多项式因式分解的方法
・18 7・科 教 文 化 多项 式因式分解 的方法 张 霞 ( 重庆师范大学数 学学院 , 重庆 44 0 ) 0 10 摘 要: 在数 学学习过程 中, 常常遇到 多项式 因式分解f ̄ , - ! 本文对一元 多项式因式分解 的方 法进行 了初步的探 索 , - I 归纳 了一元 多项 式 因式分解的 1 种 方法, 出具体 实例 , 0 给 并对每种方法加 以评论。 关键 词 : 元 多项 式 ; 式分 解 ; 法 一 因 方 多项式在高等代数 中的重要性使 我们有必要对 多项式进行深 但是(( )f x ) (+ ), fx ,( )= x 1 由重 因式定理 ,+ 是 fx 的 4重 因 , xl i ) 入研究 。 本文将对多项式 因式分解的方法进行总结归纳。多项式 因 式 , 以 “x =x 1 x4 。 所 ) (+ ) 一 ) 式分解的方法很多 , 但具体到某一个多项式 , 要针对其特征 , 选取适 4 利 用 矩 阵 的初 等 行 变换 法 当的方法 , 才能提高解题 的效率 。 所以我们要灵活掌握这些方法 , 这 会为我们解题带来很多方便 。 1 求根 法 且 u x ,( ) ( )v x 满足 (( )f x )u sfx + ( ) ( )所 以可 根据 以 fx ,( ): () )v xf x , , ( , ( 参见文献【]设多项式 fx = a 卜 ¨+ , a 是整系数 多 2) ( )a r) ’ ・a +o 卜【 + l x 上过程求 出(( )f x )再用方法 三求 出多项式 x 标准分解式 。 f ,( ) , x , ) 项式 , 例4 :求 f( )X lx 2 x 5 一 X = 5 O S 0 L1x4在有 理数 域上的标准分 解 - - 第一 步 , 写出首项 系数 a 的全部 因数 v, l2 … ,; 二步 , 。 = , , S第 i 因 j 一 为 ” “并 。写出常数项 a 的全部 因数 u, 12 …,; 三步 , o ,= , , t第 j 用综合除法对 V i试验 , 确定 fx 的根 ; 四步 , 出 fx 的标准分解式 。 () 第 写 () 例 1求 fx = x 7 1x 5一 : ( )4 4 x+0 2 x 2在有理数域上的因式分解式 。 + + 解 先把它转换成求 fx = x 7,1x 5一 ( )4 x 0z x 2的有理根 。。( ) + + + . x ’ f 的常数项和首项系数的全部因数分别 为± ,2 1± ,4则需要 1± 与± ,2± ,检验的有理数为± ,2 ±1, 。由于 “一 )0 故一 是 “x 的根 , 1 ± , ± 1= , 1 ) 解 f一一8一3一 0 笠 , 5 6 x 二 ㈨1 鱼 一 由 1 l f x 变 {一 3 3+ 』 + + x 1 … 1 ll x 20 lj 0—— —z —+ I x 3 - +x 4 - x 3 4 易 见 ,fx , ( )= 3 3 + = x 1 又 因 为 fx/fX , (( )f x ) x+x+ x l ( + ), , ( )(( )f - q - ( )=23一 = x 4 (+ )所 以 fx = x 1 x 4 。 x ) X x 4 ( 一 )x 1 , - ( ) (+ ) — ) ( 且易知 fx = x 1(x+ x 7一 ) ( )(+ )4 32 x 2 。 + 5 利用行 列式的性质 按 照 同样 的方 法可求 g x = 4。3 7 一 ) ( ) (x+ x+ x 2 的有理根 , 易知 g 在高 等代数中 , 行列式是 一个较好 的工具 , 我们可 以巧妙地运 x的有 ) 理根为 斗 且}是g ) 根。 1, ( 的单 x 用行列式的相 关性 质对一些 多项式进行因式分解. 