数学悖论与谬误的区别与联系

2．1．2数学悖论与谬误的区别与联系

2．1．2．1数学悖论与谬误的区别

“悖论"(Paradox)一词来源于哲学和逻辑学。意指一种自相矛盾的论述，中国古代关于“矛盾”的故事是对悖论最通俗的解释。悖论是一种导致自相矛盾的命题，这种命题如果承认它为真，那么它又是假的，如果承认它为假，那么它又是真的。②例如著名的“说谎者悖论”：古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯说：“所有克里特岛上的人所说的话都是谎话。”问题也就此出现了。我们如果认为这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，与岛上的人所说的话都是谎话相矛盾。如果认为这句话是假的，也就是说岛上也有人不说谎。因此，哲学家的这句话无论怎样也难以自圆其说，总是存在矛盾，这就构成了一个悖论。数学悖论历史悠久，一直可以追溯到2000多年前的古希腊和我国的先秦时期。数学中的悖论内容广泛，包括自相矛盾的陈述，对广泛认同的事实的误解和反驳，形似正确的错误命题和形似错误的正确命题。①现在“悖论"泛指那些推理过程看上去合理但结果却又违背客观事实的结论。数学悖论的出现极大的冲了数学的严谨性，因为当时的理论体系无法解决这一矛盾，导致很长的一段时间内整个学术界的恐慌。与此同时，大批数学家们投入极大的热情来解决这些问题，此过程中他们不断地完善原有的理论体系，甚至开辟出新的科学域，无形中让数学这门学科有了更加蓬勃的发展。

一个错误的结论通过似乎是合乎逻辑的解释而成为正确的结就

叫谬误。一般的，谬误是用来形容思维上的错误，把不正确的事情说成是正确的。在数学中，谬误可以看做是一种看似正确但经过检验可证其为错误的论证类型，也就是说经过一系列错误的推理而必然得到的结果。例如，某学生使用以下方法对分数进行化简：

在这种情况下，这个学生得到的是正确答案，但是这种方法没有逻辑根据，于是在一般的情况下这种方法将失效。

任何一个论证都是为了说明它的结果是真的，但这两种情形下是不可能的：一种是论证的前提是虚假命题的时候，无论如何推理、过程如何的正确，也无法确证它的结论为真；另外一种是论证的前提是真命题，但结论却是假的，那么说明其中间的推理过程出现了问题，也就是错误推理。习惯上，人们将“谬误”这个词用在那些虽然不正确但却具有一定说服力的论证。有些论证的错误是非常明显的，不能 欺骗和说服任何人。但是，谬误有时也是危险的，因为大多时候会被某些谬误所愚弄。然而研究这些错误论证是非常有益的，因为当明确理解它们后，就可以最有效地避开它们布下的陷阱。

由上述可知，数学悖论和谬误都是一种矛盾命题，但两者之间也有不同之处。悖论是理论知识达到一定高度后的产物，随着科学体系的的不断充实和完善悖论也就随之消失。谬误在学习的任何过程中都有可能出现，但经过严密的推理可以找到其错误的根源。

2．1．2．2数学悖论与谬误的联系

在数学的推理过程中，谬误和悖论有时是同时存在的。数学常常

被用来解释现实世界，然而有时经验会告诉我们，当推理和数学论证的结果与现实经验不一致时，这其中就可能存在一些比较复杂的谬误，这些谬误在无法用数学知识解释是什么的时候，就被认为是一种悖论。有些情况是发生在纯数学的领域，还有些时候会发生在语言学或现实生活的其他方面。对于数学的大量悖论来说，如果能删除那些“别扭"的谬误，那么数学就成为了一块“净土”。所以在某些谬误不能被解释之前，大多数的谬误可以被看成是悖论。例如：

如果x2=Y2

那么这就是说，下面等式中至少有一个是成立的

X = Y，X = -y，-X =-y，-x=Y

这些等式中有两个是等效的，因此它们可以减少为

X =Y，X = -y除非x=0，否则要么这两个等式中有一个是错误的，要么就是这个等式有两个解。这个推导的过程中存在谬误，因为忽略了取平方根的规则或者不熟悉负数，从而不知道它是怎么变成错误的时候，就是一个悖论。

这在数学这门学科不断完善的过程中是经常会遇到的，当0还

没被发现之前，某些运算，如被除中有0的运算中出现的谬误，就是一个悖论，在O出现以后，这些还没被纠正的错误就是谬误。这样的情形在取平方根、根式的运算、虚数的运算等均能被发现。

前面曾提到数学悖论的起源最早可以追溯到古希腊和我国的

先秦时期。在此之后的两千多年发展历史中，因为悖论的产生，以严谨著称的数学经历了三次数学危机。以下的几节内容当中将对这

些著名的悖论进行简单的介绍。并列出一些中学数学中所涉及到的数学谬误，以供同学们欣赏和研究。

2．2著名悖论举例

2．2．1芝诺悖论

芝诺(Zeno，约公元前490——前430年)是古希腊伊利亚学派创始人巴门尼德的学生，他生活在古代希腊的埃利亚城邦，因其悖论而闻名于世，是一位伟大的数学家和哲学家。遗憾的是芝诺并没有什么著作流传下来，他的生平只能从亚里士多德的《物理学》和普里西奥斯为《物理学》作的注释中可见一斑。据说芝诺一生推出了40多个各不相同的悖论，现存的芝诺悖论至少有8个，其中以下关于运动的4个悖论尤为著名。

(1)阿基里斯(Achilles)永远追不上乌龟

传说中，阿基里斯是古希腊时期的一名长跑健将。芝诺说，他可以证明，如果先让乌龟爬出一段距离，那么阿基里斯将永远也追不上行动缓慢的乌龟。芝诺是这样证明的，如图2—1

，

假设乌龟先爬一段距离当阿基里斯到达乌龟的起跑点时，乌龟已经向前又前进了一段路程a1，到达A1点，阿基里斯要想追到乌龟必须先到达A1点。当阿基里斯跑过距离a1，到达a1点时，乌龟同时又

爬出一段距离a2到达A2点，阿基里斯要想追上乌龟，就又得跑到A2点，乌龟同时又爬出一段距离a3，到达A3点。这样下去，阿基里斯跑到A3时，乌龟又跑到A4点。如此这般下去，阿基里斯就会永远追不到乌龟。

(2)二分说(运动不存在)

由于运动的物体在到达目的地彳前必须到达其半路上的中点B，同理在到达占点之前，又应该先到达剩下距离的终点C，如此下去，该物体永远也不会到达它的终点，运动也就不可能。

(3)飞矢不动

一支飞行的箭是静止的。由于每一时刻这支箭都有其确定的位置因而是静止的，因此箭就不能处于运动状态；但由于箭要达到每一时刻的固定位置必须存在动能，所以箭必须是运动状态，这就产生了矛盾。

