具有耦合电感的电路分析与应用

一、基本要求

1. 掌握含耦合电感元件正弦交流电路的分析计算方法。包括将互感电压用电流控制电压源代替，作等效电路分析法；含空心变压器．电路应用反映阻抗概念作等效回路分析法；以及耦合电感的去耦等效电路分析法。

3. 明确理想变压器的性质、电路符号和表征参数，掌握理想变压器两侧端口间的电压方程和电流方程，二及阻扰变换特性。了解全耦合变压器的概念。

4. 掌握含理想变压器的正弦交流电路的分析计算方法。特别是关于理想变压器阻抚变换性质的应用。

2. 明确耦合电感元件的性质、电路符号和表征参数。掌握同名端的概念。能正确列写出耦合电感元件两侧端口的伏安关系，特别是根据端口电压电流参考方向和同名端的位置正确确定在VAR 方程中互感电压的极性。了解耦合电感元件的储能特性。

二、学习指导

耦合电感元件和理想变压器，是两种重要的电路元件，含互感正弦交流电路的分析计算是本课程的重要内容．本章的教学内容可分为如下三部分：

1. 耦合电感元件的互感电压与同名端； 2. 含耦合电感元件正弦交流电路的分析方法； 3. 理想变压器及含理想变压器电路的分析方法。

着重讨论耦合电感元件的互感电压、同名端的概念，端口伏安关系的列写方法，含耦合电感元件正弦交流电路的分析方法，以及理想变压器元件的性质和变换电压、电流、阻抗的作用。

现就教学内容中的几个问题分迷如下、

（一）关于耦合电感元件的互感电压与同名端的概念

耦合电感元件一种双端口（或多端口）磁耦合的理想电路元件，电路符号如图7-1所示.

2

图7-1 耦合的理想电路元件 自感系数

L 1, L 2和互感系M 三个参数乘表征，带“. ”号的端钮称为“同名端”。所谓同

名端，是指耦合电感元件各绕组绕向对应相同的端钮。

由此可见，耦合电感元件，若一侧绕组电流方向指向同名端输入绕组时，另一侧绕组互感电压在同名端为正极性。也就是说，电流输入端钮和互感电压正极性端钮为同名端同名端的定义，可以简洁表述为：电流与互感电压参考方向对同名端一致。 （二）关于耦合电感元件两侧端口的伏安关系

1. 耦合电感元件两侧端口的伏安关系

由于电路中的电流和电压是同频率的正弦量。因此，耦合电感元件任一绕组通过电流时，便产生交变磁通，通过本绕组并耦合到另一绕组。于是，本绕组感应产生自感电压

L 1=

di 1di di di

, L 2=2在另一绕组感应产生互感电压M 2, M 1在图7-1所示的端口电

dt dt dt dt

压电流参考方向下，两侧端口的伏安关系分别为

di 1di

+M 2dt dt

di 2di 1

u 2=L 2+M

dt dt u 1=L 1

由上两式可见，耦合电感元件端口的伏安关系是微分方程，它包含自感电压感电压。互感电压反映了L 1和,L 2两个电感元件的耦合性质。由于耦合电感元件的伏安关系是微分方程，故它是一种动态元件，储能元件。

2. 耦合电感元件VAR 方程中自感电压和互感电压的极性

列写耦合电感元件端口VAR 方程中，确定自感电压和互感电压的极性，即正、负号，是重要的问题。自感电压的极性，取决于该侧端口电压与电流的参考方向，与同名端无

关。若端口电压电流是关联参考方向，则自感电压为正值；若端口电压电流为非关联参考考方向，则自感电压为负值。

至于互感电压的极性，则取决于同名端和端口电压与电流的参考方向。也就是说，互电压在端口VAR 方程中的正、负号，由两层关系来确定，即

(1)根据一侧绕组的同名端和电流的参考方向，确定另一侧绕组同名端互感电压的极若电流指向同名端流入绕组时，则另一侧绕组同名端互感电压为正极性，反之，为负极性。

(2)再根据耦合电感元件端口电压的参考方向和该绕组同名端的位置、确定端口VAR 中互感电压的极性。若端口电压参考方向的正极性端与该绕组同名端一致，且互感一电压同名端，为正时，则端口VAR 中互感电压为正一；若端口电压参考方向正极性端与该绕组同名端不一致，且互感电压同名端为正时，则端口VAR 中互感电压为负。确定耦合电感元件互感电压端口．VAR 中的极性，是本章学习中的一个难点，应予深刻理解和掌握。