我们知道二 阶行 ・ . .4 47 1x+ x 2 (+ )x _ )4 4 + ) ( + )4 一 ) 列I x+ x+ O 5 一 = x 1 ( 一1 (x+ x 8 = x 1 (x 1 ? I l 4 J¨ a2 : ll a 2, a ( 2x 2) x+ + 2 待 定 系数 法 式。 由此启发 ,可 以将一个 多项式 F表示成 2个新 的多项式 的差 , 而每个新的多项式又可表成 2 多项式 的乘积 , F MN P 也即 个 即 = — Q,例2 :求 f( )x一 Os2 x— 5一 x= 5lx一0 21x 4在有理数域上 的标 准分解 是 解 fx 的首项系数 1的因子有 ± , () 1常数项一 4的因子有± ,2 ± 1± , 4 故 fx 的根有可能是± , 2 ± , 其代 入 fx逐 一检 验 , 出一 , () l± ,4 将 () 得 1一1 F~ l M l P O ’ N1 这样就把多项式 F转换成二阶行 列式 的形式 . 然后再对这个二 和 4 fx 的有 理根 。不妨 设 fx= x 1 (一 )x a2 x 1 , 用 阶行列式进行初等变换 , 是 () ( ) (+ )x4 ( x b + )利 + + 提出因式 。 多项式乘法法则将右边展开且合并 同类项 , fx = (一 )4(一 得 ( )x a 3 X b + + 对任意 的一元 n次多项式 P ( )a( a , …+ 。 a 均可写 X = r+ X 】 一 + a + 0 ) x 4 3 ) (- b 4 ) ( 3 4 一 。与 fx = 1 x 021x 4进 — a x 1 3 一 ax+ 一 - b x 4 + () x 0L2x— 5 一 一行逐项 比较 , a b 3 得 = = 所 以 , x= x 1 (一 )x+ x 3+ )(+ ) 一 。 f ) (+ )x 4 3 x 1= x 1 x ) ( +成阶列的式( lx0 0 一 I 基 n行式形 P= o1 0在 x - ) . 1 此 I la 2… a a l a 。a a+ 】 _ 2 () 解 , x= f ) (0 I 10… 0 x一 0} 3 重 因 式 分 离 法 一( 参见文献【 ) 1 数域 P上任一 次数大于 0的多项式 fx都有 唯 础上 , 】 () 利用行列式性 质 , 通过降阶和提取公因式 的方法分解。 例 5 对 多项 式 fx = x 2x 5L18 + 4进行 因式 分 解 。 : ( )54 4 L1x x 2 + 1 的标准分解式 f ) p ( p ( …P () ( =al x 2 x ) )—l O —18 1 其 中 a为 fx 的首项 系数 ,lx …p( ) P上首 项系数 为 1 () P ) sx 是 的不可 约多项式且两两互异 , , …, 都是正整数。对( 式两边 ‘r ‘ 2 )0 2 4求 导 , , x=a ( . () 。 ) 得 ) . P 。 p ( g )z x () , 其 中每个 P x 都不 能整除 gx , ,) ( ( )用辗转相除法 x- x+1。 4. 6 利用单位根的性质 ( 参见文献【]复数 1的 n次根 , 4) 即多项式 fx = 1的 F个复 ( )x一 1 则 存在 q x =a ) ) () fx= fx , ( )q x , 根 , ( ) p( p ( 使 ( ) (( )f x ) ( ) 由 称为 n次单位根 。 此可见 q x 和 fx 具有完全 相同的 因式 , ( ) () 差别 只是 q x 中的 因式 () = o兰 ln K f ,2 n 1。 — Zr I 1 n 次单位根是 E cs + S —T 0 , 一 ) 的重数为 1所 以求 fx 的因式就可以转化成求 q x 的因式 。 , () () 单位根在复数域 中有特殊 的地位 , 具有许多独特 的性质 。下面 例 3 求多项 式 fx =X 一l x 一2 x 一1x 在有理数 域上 : ( ) O 0 5 一4 我们利用它来求多项式 fx I + + x x l ( )x ’x …+ + 在复数域 、 + 实数域 的标准分解式 。 