[二次根式]典型练习题

《二次根式》分类练习题

知识点一：二次根式的概念

【知识要点】

二次根式的定义： 形如

的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，

才有意义．

【典型例题】

【例1】下列各式1

其中是二次根式的是_________（填序号）．

举一反三：

1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A

D

2

______个

【例2】

有意义，则x 的取值范围是 ． 举一反三：

1、使代数式

x -3

有意义的x 的取值范围是（ ） x -4

B 、x ≥3

C 、 x>4

D 、x ≥3且x ≠4

A、x>3 2

x 的取值范围是

3、如果代数式-m +

1mn

有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）

A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限

【例3】若y=x -5+-x +2009，则x+y=

解题思路：式

子a ≥0），⎨

⎧x -5≥0

, x =5，y=2009，则x+y=2014

⎩5-x ≥0

举一反三：

1

=(x +y ) 2，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B．1 C．2 D．3

2、若x 、y 都是实数，且y=x -3+3-2x +4，求xy 的值

3、当a

1取值最小，并求出这个最小值。

已知a

b 是

a +

1

的值。 b +2

若的整数部分是a ，小数部分是b ，则a -b = 。 若的整数部分为x ，小数部分为y ，求

x 2+

1

y 的值.

知识点二：二次根式的性质

【知识要点】

1. 非负性：a (a ≥0) 是一个非负数．

注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. a ) 2=aa (≥0) ．

注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a =a ) 2(a ≥0)

a (a ≥0) ⎧ 3. a 2= 注意：（1）字母不一定是正数． |a |=⎨

-a (a

（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．

（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．

a (a ≥0) ⎧

4. 公式a 2=与a ) 2=aa (≥0) 的区别与联系 |a |=⎨

-a (a

（1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2）(a ) 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． （3）a 2和() 2的运算结果都是非负的．

【典型例题】

a -2(c -4)=0，a -b +c =

【例4】

若则 ．

2

举一反三：

1、若m -3+(n +1) 2=0，则m +n 的值为。

2、已知x , y 为实数，且x -1+3(y -2)=0，则x -y 的值为（ ）

2

A ．3 B ．– 3 C ．1

2

D ．– 1

3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x －4｜＋

4、若

y 2-5y +6＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.

a -b +

1

互为相反数，则(a -b )

2005

=_____________

。

（公式(a ) 2=a (a ≥0) 的运用）

2

【例5】

化简：a -1+的结果为（ ）

A 、4—2a B、0 C、2a —4 D、4

举一反三：

1、 在实数范围内分解因式:

x

2

-3；m 4-4m 2+

4x 4-9=__________,x 2-+2=__________

2、

1

3、

⎧a (a ≥0)

（公式a 2=a =⎨的应用）

-a (a

【例6】已知x

A 、x -2

B、x +2

C 、-x -2

D 、2-x

举一反三：

1

( )

A ．-3 B．3或-3 C．3 D．9

2、已知a

2a │可化简为（ ）

A．－a B．a C．－3a D．3a

3、若2 a

3

）

A. 5-2a B. 1-2a C. 2a -5 D. 2a -1 4、若a －3＜0，则化简

a 2-6a +9+4-a

的结果是（ ）

(A) －1 (B) 1 (C) 2a－7 (D) 7－

2a 5

得（ ）

2

（A ） 2 （B ）-4x +4 （C ）－2 （D ）4x -4

a 2-2a +1a 2-a 6、当a ＜l 且a ≠0时，化简＝ ．

7、已知a

【例7】如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a －b │

的结果

等于（ ）

A．－2b B．2b C．－2a D．2a

举一反三：实数a 在数轴上的位置如图所示：

a -1+=______．

【例8】

化简1-x 2x -5，则x 的取值范围是（ ）

（A ）x 为任意实数 （B ）1≤x ≤4 （C ） x ≥1 （D ）x ≤1

举一反三：

2，则a 的取值范围是（ ）

Ａ．a ≥4

Ｂ．a ≤2

Ｃ．2≤a ≤4

Ｄ．a =2或a =4

【例9】如果a +a 2-2a +1=1，那么a 的取值范围是（ ）

A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a≤1

举一反三：

1

、如果a =3成立，那么实数a 的取值范围是（ ）

A . a ≤0B . a ≤3; C . a ≥-3; D . a ≥3

2

2、若(x -3) +x -3=0，则x 的取值范围是（ ）

（A ）x >3 （B ）x

【例10】化简二次根式a -

a +2

的结果是 2

a

（A ）-a -2 (B)--a -2 (C)a -2 (D)-a -2

1、把二次根式a - A. -a

1

化简，正确的结果是（ ） a

B. --a C. -

D.