3. 耦合电感元件端口VAR 的相量形式

在含耦合电感元件正弦交流电路的分析中，需应用相量法写出它端口VAR 的相量形式。如图7-3(a)所示耦合电感元件端口的VAR 为

2(a

)

2

(b )

图7-3耦合电感元件举例

di 1di +M 2dt dt

di di

u 2=L 22-M 1

dt dt u 1=-L 1

则它们的相量形式为

=-j ωL I U 111+j ωM I 2

U 2=j ωL 2I 2-j ωM I 1

又如图7-3(b)所示耦合电感元件端口的VAR 为

di 1di

+M 2dt dt

di 2di 2

u 2=-L 2-M

dt dt u 1=L 1

则它们的相量形式为

=j ωL I U 111+j ωM I 2

U 2=-j ωL 2I 2-j ωM I 1

（三）关于含耦合电感元件正弦交流电路的分析方法

含耦合电感元件正弦交流电路的分析，与一般复杂正弦交流电路的分析方法相同。不过，特点是在列写电路方程时，必须考虑互感电压，分析方法涉及互感电压的处理。一般有三种方式。

1. 把互感电压看作电流控制电压源作等效电路法

把耦合电感元件的互感电压用电流控制电压源代替，作等效电路。作等效电路时一，应根据耦合电感元件电流的参考方向和同名端的位置，确定互感电压在回路中的极性。正弦交流电路分析中，将含电流控制电压源等效电路变换为相量模型后，应用相量法按一般的正弦交流电路进行分析计算。

2. 含空心变压器电路应用反映阻抗概念的等效回路法

所谓空心变压器，就是线性耦合电感元件。含空心变压器电路，就是如图7-4（a) 所示，电源经线性耦合电感元件接入负载的双回路电路，。这一类含互感电路，为了简化分析计算，通常引入“反映阻抗”概念，将双回电路变换为等效的单回路来进行计算。

为了计算电源侧一次回路的电流电压，作出如图7-4（b) 所示的一次等效回路。回路中Z 11是原电路一次回路的总阻抗，Z 22则是原电路二次回路的总阻抗。Z ref

(ωM ) 2=称为

Z 22

反映阻抗，它反映了二次回路对一次回路的影响。按一次等效回路，便可计算出一次回路中的电流

Z ref

(c )

Z ref

(a )

图7-4含空心变压器电路及其一次、二次等效回路

I 1=

U S

+Z ref Z 11

为了分析计算二次回路的电流电压，可以作出如图7-4 (c)所示的二次等效回路，

它的参考方向与一次回路中的电流的参考方向回路中的电源电压就是互感电压j ωM I 1

和耦合电感元件同名端的位置有关。按二次等效回路，二便可计算出二次回路中的电流

为

I 2=

j ωMI 1

Z 22

j ωMU S

Z 22(Z 11+Z ref )

或 I 2=3. 去耦等效电路法

对于耦合电感元件两个互感支路有公共节点的电路，可以将含耦合电感元件变换为无耦等效电路来进行分析计算。这种方法是将耦合电感元件用它的“去耦等效电路”来代替，故称为去耦等效电路法，或称为互感化无法。去耦等效电路有两种基本形式。如图7-5(a)所示耦合电感元件的去耦等效电路为如图7-5(b)所示的T 形电路, 又如图7-6 (a)所示的耦合电感元件的去耦等效电路为如图7-6 (b)所示的T 形电路。这两种去耦等

效电路的区别，在于由耦合电感元件两绕组的同名端位置的不同而引起的。 对于去报等效电路，从概念上应明确如下几点：

(1)作去耦等效电路只适用子线性耦合电感元件。如果是非线性耦合电, 去耦等 效电路不能用。

L -M

+

L -M

+

2

u 1-M

u 2-(a )

(b )

图7-5耦合电感元件及其去耦等效电路之一

(a )

22(b )