(4)游行队伍悖论

首先假设在操场上，观众席彳、队列曰、队列C如图2—2排列，在一瞬间(一个最小时间单位)里，相对于观众席彳，列队B、C将分别各向右和左移动一个距离单位。

观众席

A

队列B---向右移动(一)

▲▲▲▲ 队列C---向左移动(一)

B、c两个列队开始移动，如图2-3所示相对于观众席A，B和C分别向右和左各移动了一个距离单位。

口口口口 观众席A

■■■■ 队列B

▲▲▲▲队列C

而此时，对B而言C移动了两个距离单位。也就是，队列既可

以在一瞬间(一个最小时间单位)里移动一个距离单位，也可以

在半个最小时间单位里移动一个距离单位，这就产生了半个时

间单位等于一个时间单位的矛盾。

综上四个悖论，芝诺的悖论除了涉及空间和时间的概念外，

还与无限问题有关。这些表明当时人们对无限的认识缺乏严密

逻辑基础，所以当时的芝诺悖论促进了数学的发展。

2．2．2理发师悖论

数学中著名的悖论是罗素(B．Russell，1872—1970)于1902年

提出的，这位英国近代哲学家和数学家对新创立的集合论发起

了猖狂的进攻，更让逻辑学家们不知所措，悖论的通俗表述是：

一理发师宣称：他给所有自己不刮脸的人刮脸，而不给自

己刮脸的人刮脸。

一个智者问：理发师先生，你是否应该为自己刮脸? 理发

师无言以答，假如他给自己刮脸，就与他宣称的“不给自己刮

脸的人刮脸”相矛盾。假如他不给自己刮脸，根据他的原则，

他就应该给自己刮脸，也产生了矛盾。

罗素根据集合论的定义制造出一个集合

即集合么是由一些不属于自身的那些集合所构成的集合,换言

之，对任一集合Z，如果

则． ，z就是么的元素；反之，如果z∈A，如果A是A的元素，应该有AA；如果A不是A的元素，按

A的定义，A应该属于A，得到不可调和的矛盾。

而理发师悖论就是这个悖论的通俗表述。罗素悖论从根本上动

摇了集合论体系，使数理逻辑家不得不重新创立公理化体系。高中一年级刚开始学习集合的概念，所以这一悖论可以作为使学生更好理解集合的概念。

2．2．3几何悖论

不可能图形是几何悖论中的一种。荷兰画家埃舍尔十分擅长画

这样的图形。如下图2—4，2～5是其中两个。几何悖论所构造的图案是仅存在于2维平面世界里的图形，是一种通过素描、线描等立体绘画手法表现出3维立体世界中不可能存在的图像。

在教学中向学生介绍这些几何悖论的知识，不仅可以扩大学生

的视野，而且告诫学生不能忽视正确的作图规则，同时也锻炼了学生的思维，激发学生的学习兴趣。

2．3悖论与三次数学危机

2．3．1无理数的发现与第一次数学危机\

无理数的发现归功于毕达哥拉斯学派。毕达哥拉斯(大约公元前

580一公元前500)出生于靠近小亚细亚西部海岸的萨摩斯岛，被誉为希腊论证数学的鼻祖。他在大希腊(今意大利东南沿海的克洛托内)建立了一个秘密的宗教会社，也就是今天所说的毕达哥拉斯学派。该学派致力于哲学与数学方面的研究，并取得了很大的成就。

以毕达哥拉斯的名字命名的毕达哥拉斯定理(我们所说的勾股

定理)，就是直角三角形的斜边上的正方形等于其余两边上的正方形之和(如图2—6)。

这是在古代埃及、印度和中国被独立发现的，但我们还不知道

其详细情况。公元前580年左右，毕达哥拉斯及其学派因研究了这个命题而著称于世。①毕达哥拉斯学派另一项成就是正多面体作图，在三维空间中正多面体只有五种——正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。其中正十二面体的作图尤为特殊。它与著名的“黄金分割”有关，这个名称虽是后人在两千多年以后

才开始启用，但毕达哥拉斯学派在当时已经知道了该分割的性质。 毕达哥拉斯学派的基本信条是“万物皆数”。他们认为任何量都可以表示为两个整数之比，翻译成几何语言相当于说：对于任何两条给定的线段，总能找到某第三线段，以它为单位线段能将给定的两条线段划分为整数段。他们称这样的两条线段为“可公度量”，意思是有公共的度量单位。但在公元前470年左右，该学派的弟子希帕索斯却发现边长为1的正方形对角线与其一边却是不可“公度”的。原因如下：

m假设该对角线与一边之比为n (m，n互素)

，由勾股定理知：

即m2=2n2。这里，m2为偶数，则m为偶数，假设m=2p，那么

4p2=2n2也即甩n2=2 p2，于是n也是偶数，与假设m，n互素矛盾。

此时，单位正方形的对角线长为，是一个无理数，显然是

没有办法表示为整数比。但当时，这个不可公度量的发现却使得毕达哥拉斯学派的“万物皆数”的思想受到了极大的冲击，他们拒绝接受无理数的出现，惊恐不已。后来人们又陆发现了其他的无理数，这些数字的出现深深地困惑着古希腊的数学家，因此人们也把希腊数学中出现的这一逻辑困难称为“第一次数学危机”。大约一个世纪之后，欧多克斯提出了新的比例理论，这一危机才暂时消除。但是无理数问题直到19世纪戴金德和康托尔等人建立了实数理论才得以彻底解决。当人们的认识从有理数的领域扩展到实数领域后，毕

达哥拉斯悖论自然消失。

第一次数学危机使得古希腊数学从以数为基础转向了以几何为基础。公元前300年左右欧几里得在柏拉图、欧多克斯等人工作的基础上建立起历史上第一个数学公理体系——《几何原本》。

2．3．2贝克莱悖论与第二次数学危机

进入十七世纪以后，科技的发展给人们带来了前所未有的惊奇与挑战。1608年，人类的第一架天文望远镜对准了星空，展现给世人的不只是令人惊奇不已的天文奇观，同时也提出了亟待解决的四个问题：瞬时速度问题，曲线的切线问题，函数极值问题，求积问题(曲线长度、曲面面积)。

此后长达半个世纪的时间里，几乎所有的科学家都致力于寻求解决这些难题的新的数学工具，特别是描述运动与变化的无限小算法，并且在相当短的的时期内取得了迅速的发展。代表人物有伽利略、开普勒、笛卡尔、费马等。遗憾的是，这些科学家虽然沿着不同的方向逼近了微积分这一新的科学领域，对于求解各类微积分问题做出了宝贵的贡献，但由于其所用方法缺乏一般性，最终也只能说为微积分的创立奠定了基础。

英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹就是在这样的情况下登场了，时代的需要与个人的才华使他们站在一个更高的高度，将前人的贡献与分散的努力综合起来完成了创立微积分最关键的一步。牛顿于伽利略去世那年(1642)的圣诞出生于英格兰林肯郡的一个农民家庭，是遗腹子且早产。少年牛顿并不是神童，但酷爱读书与制

作玩具。17岁那年被母亲从就读的格兰瑟姆中学召回田庄务农。后在其舅父和格兰瑟姆校长史托克斯的劝下，九个月后重回学校读书。有意思的是，史托克斯校长的劝说词当中的一句话可以说是科学史上最幸运的预言：在繁杂的农活中埋没这样一位天才对世界来说将是多么巨大的损失!

