达式为.
7、如图7,在Rt △ABC 中,∠C =90°分别以AC . BC 为直径画,AC =4,BC =2,半圆,则图中阴影部分的面积为 .(结果保留π)
8、如图,离A 城气象台测得台风中心在A 城正西300方向千米的B 处,以每小时 10千米的速度向北偏东60度的BF 方向移动,距台风200中心千米的范围内是受到台风的区域。
(1)是否受到这次台风的影响?为什么?
(2)若A 城受到台风影响,那么A 城遭受到这次台风影响有多长时间?
第8题
9.在钝角△ABC 中,AD ⊥BC, 垂足为D 点,且AD 与DC 的长度为x -7x+12=0方程的两个根,
⊙O 是△ABC 的外接圆,如果BD 长为a(a>0). 求△ABC 的外接圆⊙O 的面积.
2
第10题
C 组题
1、如图,长方形内的阴影部分是由四个半圆围成的图形,则阴影部分的面积是 .
2、在面积为1的圆中,依次画出这个圆面积的根据图形变化规律推断: 当n 为正整数时,S n =
111
, , , , 248
1111
+++ +n = 2482
如果要使S n >0. 999,那么正整数n 的最小值等于
第1题
第2题
第3题 第4题
3、如图,正三角形ABC 内接于⊙O ,沿DE 折叠后,点A 正好落在BC 边的中点,若△ABC 的边长为23,则折痕DE= 。
4、如图,已知ABCD 是一个以AD 为直径的圆内接四边形,AB=5,CD=2,分别延长AB 和DC ,它们相交于P ,若∠APD=60°,则⊙O 的面积为__________。
5. 如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,-1)的抛物线交y 轴于A 点,交x 轴于B ,C 两点(点B 在点C 的左侧). 已知A 点坐标为(0,3).
(1)求此抛物线的解析式;
(2)过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D , 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切,请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系,并给出证明;
(3)已知点P 是抛物线上的一个动点,且位于A ,C 两点之间,问:当点P 运动到什么位置时,∆PAC 的面积最大?并求出此时P 点的坐标和∆PAC 的最大面积.
x
6. 直径为13的⊙O ′,经过原点O ,并且与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,线段OA 、OB(OA>OB)的长分别是方程x 2+kx +60=0的两根.
(1)求线段OA 、OB 的长;
⌒
(2)已知点C 在劣弧OA 上,连结BC 交OA 于D ,当OC 2=CD·CB 时,求C 点坐标; (3)在(2)的条件下,⊙O 上是否存在点P ,使S △POD =S△ABD ? 若存在,
求出P 点坐标;若不存在,请说明理由.
圆的基本性质的应用答案:
A 组题
1、A 2、B 3、D 4、A 5、D 6、 8 7、
25 例题分析
例1、证明:(1)∵△ABC 是等边三角形,∴∠B=∠C=60°∵OD=OB=OE=OC ∴OE ∥AB ,OD ∥AC ,∴△BOD 和△COE 都是等边三角形。
∴∠BOD=∠COE=60°,∠DOE=60° ∴△DOE 是等边三角形 ⑵ 结论(1)仍然成立。
证明:∵∠A=60°,∴∠B=∠C=120°
∵OB=OD=OE=OC,
∴∠B=∠BDO ,∠C=∠CEO , ∴∠B+∠C=∠BDO+∠CEO=120 ∴∠B+∠BDO+∠C+∠CEO=240°,
∴∠BOD+∠COE=180×2—240°=120°,∴∠DOE=60° ∴△DOE 是等边三角形。
5∏3
- 8、82
三等分,∴∠1=∠5=60°, 例2.证明: (1)连接BM ,∵B 、C 把OA
又∵OM =BM ,∴∠2=
1
∠5=30°, 2
1
OA =OM ,∠3=60°, 2
又∵OA 为⊙M 直径,∴∠ABO =90°,∴AB =∴∠1=∠3,∠DOM =∠ABO =90°,
⎧∠1=∠3,⎪
在△OMD 和△BAO 中,⎨OM =AB ,
⎪∠DOM =∠ABO . ⎩
∴△OMD ≌△BAO (ASA )
(2)若直线l 把⊙M 的面积分为二等份, 则直线l 必过圆心M ,
OD ∵D (0,==,
3) ,∠1=60°
,∴OM =
tan 60°,把
M 代入y =kx +b 得:
∴M +b =0.