图7-6耦合电感元件及其去耦等效电路之二

(2)耦合电感元件两个互感支路应有公共节点。

(3)去耦等效电路只是对元件端口外部电路等效，而内部不等效．因此，它只能用来分析计算耦合电感元件端口外部电路的电流电压。

(4)在去耦等效电路的参数中出现-M ，它本身没有实际的物理意义，而只是等效电路中参数的量值具有代数的含义，意味着电路的KVI. 方程中可能出现负电压项。 （四）关于理想变压器及其特性 1．理想变压器元件

理想变压器是一种理想化的电路元件，是实际变压器的理想化模型，是无损耗、全耦合双端口（或多端口）的磁辐合元件。它的结构原理图如图7-7 (a)所示，在铁心上

绕有匝数为N 1, N 2一次和二次两个绕组，电路符号如图7-7 (b)所示，表征参数是唯一的匝数比： n =

N 2

N 1

其理想化的条件如下：

(1) 理想变压器没有功率损耗。包括绕组导线的电阻为零和铁心也没有损耗； (2) 全耦合，即没有漏磁通。其耦合系数铁心的磁导率μ=∞;

(3) 一次与二次绕组的自感L 1, L 2均为无限大。但是，它们的比值却是常量。 符合以上三个理想化条件的磁耦合元件，称为理想变压器。它就是自感L 1, 和L 2为无限大和耦合系数K=1极限情况时的耦合电感元件。 2. 理想变压器两侧端口的电压关系

2

图7-7 理想变压器及其电路符号

在图7-7所示理想变压器电压电流参考方向下，由于全耦合，没有漏磁通，所以, i 1和

i 2分别产生磁通Φ1Φ2而铁心中的综合磁通Φ=Φ1 +Φ2，穿过绕组N 1, 和N 2, 这时N 1 和

N 2的磁链分别为

ψ1=N 1Φ, ψ2=N 2Φ

根据电磁感应定律，两绕组端口的电压分别为 u 1=

d ψ1d Φ

=N 1

dt dt d ψ2d Φ

=N 2

dt dt

u 2=

上两式之比，，便得出理想变压器两侧端口电压之间关系重要的电压方程为

u 1N 1=1= u 2N 2N

用相量形式表示为

U 1 1=

n U 2

由电压方程表明，理想变压器两侧端口电压之比是一常数，说明理想变压器其有变换电压的作用。

应该指出的是，上述电压方程，是在图7-7所示电压电流参考方向和同名端位置条件下得出的，且我们定义匝数比n =

N 2N

，（当然也可以定义, n =1. 本课程是按N 1N 2

n =

N 2

定义的）。如果绕组同名端位置或电流、电压参考方向改变，方程中的常数项的N 1

正负号亦作相应改变。

3. 理想变压器两侧绕组电流的关系

因为铁心中的磁动势F m =N 1i 1+N 2i 2根据磁路的欧姆定律，有

F m =N 1i 1+N 2i 2=R m Φ

由于铁心的磁导率μ→∞，则磁阻R m =0. 因此, 上式便可以写为

N 1i 1+N 2i 2=0

故得出理想变压器两侧绕组电流之间的关系, 重要的电流方程为

i 1N

=-1=-n i 2N 2

I

用相量形式表示为 1=-n

I 2

上式所示电流方程，是在如图7-7所示电流参考方向和同名端位置条件下得出的。如果改变同名端的位置或电流的参考方向，电流方程中常数项n 的正负号亦作相应的改变。 电流方程表明，理想变压器具有变换电流的作用。

4. 理想变压器的阻抗变换特性

由上述可知，表征理想变压器的唯一参数是匝数比n 所以，理想变压器在电路中实质上是一个变量器，可以用来改变电压或改变电流，只要改变匝数比n 的数值，就可以得到。同时，在不同的n 值时，两侧电压和电流的量值关系就会改变，从而起到改变阻抗的作用。因此，理想变压器具有重要的阻抗变换的性质。

(1)如图7-8(a)所示，在理想变压器二次端接阻抗Z 2则变换到（或称”折合到”）一次侧的阻抗为Z ’2。由两侧间的电压和电流方程可以得出

U 2

U 1-Z 2I 1' 12

Z 2===2=2Z 2

I -n I n -I n 122

由此可见，理想变压器将二次侧阻抗变换到一次侧的阻扰, 是原来阻抗的

1

倍。

n 2

)

Z

'