2、把根号外的因式移到根号内：当b ＞0时，

b

x

x ＝ ；(a -1)

1

＝

1-a

知识点三：最简二次根式和同类二次根式

【知识要点】

1、最简二次根式：

（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式； 分母中不含根号．

2、同类二次根式（可合并根式）：

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。

【典型例题】

【例11】在根式

） A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4) 解题思路：掌握最简二次根式的条件。

举一反三：

1

1、45a , , 2, 40b 2, 54, (a 2+b 2) 中的最简二次根式是。

2

2、下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） ．．A

B

C

．

D

3、下列根式不是最简二次根式的是( )

C.

4

4、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？

3ab

2x 2+y 2xy 3a b 2 (1) (2) (3) (4)a -b (a >b ) (5) (6)

5、把下列各式化为最简二次根式：

2

45a b (3) (1) (2)

x 2

y

x

【例12】下列根式中能与是合并的是( )

A. 8 B. 27 C.2 D.

1 2

举一反三：

1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ） A

23；③

2

；④3

2、在二次根式：①；② 是 。

3、如果最简二次根式

27中，能与3合并的二次根式

a -8与-2a 能够合并为一个二次根式, 则a=__________.

知识点四：二次根式计算——分母有理化

【知识要点】

1．分母有理化

定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2．有理化因式：

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：

=

a

a -b 与a -b 等分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。

如a +

与a

，

，

3．分母有理化的方法与步骤：

①先将分子、分母化成最简二次根式；

②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；

③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。

【典型例题】

【例13】 把下列各式分母有理化

（1

（2

（3

（4

）

【例14】把下列各式分母有理化

（1

（2

（3

） （4

）

【例15】把下列各式分母有理化：

（1

（2

（3

举一反三：

1

、已知x =

2、把下列各式分母有理化：

x +y 22

y =，求下列各式的值：（1）（2）x -3xy +y

x -y

（1

（3

a ≠b ) （2

小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类：

①③

与

与

； ②

； ④

与

与

； ．

知识点五：二次根式计算——二次根式的乘除

【知识要点】

1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根

4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。

注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还

要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．

【典型例题】

【例16】

化简

⋅2x ≥0, y ≥0⨯23 【例17】计算（1）

（2） （3） （4）

（5）

（

6） （7

） （8）

【例18】化简：

(a >0, b ≥0) (x

≥0, y >0) (x ≥0, y >0

)

【例19】计算：

（4

=

成立的的x 的取值范围是（ ） 【例20】A 、x >2 B、x ≥0 C、0≤x ≤2 D、无解

知识点六：二次根式计算——二次根式的加减

【知识要点】

需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。

注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．

【典型例题】

【例20】计算（1

）

（3

⎛- （2

） ； ⎝ （4

）+

【例21】 （1

）（2

a -b

⎛+- （3

a 3（4

） 2- ⎝

（5

5

（6

知识点七：二次根式计算——二次根式的混合计算与求值

【知识要点】 1、确定运算顺序；

2、灵活运用运算定律；

3、正确使用乘法公式；

4、大多数分母有理化要及时；

5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；

【典型习题】

1、

233b 2 2、12 +4ab 5⋅(-a b ) ÷32 b 2a 1

－348 ) 8

13

、 3

1

（6、(72+22+) ⋅3-76

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知识点八：根式比较大小

【知识要点】

1、根式变形法 当a >0, b >0时，①如果a >

b >a

b

2、平方法 当a >0, b >0时，①如果a 2>b 2，则a >b ；②如果a 2

3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。

4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。

5、倒数法

6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。

7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①a -b >0⇔a >b ；②a -b

a >1⇔a >b a

8、求商比较法它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：①b ； ②b

【典型例题】

【例22】

比较

与（用两种方法解答）

【例23】

【例24】

【例25】

的大小。

【例26】

33的大小

第12页—总12页 的大小。