牛顿对微积分问题的研究始于1664年初，他在大量研究了前人成果的基础上首创了无限小且最终趋于零的增量。后来他又以运动学为背景，从解决具体问题的方法中提炼、创立出普遍适用的微积分方法。

莱布尼兹(1646—1716)出生于德国莱比锡一个教授家庭，早年在莱比锡大学学习法律，也就在那时他开始接触开普勒、笛卡尔等人的科学思想。与荷兰数学家、物理学家惠更斯的交往更是激发了他对数学的浓厚兴趣，并开始研究求曲线的切线以及求面积、体积等微积分问题。与牛顿的运动学背景不同，莱布尼兹创立微积分

是出于对几何问题的思考，并于1677年，在一篇手稿中明确陈述了微积分的基本定理。牛顿与莱布尼兹创立的微积分为整个自然科学史带来了革命性的影响。但在随后的发展过程中人们发现它并不是十分严格的，在使用“无限小”概念上特别混乱。正因如此，导致了数学发展史上的第二次危机。1734年，英国大主教贝克莱出于宗教的动机以“渺小的哲学家”之名出版了一本标题很长的书《分析学家，或一篇致一位不信神的数学家》。在这本书中，贝克莱对牛顿的理论中关于无限小量的混乱假设进行了攻击。例如

△x=0? △x≠0?y=x2

y+△x =(x+△x)2=x2+2x△x +(△x )2

△y=2x△x +(△x)2△y/△x=2x牛顿假设x有一个无限小的增量△x，并以它去除Y的增量，然后又让这个增量消失，得到了y2的微分，贝克莱指出关于增量△x的假设前后矛盾。他讥讽道：“这些消失的量究竟是什么呢?也不是无限小，又不是0，难道我们不能称他们为消失量的鬼魂吗?"

另外，下面的论断也让人不可小视：首先这个x应该为0，这是因为

x=(1一1)+(1—1)+„=0

其次，可以证明x等于l，因为

x=l一(0—1)一(0一1)一„=1

1最后，还可以证明x等于2 ，因为

x=1一(1—1+1—1+„一)

x=1一x

2x=1

11x=2 零表示没有，由于这个x可以等于零，等于l，等于2，所以。112而1和2表示确实存在，这不是“没有”等于“有”吗? 贝克莱的抨击虽是出于宗教动机，但也确实击中要害，揭露了牛顿与莱布尼兹微积分的缺陷，导致数学家们长达百年的辩护与争论。最终在19世纪引入了极限论，建立了严密的实数理论才得以解

决。

2．3．3罗素悖论与第三次数学危机

数学发展史上的第三次危机发生在19世纪末，20世纪初。上一节内容当中曾提到第二次数学危机的发生其本质就是微积分的基础无穷小量的不严格造成的，因此使数学的基础严格化就成了数学家们最终的目标。

康托尔的集合论就是在这种情况下诞生了。它是19世纪末分析严格化的最高成就，它的概念和方法渗透到数学的各个分支中，成为其统一的基础理论。数学家们认为集合论或许可以彻底解决数学的基础危机，这一点令他们兴奋不已。法国数学家庞加莱甚至在1900年的巴黎国际数学大会上宣称“„„借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦„„今天我们可以说绝对的严格已经达到了„„”。固但就在第二年英国数学家罗素提出的悖论却使这段话陷入了无限尴尬的境地，并引发了对数学基础的第三危机。

罗素提出的悖论作了如下假设：设M表示是其自身成员的集合的集合，N表示不是其自身成员的集合的集合，那么集合N是否是其自身的成员呢?分析可知，如果N是其自身的成员，那么N就应该在M里与其前提中的假设矛盾；如果N不是其自身成员，那么Ⅳ就应该在集合N里，也就说明N是它自身的成员，无论如何也会导出矛盾的结果。

通俗一点来讲，就是罗素后来所提出的“理发师悖论”：某乡村理发师为自己定下了一条原则，他只给村里那些不给自己理发的人

理发。问题就是他到底该不该给自己理发呢?假如他给自己理发那么就与他定下的原则相矛盾；如果他不给自己理发，那么按他提出的原则他又应该给自己理发。

罗素关于集合论的悖论涉及到了集合当中最基本的概念，元素、集合、属于等，进而引发了撼动整个数学基础的严重危机。为了解决这一悖论，演化出了逻辑主义直觉主义和形式主义等数学学派，产生出了集合论的公理化系统。该系统保留了康托集合论的精华，又有效地排除了已经发现的集合悖论，而且至今未发现新的悖论。纵观数学的发展史，可以得到如下的结论：悖论的产生虽然为数学这门古老而又严谨的的学科带来了危机，但每一次解决危机的过程中数学学科也得到了蓬勃的发展。

2．4中学数学中的悖论与谬误

带着辩证的眼光看，社会和自然界的万事万物都有正反两个方面，如果只看重正面的事情，不注意反面的情况，这样看到的问题就不是全面的。在数学的教与学的过程中也存在这样的情况。在数学问题解决的过程中，从正面解决问题较多而且学生也很容易理解，但是从反面分析问题不仅能够使学生更好的理解定义、定理等，而且在锻炼学生的逻辑思维能力方面起着不可忽视的作用。中学数学中经常会遇到一些具有悖论性质的逻辑错误，对这些谬误的分析可以提高学生的学习数学的能力。中学数学中出现的谬误可分为以下几类：错误的使用数学术语或以错误的条件为基础进行公式化；忽视了定理的适用条件；在运算中进行不允许的运算。

在校本课程的开发过程中，将以下中学数学中常见的悖论和谬误作为内容体系，分代数、几何、概率统计三个方面，将其在课余时间向学生介绍和讲解，对于学生尽快理解高中的数学知识有很大的帮助。

2．4．1代数中的悖论

高一刚入学的学生在初中阶段是经历了从算术到代数的阶段，成绩一般的学生在对代数的理解还是很模糊的，为了很好地进入高中代数知识的学习，在校本课程中加入一些代数方面由于谬误而导致的一些误解和误证，对于学生正确理解数学内容，掌握数学概念起到了举一反三的作用。

(1)负数大于正数．

证明：对于任意的正数a，下列皆能成立： (-a)：(+a)= -1 但( -2)：(+2)亦等于一1，故 (--2)：(+2)=(-a)：(+a)在上面的比例式中，第一项大于第二项(+2>-2)，故第三项应大于第四项，即-a>+a．

a+b(2)设a≠b，c=2a=b．首先可得a+b=2c左右两边同乘a-b，则

(a+a)(a-b)=2c(a—b)

即a2一b2=2ac一2bc

移项有a2—2ac= b2—2bc

左右两边同加c2得a2—2ac + c2= b2—2bc+ c2

即(a—c)2=(b—c)2，再两边开平方a—c=b—c

两边同加c就得到a=b

与假设矛盾。为什么? 分析说明：此式出现数学“悖论”的原因是

由于进行了不允许的运算，实际上 若要给(a—c)2=(b—c)2开平方，得到的应该是，然后由题意得a，b，c三者之间的大小关系是：若a>b则a>c>b；若a

(3)0=1吗?