2=

1

Z 2n 2

图7-8 理想变压器将二次阻抗Z 2变换为一次阻抗Z ’2图示

（2）如图7-9（a ）所示，在理想变压器一次端接阻抗Z 1，则变换到二次侧阻抗为Z ’1．由两侧间的电压和电流方程可以得出

U n U 22

Z ===n 2Z 1

1 I 2-I 2

n

' 1

由此可见，理想变压器将一次侧阻抗变换到二次的阻抗，是原来阻抗的5. 理想变压器的几个基本性质

n 2倍。

(1)由于表征理想变压器唯一的参数n ，是一个与时间t 无关的常数。所以，理想变压器电压和电流方程，都是线性代数方程。因此, 它是线性非时变元件，在电路中是一

个变量

U 2-

2

-

(1'

图8-9理想变压器将一次阻抗Z 1，变换为二次阻抗Z ’1图示

器，具有变电压、变电流和变阻抗的作用.

（2）从理想变压器的电压和电流方程可知，u 1, 与u 2是线性关系，而与i 1, i 2无关i 1与i 2也是线性关系，而与u 1，u 2无关。这反映了三个理想化条件“理想变压器两绕组的自感

L 1, L 2为无限大，而它们的比值却是一个常数”的必然结果。

因为，当理想变压器二次侧端口一开路时，即i 2=0，在一次侧端口外加电压u ，，并假定一次绕组的自感系数为L 1，则有

u 1=L 1

di 1

dt

由电流方程可知，当i 2=0时，则必然i 1=0。这时u 1又是个有限值，这就要求，L 1=∞所以，理想变压器两绕组的自感系数L 1和L 2均为无限大。关于这一题，我们还可以这样来解释：根据环形铁心螺管线圈的电感公式

uN 2A

L =

l

式中：N 是绕组匝数，A , l 分别是铁心的横截面积和磁路的平均长度。 由于理想变压器铁心的磁导率μ→∞故可以得出如下结果： L 1=

μN 12A

l

→∞

+ I

L 2=

μN 22A

l

→∞

这表明理想变压器绕组的自感系数L 1和L 2是无限大。

不禁要问，既然L 1，L 2和均为无限大。为什么它们的比值却为常量呢？ 因为，磁通φ1和φ2分别与电流l 1和l 2成正比，即 φ1=αN 1i 1 φ2=αN 2i 2

式中，α是比例系数．且因N 1, N 2绕组的自感磁链分别为 ψ1=N 1Φ1=αN 1i 1 ψ2=N 1Φ1=αN 1i 1 按定义有 ψ1=L 1l 1 ψ2=L 2i 2 比较上两组关系式便可以得出 L 1i 1=αN 1i 1 L 2i 2=αN 2i 2

将上两式相比，便可得出

2

L 2N 2

=2=n 2

L 1N 1

22

22

由此可见，理想变压器一次与二次绕组的．自感系数L 2与L 1，之比为一常量，等于匝数比n 的平方。

(3)根据理想变压器的电压方程和电流方程，图8-7(b)所示理想变压器任何时刻吸收的功

率为零，即

p =u 1i 1+u 2i 2

-1

) =0 ni 1

=u 1i 1+nu 1(且储能为

ω=

⎰

l

pd ξ=0

表明理想压器不消耗功率，也不储存能量、因此，它是一种无记忆作用的非动态元件。 （五）关于全耦合变压器的慨念

实际变压器的耦合系数k

所谓全耦合变压器，就是只满足理想变压器无损耗和全耦合(即耦合系数k =1) 条件，而自感L 1, L 2和互感M 均为有限值时的耦合电感元件。如图8-10(a)所示，其一次侧端口的VAR 方程为 u 1=L 1

di 1di +M 2 dt dt

u 1di M di 2

=L 11+ L 1dt L 1dt

由于耦合系数k =1, 即 k =

|M |L 1L 2

=1

则 M =

L 1L 2

L 1L 2di 2

L 1dt

代入上式得出

di 1u 1

=-dt L 1

' 1:22(a

)

(b )