例3 (1)5
(2)y = (3)
例4 1、P 0D 2、AD 3、5 B 组题
1、D 2、B 3、D 4、B 5、D 6、y =x -1, y =-x +1
125
x -x +4, E(10,4) 42
65 5
2002-15025
=10小时 7、 ∏-48、(1)受影响 (2)T=
102
9、解答∵AD 与DC 的长度为x -7x+12的两根,∴有两种情况: ①AD=3,DC=4 ②AD=4,DC=3 由勾股定理:求得AC=5,
连接AO 并延长交⊙O 于E 点,连接BE ,∴∠ABE=90° 又∵∠E=∠C ∴△ABE ∽△ADC ,∴
当AD=3,DC=4
时,AB =
2
2
AB AE AB
=⇒AE =∙AC AD AC AD
AE =
25⎛AE ⎫=9+a 2)π ⊙O 的面积为:π∙ (⎪
36⎝2⎭
当AD=4,DC=3时
,AB =
∴AE =
⊙O 的面积为:25⎛AE ⎫2
π∙ =16+a π ()⎪
64⎝2⎭
C 组题
2
2ab -b 2123⎛a ⎫⎛b -a ⎫
∏1、∏ ⎪-∏ 2、1-n ,14 3、4、5⎪=
422⎝2⎭⎝2⎭
13π
5.(1)解:设抛物线为y =a (x -4) -1.
∵抛物线经过点A (0,3),∴3=a (0-4) -1. ∴a =∴抛物线为y =
2
2
22
1
. 4
11
(x -4) 2-1=x 2-2x +3. 44
(2) 答:l 与⊙C 相交. 证明:当
1
(x -4) 2-1=0时,x 1=2,x 2=6. 4
∴B 为(2,0),C 为(6,0).
∴AB ==设⊙C 与BD 相切于点E ,连接CE ,则∠BEC =90︒=∠AOB . ∵∠ABD =90︒,∴∠CBE =90︒-∠ABO .
又∵∠BAO =90︒-∠ABO ,∴∠BAO =∠CBE . ∴∆AOB ∽∆BEC . ∴
CE CE BC
.
∴.
∴CE ==>2. =
2OB AB ∵抛物线的对称轴l 为x =4,∴C 点到l 的距离为2. ∴抛物线的对称轴l 与⊙C 相交. (3) 解:如图,过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点Q . 可求出AC 的解析式为
1
y =-x +3.
2
121
,则Q 点的坐标为(m ,-m +3). m -2m +3)
42
1113
∴PQ =-m +3-(m 2-2m +3) =-m 2+m .
2442
113327
∵S ∆PAC =S ∆PAQ +S ∆PCQ =⨯(-m 2+m ) ⨯6=-(m -3) 2+,
24244
273
∴当m =3时,∆PAC 的面积最大为. 此时,P 点的坐标为(3,-).
44
设P 点的坐标为(m ,
6、(1)连结AB ,即为直径,则OA 2+OB 2=132。即(OA+OB) 2-2OA·OB=132。而OA +OB=-k >0,OA·OB=60,则k 2-120=169,即k=±17(正值舍去) ,所以有x 2-17x +60=0,故OA=12,OB=5;
(2)连结O′C交AO 于E ,可得△OCB ∽△DCO ,则∠1=∠2,所以C 为OE=AE=6,CE=O′C-O′E=O′C-OB=4,C(6,-4) ;
中点,则
(3)假设在⊙O′上存在点P ,使S △POD =S△ABD ,因OB ∥EC ,则所以OD=
,则S △ABD =AD·BO=
,即S △POD =
,即,
,也就是△POD 中OD 边上的高为
13,即点P 到x 轴的距离为13。然而⊙O′上的点到x 轴的最大距离为9,即点P 不在⊙O′上,这与假设矛盾。故在⊙O′上不存在点P ,使S △POD =S△ABD 。