令x=1，两边同乘x

可得x2=x，两边都减l则有x2—1=x一1

再两边同除x一1就有x+1=1，也就是说x=0

这不就是0=1吗? 分析：上式中的错误在于隐秘的使用了模糊不清的步骤。我们知道0是不能够做分母的，从两边同除x一1开始，推导过程就已经出现了谬误。

(4)

证明：下面的证法，错在哪里

?

(5)原命题与逆否命题等价吗?

我们知道，实数可以比大小，而虚数不行，进而复数(实数与虚数统称复数)也不能比大小，即使是形如3+i与4+i也不行。现己知a，b为两复数。

若a>b贝a-b>0„„„„„„①

若a≤6贝a-b≤0„„„„„„②

易知①为真命题，②为假命题，但①与②又是互为逆否命题，所以是等价命题，但①与②又一真一假，显然又不等价!

哪里出错了?

分析可知，这两个命题的前提是不一样的。①式中的前提已经变成了a与b是实数。而②式当中的前提还是两个复数。因此他们两个并不是真正意义上的原命题与逆否命题。

2．4．2几何中的悖论与谬误

在平面几何问题解决中，由于图形画法的多样性，以及一些特殊位置的不确定性，在几何问题解决中常常会出现一些谬误的现象。在学生进入高中学习立体几何之前经常向学生介绍平面几何中常见的一些谬误问题，对以后的学习有一定的辅助作用。

(1) =2吗?

我们道，直径为2的半圆的弧长为，同时我们也容易算出：在该半圆直径上依次依次以1、1／2、1／4、1／8„为直径作一系列小半圆，这些小半圆的弧长之和总是。

随着小半圆弧的加密，一方面它们的弧长之和始终为；另一方面，这些小半圆弧越来越“贴近”大圆的直径，而直径长为2。你瞧，这不是=2吗?(如图2—7)

分析：无论小半圆如何加密，它的弧长总和始终是一个常量，而这些小半圆弧越来越贴近大圆直径的过程中，我们可知那始终是一个变量，其中体现出的是极限思想，但由此得到该极限等于大圆直径长是错误的。

(2)“任意三角形都为正三角形”

任作一△ABC，作的平分线与AB边的垂直平分线，两者交于E点，作AC与BC的垂线EF，EG，连接EA、EB。 (如图2—8) 因为CE是△CEF与△CEG

的公共斜边，又因

FEC=GCE，FE=GE，则△CEF△CEG，故有CF=CG。又因为EO是AB的垂

Rt△EGB，故FA=GB至此直平分线，故AE=BE，所以Rt△EFA

得FA+CF=GB+CG，即AC=CB，同理可得AC=AB，故有

AB=BC=AC，所以任意三角形都为正三角形。

分析：上面的推理过程中出现悖论是因为作图不准确。只要把该图画得标准，就知道E点根本不在△ABC内部。

(3)线段等于其部分．

证明：如图2-9，

设△ABC是不等边三角形，顶角是最大角。自顶点A作AD

使2=1并作底边BC的垂线AE。以S1及S2分别表示△ABC及△ACD的面积，因这两个三角形是相似的，

故S1：S2=AB2：AD2„„„„„„①

又因这两个三角形等高，故S1：S2=BC：DC„„„„„一② 自①，②得

AB2：AD2=BC：DC„„„„„③但在任意三角形中，对锐角之边的平方等于其他两边平方和减去其中一边与他边在此边上射影之积的二倍，故

AB2= AC2+BC2—2BC．EC

AD2=AC2+DC2—2DC．EC

代入③得

自上式可知BC=DC。

(4)魔术师的地毯．

一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1．3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0．8米宽2．1米长的矩形。

敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗?边长1．3米的正方形面积为1．69平方米，而宽0．8米长2．1米的矩形面积只有1．68平方米，两者并不相等啊!除非裁去0．01平方米，不然没法做。"

秋先生拿出他事先画好的两张设计图，对敬师傅说：“你先照这张图(图2—10)的尺寸把地毯裁成四块，然后照另一张图(图2—11)的样子把这四块拼在一起缝好就行了。魔术大师是从来不会错的，

你放心做吧!”敬师傅照着做了，缝好一量，果真是宽0．8米长2．1米。魔术师拿着改好的地毯满意地走了，而敬师傅却还在纳闷儿：这是怎么回事呢?那0．01平方米的地毯到什么地方去了?你能帮敬师傅解开这个谜吗?

把△ABC剪开，旋转900，再使A与D重合，C与B重合，即

138线段AC与线段BD合并，由于5 ≠3 ，即直线的斜率不相等，因

此三点E、D(C)、B并不在一条线上，因此构不成一条线段GK。准确图形应该如图2-12，自G到K中间有一个细长的重叠地带，这个重叠部分就是面积减少的原因。

2。4．3概率统计中的悖论与谬误

概率统计中的悖论是因为对概率的直觉认识造成的，下面的几个实例便是如此。

(1)甲有两张扑克牌：1和10，乙有两张牌：5和9，丙有两张牌：3

和6现在开始玩游戏：甲乙各自从自己的扑克牌中随机抽出一张，比较数字，大者胜。请问这个游戏规则公平吗?甲丙玩游戏公平吗?那么乙丙呢?

直觉上判断：规则是公平的。

原因如下：当甲和乙玩这个游戏时，如果甲摸到1，乙无论摸到哪张都胜，如果甲摸到10，乙无论摸到哪张都输。于是，这个游戏就相当于甲从1和10两张牌中摸出一张，若甲摸到l则乙胜，若甲摸到10则甲胜。于是甲乙获胜的概率都是0．5，规则是公平的。类似的分析也可以得出：甲和丙玩这个游戏也是公平的。既 然如此，类似于传递性，乙和丙玩游戏也似公平的。

但事实上却并非如此。当乙与丙玩这个游戏时并不公平。乙与丙各摸一张牌，会出现四种结果：(5，3)，(5，6)，(9，3)，(9，6)．这四种结果出现的概率是相等的，四种结果中，只有出现(5，6)这一种结果时，丙才可以获胜。因此，在这个游戏中，丙获胜的概率为1／4，而乙获胜的概率是3／4。

(2)三张卡片的骗局

这是发生在赌场里的故事。一次赌博中，庄家手上有三张卡片。卡片的两面分别是：圆圈——圆圈，圆圈——黑点，黑点——黑点。庄家把三张卡片放进一个帽子里摇晃，然后让赌客抽出一张放在桌面上。

假定赌客抽到的卡片上面是一个圆圈，此时庄家说：你抽到的卡片不可能是黑点——点卡，因此应该是圆圈——黑点卡或是圆圈

——圆圈卡，而卡片下面是圆圈或是黑点的概率是一样的，都是0．5。结论就是庄家要以对等的赌金赌对方抽到的是圆圈——黑点卡。

你认为这样的赌博公平吗?