图7-10全耦合变压器模型

(a) k=1的耦合电感元件 (b) 全耦合变压器模型

将止式从0→t 积分，且i 1(0) =0, i 2=0，可的

L

L 21

u (ξ) d ξ-i 2(t ) i 1(t ) =1L 1⎰L 10

上式中

1

u 1(ξ) d ξ i 0=⎰L 10

表示二次侧开路时变压器原边的空载电流。 由于k=1，

L

n 2

=n 2故 n 1

L 2L 1

n =代入上式得出

i 1=i 0-ni 2

上式中i 2，用理想变压器电流方程折合到二次回路电流i 1=-ni 2代入，得出 i 1=i 0+i 1

' '

由于i 1=-ni 2是一匝数比为，的理想变压器的电流方程。因此，i 1与i 2关系可以用一

'

'

个理想变压器来表示。于是，便得出如图8-10(b)．所示含理想变压器构成的全耦合变压器模型。

由此可见，全耦合变压器，虽然

u 1N 1i N = 能成立。但是，1=1关系不能成立u 2N 2i 2N 2

即

i 1N ≠1 i 2N 2

（六）关于含理想变压器正弦交流电路的分析方法

含有理想变压器的正弦交流电路，一般对可按如下两种基本方法进行分析计算 1. 用受控源表示电压和电流方程法

根据理想变压器的电压方程和电流方程，将其一侧端口看作电压控制电压源，另一侧端口看作电流控制电流源，作出等效电路，然后按一般电路分析方话法进行分析法。 2. 应用理想变压器变量器作用分析法

应用理想变压器的电压、电流和阻抗变换性质，将理想变压器一侧电路的参数变换到另一侧，作出等效电路，然后按电路一般分析方法进行计算。

本章学习内容的重点是，耦合电感元件的同名端、互感电压和端口VAR 一方程的列写，含互感电路的分析方法，以及理想变压器的电压、电流和阻抗变换的性质。

三、解题指导

（一）例题分析

〔例7-1〕含耦合电感元件正弦交流电路的分析计算。如图7-ll(a)所示电路，已知耦合电感元件的参数L 1=2. 5H , L 2=5H , M =2. 83H 。求电流 i 2

2(a )

图7–11 例7-1电路图

解：[解题思路]

本题是含耦合电感元件正弦交流电路的分析计算，电路中耦合电感元件两互感支路有公共节点，故可以应用两种方法进行计算。方法之一，是互感电压用电流控制电压源表，作出等效向量模型后，用网孔分析法进行计算在作等效相量模型时，应注意电流的

参考方向和同名端的位置，正确确定互感电压的极性。方法之二，是将耦合电感元件去耦等效电路代替，变换为相量模型后应用网孔分析法进行计算。作去耦等效T 形电路时，耦合电感元件两绕组同名端的位置与图7-11(a)相同故去耦等效电路如图7-11 (b)所示。

〔解题方法〕

方法之一：将互感电压用电流控制电压源表示的等效电路分析法

(1)因正弦交流电源角频率ω=2rad /s 电感L 1, L 2和电容C 用它的阻抗表示，互感电压用电流控制电压源表示并变换为相量形式，得出如图7-11 (b)所示互感电压用电流控制电压源表示的相量模型。电源电压相量用振幅相量。 (2)用网孔法解题。根据图7-11 (b)电路模型，列网孔方程为

-j 5. 66I -(3-j 4) I =50∠0 网孔I ：(3+j ) I 122

-(3+j 1. 66) I =50 (3+j ) I 12

+(8+j 6) I -j 5. 66I =0 网孔II ：-(3-j 4) I 121 +(8+j 6) I =0 -(3+j 1. 66) I 12

(3)由 i 2=8. 62sin(2t -24. 79) A

方法之二：去耦等效电路法。

(1)将电路中耦合电感元件，用去耦T 形等效电路代替，得出如图7-11(c)所示等效电路。其中L 1-M =-0. 33H , L 2-M =2. 17H .

(2) 将图7-11(c)电路变换为如图8-11(d)所示的相量模型。 (3) 根据图7-11 (d)相量模型，列网孔方程为

-(3+j 5. 66-j 4) I =50∠0 网孔I ： (3-j 0. 66+j 5. 66-j 4) I 12

-(3+j 1. 66) I =50 (3+j ) I 12

+(3+5+j 4. 34-j 4+j 5. 66) I =0-(3+j 5. 66-j 4) I 12

网孔II:

-(3+j 1. 66) I 1+(8+j 6) I 2=0

(4)解网孔方程组, 与方法之一相同，故按上述步骤可解出结果。

〔例7-2〕含空心变压器正弦交流电路的分析计算。如图7-12所示电路，已知

图7-12 例7-2图

u s =30sin 5tV , R 1=3Ω, L 1=1H , L 2=2H , M 1=0. 8H , R 2=3Ω, C =0. 05F , Z L =3+j 2Ω.

求电流i 1, i 2。

〔解题思路〕本题是含是含空心变压器正弦交流电路的分析计算。应用反映阻抗的概念，作出一次等效回路和二次等效回路的方法进行计算。分析计算的步骤为： (1)计算出Z 11, Z 22和Z ref ;

; （2) 作出一次等效回路的相量模型，计算出I 1

，(3)作出二次等效回路相量模型，算出I 2应注意耦合电感元件电流参考方向与同名端的， 的极性。 位置，正确确定二次回路互感电压j ωM I 1

(4）按

变换i , i 。 I 1，I 212

〔解题方法〕

（1) 计算Z 11, Z 22和Z ref ;

Z 11=R 1+j ωL 1=3+j 5⨯1=3+j 5ΩZ 22=R 2+j ωL 2+Z L -j 1/ωC

=3+j 5⨯2+(3+j 2) -j 1/5⨯0. 05=6+j 8=10∠53. 13Ω

(2)作一次等效回路相量模型如图8-4 (b)所示。则

=U /Z +Z =30∠00/(3+5j ) +(0. 95-j 1. 28) I 1S 1122

=30∠0/5. 43∠43. 21=5. 52∠-43. 21A

则 (3)作二次等效回路相量模型，如图7-4(c) 所示，但互感电压为-j ωM I 1

j ωM I 5⨯0. 8⨯5. 52∠-43. 21︒1 =- I 2=- Z 2210∠53. 13︒

=2. 208∠173. 66

或直接计算得出

︒

=- I 2

j ωM U S

Z 22(Z 11+Z ref )

5⨯0. 8⨯30∠0︒

=-j ︒︒

(10∠53. 13)(5. 43∠43. 21)

=2. 208∠173. 66

︒

和I 得出 (4）根据I 12

i 1=5. 53sin(5t -43. 21A ) i 2=2. 208sin(5t +173. 66) A

︒

是最大值相量。 本题解题分析计算中, U S

〔例7-3) 含理想变压器耦合正弦交流电路的分析计算．如图7-13(a)所示电路，求电 流i 1, i 2.

解:〔解题思路〕本题是含理想压器正弦交流电路的分析计算，可以应用两种方法解题。方法之一是根据理想变压器的电流方程和电压方程，一侧用电流控制电流表示，另一侧用电压控制电压表示，作出向量模型后，分别列两回路的KVL 方程来解出；方法之二是利用理想变压器变量器的性质，作出将一侧电路元件参数变换到另一侧电路后的相量模型，按网孔分析法来求解。分析计算时，受控源按独立电源处理。 〔解题方法〕方法之一：

理想变压器两侧分别按电流控制电流源和电压控制电压源代替，等效电路法。 (1)作出等效电路相量模型，如图7-13(b)所示。其中

电感元件的感抗为 jX L =j 10⨯4⨯10

3

-3

=j 4Ω

电容元件的容抗为 jX C =-j 1/10⨯125⨯10

3-6

=-j 8Ω

理想变压器的匝数比n=2则电流和电压方程分别为

I

' 2

=2I 2

=2U

U 21

2

j 8Ω

图7-13例7-3电路图

，二次回路中一电压控制电压源电压为2U 。 故一次回路中电流控制电流源电流为2I 21

(2)列写回路KVL 方程，分别为

+j 4(I -2I ) =103I 112

一次回路：

(3+j 4) I -j 8I =10

1

2

+4I -j 8I =0-2U 112 -2I ) +4I -j 8I =0 二次回路：-2⨯j 4(I 1212 +j 8I =0(4-j 8) I

1

2

∆180∠90︒

=故得出 I 1=

∆64. 5∠60. 25︒

和I 得出 3) 由于电源电压相量是最大值相量，故根据I 12

i 1=1. 24sin(103t +29. 75︒) i 2=1. 387sin(10+56. 5)