从庄家的分析过程非常符合我们的直觉经验，这次的赌局是公平的，但如果赌局如此公平，他又怎么能赢走钱呢?这又说明该赌局中有骗局。其实真正的原因是三张卡片中抽一张，可抽到圆圈——黑点卡的概率是i／3。这个概率不会因为你抽一张出来看了一下就会发生变化。因此庄家赢的概率始终是2／3。

(3)玻璃球悖论

一个男孩有一个玻璃球，一个女孩有两个玻璃球。他们向竖在地上的一根立柱弹球，玻璃球最接近立柱者胜。假定男孩和女孩技巧完全相同，测量也足够精确，女孩赢的概率是多少?

观点一：女孩弹两个玻璃球，男孩只弹一个，因此女孩赢的概率是2／3。

观点--把女孩的玻璃球叫做A和B，．把男孩的叫做C，就有四种可能的情况：

①A和B都比C更接近立柱

②仅A球比C球接近立柱

③仅B球比C球接近立柱

④c球队和B更接近立柱这四种情况中三种都是女孩赢，所以女孩赢的概率是3／4。两种观点都有足够的说服力，但结果却是相互矛盾的。问题出在哪里呢?

下面我们列出全部可能的情况，就可以发现问题所在。按三个球接近立柱的序，使最近者在前，列表如下：

ABC ACB BAC BCA CAB CBA也就是说可能发生的情况是六种，而不是四种。并且在这六种可能的情况中有四次是女孩赢，这就证明了第一个观点是对的，女孩赢的机会是4／6=2／3。

综上所述，通过以数学悖论与谬误为内容的校本课程的开发，学生通过对初等数学中的一些典型悖论或谬误问题的学习，使学生在能够从正面解决问题的同时也能从反面分析问题。在此过程中不仅提高了解题能力而且培养了逆向思维的能力，激发了学生学习的兴趣，使学生的数学思维更加缜密。

第3章以数学悖论与谬误为中心的校本课程实施方案及其影响 校本课程的开发与实施一般包括三个步骤，即课程的计划阶段、课程的实旋阶段、课程的评价阶段。本章在分别介绍三个阶段的实施情况之外，对该校本课程实施对学生的影响作了论述，主要从学习兴趣的培养和思维能力的训练进行论述的。

3．1以数学悖论与谬误为中心的校本课程开发的实施方案

本研究中校本课程的实施方案主要分以下几个步骤：课程计划阶段、课程实施阶段、课程评价阶段。以下分别详细介绍每一阶段。3．1．1课程计划阶段本研究中课程的计划是在顺应现在基础教育改革的号召下提出的，笔者所在学校乌海一中刚刚开始实行校本课程的开发，许多学科的校本课程都在初步试验阶段，尤其是数学校本课程没有形成完整的教学体系。经过多年在高中教学的经验，发现高一学生

在从初中到高中跨度明显的状态下，许多学生均出现了成绩下滑的局面，甚至这种状况一直持续到高二年级。同时，在实施的计划阶段，对本校其他数学教师进行了访谈，就数学教学中的困难，尤其是高中一年级数学教学中面临的困难进行了访谈，在其中了解了高一年级数学学习的现状和学生在初高中衔接方面的困扰，以及其他教师在衔接方面作的工作(具体内容见附录二)。面对这样的局面， 以及向其他数学教师征求的意见，笔者计划在高一年级开发数学校本课程，通过一些数学史知识的讲授和中学数学中悖论与谬误知识的介绍，希望培养学生学习数学的兴趣以及逻辑思维能力的锻炼。该校本课程的内容是由一些数学史中的悖论知识和中学数学中的谬误问题构成的，具体的内容在第二章有了部分的介绍，计划讲授的课题在中详细列出。计划在每周上一节内容，在课后鼓励学生自己去发掘这样的题目和内容自己分析，发现问题进而解决问题。通过一学期的实施，评价效果，希望能在全校展开实施。计划开展的过程如下：

教学设备：多媒体教室，幻灯片

课时安排：每周一课时，一课时时问为40分钟，共15课时 开展年级：高一年级开展形式：以班级为单位进行教学(主要是笔者所带的两个班级)。开展的内容与形式：第一部分——悖论的相关知识，包括悖论的概念、举例以及生活中的一些语义悖论等，另外还包括悖论与三次数学危机的学习。该部分的学习主要以学生自主搜集资料以及教师的讲解为主；第二部分——中学数学中的悖论

与谬误的学习中将学生分成小组，以小组讨论和探究形式为主，使学生利用所学知识解决一些简单的悖论问题。在整个过程中体现出学生为主体，教师只是起到引导和辅助作用。以数学悖论和谬误为主要内容的校本课程开发主要以以下课程设置为主，课程设置的具体方案即课程纲要如下：

1．课程开设的目标

①知识和技能：使学生了解一部分的数学悖论的知识，在对中学数学中的谬误问题的分析，激发学生的学习兴趣，培养问题解决的能力，锻炼逻辑思维的能力。

②过程与方法：组织学生搜集、整理和运用数学悖论和谬误的相关知识，并就中学数学中的悖论和谬误进行分析和总结。

③情感、态度、价值观：通过自主、合作、探究等方式对中学数学中的悖论和

2．课程开设的特色

①中学数学中经常会遇到一些具有悖论性质的逻辑错误，对这些谬误的分析可以提高学生的学习数学的能力。

②以数学悖论与谬误为载体，作用于数学活动的全过程，开展丰富多彩的数学活动，激发学生的学习数学的兴趣。

3．课程的内容框架：★悖论的起源以及著名悖论的举例(2课时) ★毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机(1课时)

★贝克莱悖论与第二次数学危机(1课时)

★罗素悖论与第三次数学危机(1课时)

★0=1吗?(1课时)

★7／"=2吗?(1课时) ★任意三角形都为正三角形(1课时) ★线段等于其部分。(1课时)

★魔术师的地毯(1课时)

★三张卡片的骗局(1课时)

★玻璃球悖论(1课时)

★一块钱哪里去了?(1课时)

评价与考核(2课时) 4．教学组织形式多媒体教室、报告厅以小组学习，集体讲授，分组讨论为主

5．学业评价

评价方式：闭卷考试3．1．2课程实施阶段数学校本课程试验的主要任务是：在校本课程开发理念的指导下，围绕《课程纲要》提出的课程目标、课程内容、学习方式以及课程实施的建议，进行试验：通过试验，检验和修订课程纲要，探索校本课程教与学的基本原则、方式方法和组织形式，充分发挥学生的主动性、创造性和教师的指导作用。课程的实施包括校本课程的原型评价、课程试验、传播、采纳和推广的过程以及教与学的过程，是校本课程付诸实践和走迸课堂的过程，它是校本课程开发过程中的重要阶段。具体课程内容可以通过课程选择、课程改编、课程整合、课程补充、课程拓展和课程新编等方式组织。所以考虑到学生的需求，针对中学数学中的悖论和谬误在代数、几何、概率统计中的分布，选取以上的一些课题作为校本课程开发的主要内容。实施过程中的一节内容的教学设

计如下：

教学课题：一块钱哪里去了?