3

︒

方法之二：应用理想变压器变换电压、电流和阻抗作用，作等效电路法。

(1)作出将二次回路元件参数变换到一次回路等效电路的相量模型，如图8-13(c)所示 其中

容抗：1/n (-jX C ) =1/2(-j 8) =-j 2Ω

2

2

) =1/2(4I ) =2I 4i 1受控电压源：1/n (4I 111

' =2I =n I i 2变换到一次回路：I 222

(2)应用网孔法解题。列网孔方程为⌝

-j 4I =10∠0 网孔I ：(3+j 4) I 12

'

︒

+2I +(j 4-j 2) I ' =0-j 4I 112

网孔II ： ' (2-j 4) I +j 2I =0

1

2

故得出一次回路的电流为

︒

∆20∠901 =I = 1

∆16. 12∠60. 25︒

=∆2=44. 92∠116. 75I ︒2

∆16. 12∠60. 25

二次回路的电流则为

= I 2

(3)最后得出

1' 1

I 2=(2. 775∠56. 5︒) =1. 387∠56. 5︒A n 2

i 1=1. 24sin(103t +29. 75︒) A i 2=1. 387sin(10t +56. 5) A

3

︒

〔例7-4〕电路匹配的计算。一不等效电压源电压为u s =12sin 500tV 和内阻为72Ω的放大器，要接一个电阻为8Ω。的扬声器负载。问(1)电路匹配时，负载经理想变压器输

入电源，则理想变压器的匝数比n 为多少?(2)电路未匹配时和匹配后，负载所获得的功率各为多少瓦? 解：

〔解题思路〕在电子技术中，往往利用理想变压器的阻抗变换性质，进行电路的匹配，满

足接入电源的负载电阻等子电源内阻的条件，使负载获得最大的功率。如图7-14 (a)所示，负载电阻R L 经理想变压器接入内阻R S 的电压源U S ，将R L 变换到电源侧回路

'

的电阻为 R L =

1

R L 2n

由于R L ≠R S 为了使负载获得最大功率，应按R L =R S 的条件实现电路的匹配，这时理想变压器匝数比n 应选为．

R 1

R L =R S

2n

R ∙

∙

R L

R L

(a ) (b )

图7-14例7-4电路

(a)匹配电路 (b)未匹配电路

即 n =这时负载吸收的功率为 P L . max =(

R L

R S

2U S

R |R '\=R =

L S

4R S ' L

U S

'

R S +R L

)

2

〔解题方法〕

(1) 电路实现匹配时，理想变压器的匝数比为 n =

81

= 723

即 N 2=nN 1=3N 1 （2）电路匹配时负载吸收的最大功率为

2U S ==2=0. 25W 4R S 4⨯72

(

12

) 2

P L . max

P L =(U S 2) 2R L =⨯8=0. 09W 2R S +R L (72+8) (12) 2

显然负载经理想变压器接入放大器，电路实现匹配时所获得的功率远大于未匹配时的数值。

〔例7-5〕 已知一耦合电感的参数为L1=6H，L2=4H，M=3H，试计算此耦合电感中两线圈串联或并联后形式的二端网络的等效电感值。

解： 只解答两线圈串联的情况：

（2） 若串联的耦合电感元件两线圈是非同名端联接时，如教材8-14（a ）所示。则端口

的VAR 方程为

di (t )di (t )di (t )di (t ) +L 2+M +M dt dt dt dt di (t )di (t ) =(L 1+L 2+2M ) =L dt dt u (t )=L 1

等效电感为L =L 1+L 2+2M =6+4+2⨯3=16H

（2） 若串联的耦合电感元件两线圈是同名端相连接时，如教材图8-15（a ）所示。则端

口的VAR 方程为

u (t )=L 1

=di (t )di (t )di (t )di (t )+L 2-M -M dt dt dt dt dt dt (L 1+L 2-2M )di (t )=L di (t )

等效电感为L =L 1+L 2-2M =6+4-2⨯3=4H

〔例7-6〕 求图7-15所示电路的输入阻抗。工作角频率为ω。

a

R 2

图7-15 例7-6去耦等效电路

解：将图7-15电路中耦合电感元件去耦等效电路，如图7-15所示。则输入阻抗为

Z i =j ω(L 1+M )+j ω(L 2+M )(R 2-j ωM ) (R 2-j ωM ) +j ω(L 2+M )