教学目标：使学生能够回顾初中学习的等式和不等式的性质，结合日常生活中的悖论问题，引导学生用数学的知识去解决，体验数学知识在生活中的应用。从而更好地掌握等式和不等式的应用。 教学用具：幻灯片。

教学过程：

1．创设情境，引出问题用买东西的情景，和学生交流在商场会遇到打折或特价的情况，那么这样销售的结果会有没有真的便宜可言呢? 引出问题(用幻灯片出示问题) 一个唱片商店里，卖30张老式硬唱片，一块钱卖两张，另外30张唱片是一块钱卖3张。那天，这60张唱片全卖完了。30张一块钱两张的唱片收入15元，30张一块钱3张的唱片收入10元，总共是25元。

第二天商店老板又拿出60张唱片放到柜台上。老板琢磨：何必要自找麻烦来分唱片?如果30张唱片是一块钱卖两张，30张是一块钱卖3张，何不把60张唱片放在一起，按两块钱5张来卖?这是一样的。商店关门时，60张唱片全按两块钱3张卖出去了。可是，商店老板点钱时发现只卖得24元，不是25元，这使他很吃惊。你认为这一块钱到哪里去了?是不是有个伙计偷了?是不是给顾客找错了钱?

2．引导学生解决问题

先从一个类似的问题着手，只是价格稍稍变化一下，大家就能更清楚地看出问题了。假定贵一些的唱片卖两块钱3张，或者说是每张

唱片的价格是詈元。较便宜

j

1

的唱Yr卖1块钱两张，或者说每张去元。老板把这两种唱片混合，卖1块钱5张。

Z

假设每种有30张，如前面一样，分开来卖，得到35元，可是合起来卖60张共得

36元。这样老板就多得了1元，而不是少了1元! 这其实是一个悖论的问题，这个问题是建立在等式和不等式性质上的例子。和 上边的故事一样，老板觉得把两种唱片放在一起卖两块钱5张，和分开一种一块钱

卖2张，一种一块钱卖3张是“同样的道理”。其实不然，这种想法是没有任何道

理的。列等式之后就能明白两种卖法不可能收入同样的钱数，只是上面的例子中两

者之间的差很小，以致于看上去好像那一块钱是不留意造成的，或者是遗失了。3．推广应用，反思训练

这时，我们就需要对此悖论作一个代数分析。我们假设价格较高的唱片是每张

卖皇元，价格较低的唱片每张卖堡元(两个分数都要化简为最简分数)例如上面唱

以 C

1 片中的例子，贵的唱片是两张一块钱，即每张去元；便宜的唱片是一块钱3张，即

Z

1

每张二元，故以=2，c=3，b=d=1。假若所有唱片都以不同的价格出售，则一张唱片的平均价格是竿。如果两——上——

种唱片合起来出售，按一个价格卖，那么。口4-c张唱片就卖6+d元钱，一张唱片

的平均价格就是型。显然，两种出售的方法要得到相同的收入就必须是：b。d

}--t壬--：丛蔓„„„①

2 以+c

等式①只有在口=c时成立，而与b和d的值无关。当口>c，则两套唱片合起来卖

可得的钱多一些(如我们前面举得例子口=3，c=2)。当口

赔钱(如题目中的那个老板)。

口+C比较两种卖法的差额，可总结如下：

若口=c，则二者之差为0，

若口>c，则二者之差为正，即单卖赚钱少，

若口

这个例子告诉我们，当看到不同种类的货物联合销售时，要判断我们是否真的

买到了便宜货。4．拓展训练

三个人买暖水壶，暖水壶30元一个，平分每人10元，老板特价卖他们25元，

剩余5元，三人平分剩余的5元，最后决定买块布写感谢信给老板用了2元，剩下

3元三个人每人1元正好平分。但老二有疑问：我们每人9元3X9=27元，买布用

2元，还应剩1元啊!那1元哪去了? 3．1．3课程评价阶段

课程的评价方式主要体现在平时的学习过程中，以及期末的数学成绩。这一学

期的课程实施之后，较往届学生初高中的衔接的时间大大缩短，以往的教学经验表

明，一般学生在经历初中到高中阶段往往要半年的时间，而且大多学生会走“下坡

路”，初中成绩好的学生，如果不能很好地度过这一“衔接期”，数学成绩可能就会

永远滑下去，所以这一阶段的学习是非常重要的。

而经过这一学期的校本课程的学习，学生能很快地进入到高中的学习，很快进训练以后得到了很好的提高。另外该课程的实施对于学生思维的培养起了很重要的

作用，比较学生的期末成绩与往届学生的期末成绩，会发现较往届的平均成绩提高

了很多。 3．2数学悖论与谬误的学习对学生的影响

3．2．1对学生学习兴趣的影响学生的学习成绩往往受到众多因素的影响。但总体上可分为两类：智力因素与

非智力因素。智力因素包括感知、记忆、思维和想象等；而非智力因素主要包括学

习动机、学习兴趣、学习意志与学习热情等。智力因素与非智力因素有机结合在一

起，贯穿着学生的整个学习过程，并深刻影响着他们学习知识与技能的进度、深度

和灵活性。通过教学实践，越来越多的教师都已经意识到，非智力因素对学生学习成

绩的影响是至关重要的。

很多学生初中阶段，数学成绩还是不错的，但升入高中不长时问之后就发

现数学已经成了他们的学习黑洞。究其原因无非有以下两种。首先，初高中数学知识有明显的差异性。初中数学知识的特点是设计内容 少，难度低，与实际生活有较强的联系。而高中数学与其相比却又了一种质的