ω2M (L 2+M )+j ω(L 2+M )R 2 =j ω(L 1+M )+ R 2+j ωL 2

j ω(L 1+M )(R 2+j ωL 2)+ω2ML 2+j ω(L 2+M )R 2+(ωM ) = R 2+j ωL 22

j ω(L 1+L 2+2M )R 2-ω2L 1L 2-ω2ML 2+ω2M 2-L 1L 2+ω2ML 2= R 2+j ωL 2()

ω2(M 2-L 1L 2)+j ω(L 1+L 2+2M )R 2= R 2+j ωL 2

〔例7-7〕. 求图题7-17所示二端网络的戴维南等效电路。

5Ω

图7-17第7题电路

解：（1）求开路电压U oc

先计算闭合回路中的电流为 06∠06 ==A I 6+6+j 1012+j 10

故开路电压为

=6I +j 5I =(6+j 5)I = U oc 6+j 5⨯6=3∠00V

12+j 10

（2） 求等效内阻抗Z 0

，输入电流I 电路模型如图8-17所示。列网将电压源置零，端口外接电压源电压U 0

和I 方向相同。则网孔方程为 孔方程，绕行方向与网孔电流I 1

(12+j 10)I 1+6I + =0 j 5I

(12+j 10)I 1+(6+j 5) I =0 ①

+(6+J 10) I +j 5I =U 6I 11

+(6+J 10) I =U ② (6++j 5) I 1

由式①得出

-(6+j 5)I 1 =-I I 1= 12+j 102

代入式②得出

=(6+j 5) - U ⎛1 ⎫ =(3+j 7. 5)I I ⎪+(6+j 10)I ⎝2⎭

U =3+j 7. 5Ω 故 Z 0=I

本章小结

(1) 耦合电感是研究两个相邻线圈的电磁感应现象，它用三个参数表征：自感系数L 1、L 2和互感系数M 。带“· ”号的端钮为同名端。同名端是指如果电流从一个线圈的“· ”端流入，那么，在另一个线圈中，感应的电压在“· ”端为正极性。也就是说，流入的电流和互感电压的参考方向对同名端一致。

(2) 耦合电感电压与电流的关系式

在时域电路中

u 1=L 1di 1di ±M 2 dt dt

u 2=L 2di 2di ±M 1 dt dt

列写耦合电感的伏安关系式时，自感电压的极性由同侧的电压、电流参考方向确定，与同名端无关。若同侧电压、电流为关联参考方向，则自感电压为正值，反之为负值。

互感电压前的正、负号要由两层关系决定，首先要根据一侧电流的方向以及同名端确定另一侧同名端的互感电压极性，再与端钮所设的电压参考方向相比较，如果互感电压极性与端钮所设电压极性一致，互感电压前取正号，反之取负号。

(3) 含耦合电感电路的计算

含耦合电感电路的计算方法有两种：一是直接列写方程法，二是去耦等效法。

直接列写方程法是列写独立回路的KVL 方程组联立求解的方法。列写方程时，要注意互感电压项“+”或“—”的选取。

当有耦合电感的两线圈具有一个公共节点时，可应用去耦等效法将含耦合电感的电路变换为无耦合的等效电路。去耦等效电路有两种基本形式。应注意去耦等效电路只对端口外部电路等效，而内部不等效。因此它只能用来分析计算耦合电感元件端口的电压、电流。

分析在正弦交流下耦合电感的电路与分析复杂正弦电路相同，只是在列写方程时，要考虑互感电压。具有互感线圈的串联与并联等效电感的推导，就是一个实际举例。

(4) 空芯变压器是以耦合电感作为它的电路模型，为了简化分析计算，引入反映阻抗法，将原、副边两个回路变换为两个单回路电路，使计算非常简便。

(5) 理想变压器两线圈的电压u 1、u 2参考方向为从同名端指向非同名端，电流i 1、i 2参考方向为各自从两同名端流入时，有定义式

u 1=nu 2 ， i 1=-1i 2 n

当电压、电流参考方向或同名端位置与上述规定不同时，以上二式的符号应做相应调整。

分析计算含理想变压器电路时，应将其定义式直接列入电路方程中，联立求解。