飞跃。就以函数的概念为例初高中数学书中对函数的定义分别如下：在某一化过程中有两个变量x与j，，如果对于X的每一个值，Y都

有唯一确定的值与

它相对应，就说Y是X得函数，X叫自变量；设有两个非空数集A与日，如果

按照某种对应法／，集合么中的每一个元素x在集合占中都有唯一确定的Y来变与它相对应，就说厂：A专B是集合么到集合曰的函数。很显然，后一个定义的

抽象程度更高一筹。也正因为如此对学生的思维能力提出了更高的要求。另外，

高中数学知识体系的扩充，要求学生在单位时间内所要学习的知识量比初中时

期多了许多，学生已经习惯了轻松地学习方式，一时问难免就出现了适应不了

的现象。其次，数学课堂的单调性。就身边的现象而言，数学课的模式还停留在传

统的“灌输式”的模式下。当然这与高考压力也是有必然联系的，但不可否认，这样的课堂中存在着众多问题：老师讲的辛苦，学生听的乏味，知识体系枯燥

难懂、与生活实际联系不强等。

不管是以上哪种原因，其导致的直接结果就是打击了学生的自信心，使学

生对数学失去了学习兴趣。

开发以数学悖论与谬误为线索的校本课程对于激发学生的学习情趣

有所

帮助。3．2．1．1通过数学悖论的教学可以增强数学的趣味性 数学悖论就像是一种魔术，只要一接触它，学生就会不自觉得被他所吸引。

例如无论是本文中所介绍的“说谎者悖论”还是“芝诺悖论”一经提出，就很

容易获得学生的关注。因为这样的语义悖论现实生活当中也很常见，折射出的是人的智慧与机敏。数学史上的三次数学危机使学生了解到数学的发展并不是

一帆风顺的，以严谨著称的数学也并不是无懈可击，这无疑减弱了学生对数学

的“敬畏”心理，增强了攻克数学难关的信心。除此之外，文中所精选出的悖论与谬误的一些题型对学生的数学基础要求

不是很高，只要有足够的耐心和敏锐的观察力，大部分学生还是可以解决这些

问题的。通过解决这些带有游戏色彩的问题可以提高学生学习数学的信心，自然也就对数学产生了前所未有的兴趣。例如可以给学生介绍以下镜射现象激

发学生的学习兴趣。在教学中可以向学生先提出这样的问题：“镜子会不会发

生左右颠倒的镜像呢?”然后向学生演示以下现象。

如下图3-1是普通镜子及其镜像，而图3-2则是使镜像左右颠倒的镜

子。然后向学生介绍这是把矩形抛光金属板弯曲成轻微的凹面形状制成的镜子。柏拉图‘嚯他的《蒂迈欧篇》(Timaeus)里，卢克莱修④在他的《物性论》(On the Nature

of Things)里都描述过这种镜子。

3．2．1．2通过悖论教学可以培养学生的良好品质

数学悖论与谬误这一节内容中涉及到了很多数学家。如：毕达哥拉斯、牛

顿、笛卡尔等等，学生对于这些人虽然不是很陌生，但所知道的也仅限于课本

上的阅读资料范围而已。通过悖论的历史和内容的教学可以让学生更加详细地

了解这些伟人的生平事迹及其贡献，尤其是他们对待知识的严谨认真的态度和

百折不挠的精神更可以鼓励学生，为学生树立一种榜样，从而有利于培养学生例外，在校本课程的教学过程中向学生讲一些数学家群体的故事，如毕达

哥拉斯学派捍卫自己“万物皆数”的信条，坚持自己的理性精神。还有其他一

些数学家整天默默无闻地工作，淡化了时间和空间的观念，以及一些数学家一

经投入完全忘我的精神，如，牛顿以表带蛋，华罗庚小时候守着小店看书，糖

果被人偷走也全然不知，陈景润走路看书一头撞到大树上还不知为什么„„3．2．2对学生思维能力的影响

藤泽利喜太郎说“数学是锻炼思维的体操”。它能为人的思维更加完美的

发展提供良好的训练；它不仅使人的思维符合逻辑，同时也使人的思维更为精

细、深刻和聪慧。那么悖论无疑是其中最精彩的部分。悖论的本质是客观矛盾在思维上的反应。开发数学悖论与谬误为中心的校本课程可以锻炼学生的思维

能力，主要体现在反思能力和发散思维能力以及创新思维能力三个方面，从而

使学生的数学思维能力不断得到提高。

3．2．2．1数学悖论与谬误对反思思维能力的影响反思是学生自觉地对自身活动进行回顾、思考、总结、评价、调节的过程。为 了每一位学生的终身学习和发展，培养反思思维能力就显得非常重要。

众所周知，日常教学中所用的教材全是从正确的前提出发，通过严密、合理的

推理得到一个完全正确的结论。学生通过大量的机械性练习，练就了一种单一而又

被动的学习方法，缺少了自己探究，反思的能力。而数学悖论与谬误却是从反面教材着手，在已经知道存在某种错误的前提F，持严

谨的态度，反复深入的对已有的

论证和结论进行探索与思考，以求得新的、更加深入的、正确的认识。这一过程不

但使学生的知识体系更加全面，同时也让他们的反思思维能力得到了很大的提高。

实践证明，反思思维能力可以使学生在学习中达到事半功倍的效果。 以集合当中一道典型题为例：已知：集合彳=(x l x2一工一6=o)，集合B={x[mx=1)，若B∈A贝tJ m的值为：

学生甲的解题过程如下：

因为么=(x x2一z一6=o)={-2，3)

吲枷-1)=㈦

又因为B互4

所以有!：一2或!：3

聊 m

因此m：一一1或朋：一1

Z j

学生乙确认为：，，z：o或!：一2或土：3

当m=0时B=①，也符合B∈彳，其余过程同上。很显然学生乙是正确的，那么甲的错误又出现在哪里呢?

1 分析：一起回顾甲的解题过程不难发现掀=1 j x=二这一运算导致了错误!

，竹

等式两端同除m的前提是m为非零实数!这不就与前例中的悖论“0=1"的推导过

程如出一辙吗?

通过上述对比分析，不仅学生对知识的把握会更加深入、牢靠，长期进行这样

的反思性锻炼更可以提高学生的反思思维能力，会令他们在今后的学习当中受用无

穷。3．2．2．2数学悖论与谬误对发散思维能力的影响

发散思维也叫辐射思维，是人在思维过程中呈现出的一种扩散状态的思维模

式。∞发散思维很重要的一个特点就是它的变通性，指人们克服头脑中的某种僵化

的思维框架，从一个新的方向思考问题的过程。显然，打破思维定势是培养发散思

①喻平．数学教学心理学[M]．北京：北京师范大学出版社，2010：89维的关键。数学悖论与谬误中，大部分的谬误便是思维定势造成的。

下面举一个例子：

假设你正在参加一个游戏节目。面前有三扇面，其中一扇门后面有一奖品，而

令两扇门后面是空的。你选择了一扇门，假设是1号门，然后知道门后面有什么的主持人开启了一扇后面什么也没有的空门，假设是

3号门。然后他问你：“你想选

择2号门吗?”那么改变你的选择对你来说是一种优势吗?

学生甲：换不换都一样，因为3号门既然是空的，那么剩下的两扇门中选其一，

中奖的概率是1／2．学生乙：不该换，因为三扇门当中选一扇，中奖的概率为1／3．就算换了另一扇

门这个概率也不会改变。

学生乙：该换，因为换了之后中奖的概率是2／3，不换的话概率为1／3．

以上三位同学你认为哪个是正确的呢? 分析：有三种可能的情况，全部都有相等的可能性(1／3)：

参赛者挑空门一号，主持人挑空门二号，改变选择将中奖。 参赛者挑空门二号，主持人挑空门一号，改变选择将中奖。

参赛者挑汽车，主持人两扇空门中的任何一扇，改变选择将会失败。在头两种情况，参赛者可以通过改变选择而中奖；第三种情况是唯一一种参赛

者透过保持原来选择而中奖的情况。因为三种情况中有两种是透过改变选择而

赢的，所以透过转换选择而赢的概率是2／3。

丙是正确的! 很显然，通过这样的悖论教学，我们发现定势思维在我们的思维过程中固然重

要，但并不可靠!只有引导学生从不同的视角不断地推测其错误结论

的根源或由某

种原因可推出哪些种不同结果不但可以培养他们的发散思维能力，而且还可以拓宽

学生的视野，强化知识结构从而达到举一反三的效果。3．2．2．3数学悖论与谬误对创新思维能力的影响

创新思维是思维的高级形式，它是在对事物间的联系进行前所未有的思考后创

造出新事物、发现新思路的思维方法。在数学学习中它体现在对已有知识进行分解，

重组，再加工后提出新的解决问题的方法和技巧等方面。

开发以数学悖论无谬误为中心的校本课程，对于培养学生的创新思维有一定的

帮助，这取决于悖论本身的发展过程所决定的。数学中的悖论，其发展的过程一般为悖论的提出，找到悖论的症结，最后是消 除悖论这三个过程，那么在教学中也是采用这三个阶段。

教学过程中首先要提出悖论。导致悖论的过程充满了新奇性，很容易引发学生

的好奇心和求知欲，激发学生强烈的学习兴趣和探索欲望，这有利于培养学生的创

新意识和提出问题的能力。其次是分析悖论形成的原因。在这样的分析过程中，学生可以充分发挥自己的

想象力，破除原有的思维定势，大胆提出自己的质疑和猜测，有利

于培养学生的创

新思维品质。最后是消除悖论的过程。这一过程中，学生可以在原有知识的基础上，通过反

思解题过程，纠正思维的漏洞与偏差；也可以通过对解题思维局限性的反思，提出

使用范围更广的思想方法；更可以通过渗透一些创新思维方法提出比原有方法更简

洁的解决问题的新的途径。在这整个的过程中，学生的思维经历了从发现问题到解决问题的过程，而且在

悖论的解决过程中，有很多新的方法和心得理论被发现，这也为学生的创新思维的

发展奠定了好的基础。如，在第一、二次数学危机中数学的基础都得到了从新的巩

固，无理数被发现，实数理论被完备，引进了无穷小量的专门工具。这些过程有利

于学生创新能力培养与创新思维的开发总而言之，开发以数学悖论与谬误为中心的校本课程可以对学生的思维产生极

大地刺激与促进，使他们的思维水平向着更高的方向发展。3．2．3对学生问题解决能力的影响

数学问题就是数学中的疑难和矛盾，这正是数学悖论和谬误体现的思想，

数学问题的教学在数学教学中具有广泛性和重要性。按照数学问题

提出的背景

可以将数学问题分为常规问题和非常规问题。①数学悖论与谬误中的一些数学问题就是一些非常规的数学问题，这些问题的涉及对于数学教学起着不可估量

的作用，数学悖论与谬误在数学教学中的涉及对学生问题解决能力的影响是不

可忽视的。

德国著名数学家希尔伯特(Dayid Hibert，1862--1943)的一段话说出了问题解决的意义：“正如人类的每项事业都追求者确定的目标一样，数学研究

也需要自己的问题，正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现

新的方法和新的观点，达到更为广阔和自由的世界。”①

该校本课程的实施是由一些数学游戏和数学讨论题组成的，这些问题的解决不仅是对数学悖论知识的巩固和掌握，同时也是对数学解题思路的掌握，因

为这些数学题目的解决要分为几种情形或是几个方面，所以在其中的解答过程

可以培养学生的解题能力。如向学生介绍这样的证明，让学生找到其中的错误，

发散学生的思维，促进问题解决能力的提高。例如下题： 证明：i=一l?下面的证法是否合理?

证：设X=一1，则x4=(-1)4=l 又工4=(-02(-1X-1)=1．f2·f2=f2 ．‘．X=i

即i=一1这样的训练可以从反面训练学生的解题能力，使学生的掌握更多的解题策

略。在数学问题解决的过程中，问题解决的策略的选择是一件十分困难和重要

的事情，在平时的数学学习中，学生在对数学常规问题的解决时，总是采用常

用的解题策略，从反面思考的时候很少，甚至几乎很少发生，所以在校本课程的实施阶段，适当地向学生介绍一些反面的抽象问题，不仅可以锻炼学生的逻

辑思维能力，而且也可以激发学生解决问题的能力。

另外，在实施校本课程的过程中，在课程结束之后，还可以给学生布置与

课题有关的练习题，如在魔术师地毯的题目之后，可以引导学生做以下练习：例：64=65：下面的剪接证法，是否可靠呢?

证：图3—3是一个面积为64平方单位的正方形。如依图中的线条分割，

并照图3-4的样子拼合，就会得到一个面积为65平方单位的矩形。 ·64=65。第4章结束语文中所涉及到的数学悖论和谬误包括与人的直觉和日常经验相矛盾的结论。它

有以下三种形式：一种论断看起来好像错了，但它实际上却是对的；

一种论断看起

来肯定是对的，但它实际上却是错的；还有一种推理过程似乎是合理的无懈可击，

但它却导致了逻辑上的矛盾。这些悖论与谬误或许会让人感到惊讶，但同时它也在不知不觉中将数学有趣的一面展现在学生面前，从而使同学们觉得数学不再是那么

单调乏味。

开发以数学悖论与谬误为中心的校本课程的目的有三个：激发学生学习数学的

兴趣，丰富数学活动内容；让学生洞悉解题的思维过程，完善知识结构；提高学生

的思维品质以及独立思考问题的能力。当然，在开发和实施该校本课程的过程也存在不少问题，有待解决和提高。

1．文中选取的悖论资料稍显单一，应该要多考虑学生的接受能力不同，有的难

度应该要降低一些，同时为优秀学生提出更高一层次的问题会更好。

2．为了演绎推理更方便起见，应该为学生补充一些相关的内容和知识。

3．实施过程中，有些内容可以更多的让学生来搜集资料和操作，可以达到意想不到的效果。

总的来说，开发数学悖论与谬误为中心的校本课程这一过程中，虽然也存在不

少问题，但基本上达到了所设定的目标。在今后的教学过程中，通过不断地完善和

补充，相信可以期待更加好的结果。