或有理数域上的标准分解式 。 解 , f X = X 3 x 0 一 5 (( )f x ) x 3 3+ , 由 - )54 0 L4 x 1 ,fx , )= 3 x x l ( - - + + 例 6 求 fx = 7 - +2X I : ( )X x+. X + 在实数域上的标准分解式 。 + ・ + 得 g x=( ) fx , ()=L3 一 , 以 g x 的不 可 约 因式 为 ( )fx/ ( )f x )x x4 所 ( , () 解, 因为 (一 )( )X- , 以先求 X- 在 实数域上 的标准分 x 1fx = 8 1所 81( x,()= l ): )・ 。 ) f ) x)P一xp 一 ・P 一X, ( F ( ( ・ ( …,,解式 。 ( 转 17页 ) 下 7 科 教 文 化 ・7 ・ 1 7 主学 习。在网络教学平 台的支持 ,学生可 以充分发挥学 习的主动 划 。因此 图书馆学科馆 员制 度的建立和完善 ,必将 对高校精 品课 引 。 性 ,积 极性和创造性 ,不接受传统 的线性 学习过程 ,根据 自己的 程 的建设 、教学科研丁作的发展起 到极其重要的作用 l 3 结论 需要来 安排学习计划 ,学 习 内容 ,享受完全个 性化 的学 习 ,全 面 我们 知道 ,大学 图书馆 网络 教学平 台是 网络环境下实现优 质 掌握学 习主动权传 。精 品课 程是一种过程 ,如果进行 一定 的技 术 教学 资源共享 的高校 图书馆的支持工具 ,为教学资源建设 提供 充 处理 ,符 合要求 的网络 课程的要求 ,那 么 ,精品课程效 益将更加 足的信息资源保 障。因此 ,网络环境 ,高校 图书馆 ,网络教学 平 广泛 ,其教学效果会 更明显。 台建设与高校教学 双方 应相互促进 ,共 同发展 ,为学 院的教学质 24为高校教育教学提供 了有力的信息资源保 障 . 以精 品课 程为主干 ,努力提 高文献资 源利用率 的大学 图书馆 量和教学改革 ,提供了强有力的保证 。 参 考 文献 应 提供精 品课程 ,网络 教学平 台建设提 供充 足的文献 资源保 障 , 最大 限度地利用 图书馆 资源 。如何提 高文 献利用率一 直是大学 图 【】 l包文亚. 发挥高校 图书馆优势为大学生创业教育服 务【. J 图书情报 ] 2 0 ( )2 — 8 书馆 工作的重点 。在此 问题上 ,许多 图书馆也做 了许 多有益 的尝 工作 ,0 9 3 : 5 2 . 试 ,如做深读者 阅读需 求的调查 ,网上读 者推荐 书 目,这在一定 f] 2高元文. 高校 图书馆 经济信 息服务 功能与文化 经济 一与地方政府 程度上 是零散 的,不成 系统 的。高校 图书馆网络教学 平台在高 校 合作 共建投 资资讯服务 中心的设想『. J人力资源管理 ,0 1 1 ( 1 : ] 2 1 ,5 1 ) 3 41. 中的影 响程度是相 当大的 ,我们应该充分 利用大学 精品课程 ,网 1 9-1 络教 学发展 的机会 ,提 高文献 资源整合 力度 ,包括 书籍 ,期 刊 , 【] 3冯彦平. 图书馆服务地方经济社会发展研究述评【. 高校 J 大学图书 ] 数据库 ,网络信息 ,精 品课程 ,网络 教学服务 ,为 他们的发展 提 情{ 学干 ,0 12 ( )9 — 6 艮 l 2 1 ,9 5 :3 9 . J 供最强大的文献信息保 障。 25 .采取学科馆员与院系教学联合 发展机制 学科 馆员 的工作是 跟踪 国内外 同行 学科 的发展 趋势 及动 向 , 对该学科 的研究热点 ,研究 进展 ,发展方 向进 行分析研 究 ,以二 次 、三次文献 的形 式将学科 的发展 动 向及 新 的角度 向读 者表 明 , 也注重信息 的真实性和有效性 ,并及时 向对方 和宣传 图书馆的科 学新增加 的文献信息资源 和服务措施 ,为教学 及科研工 作人员提 供有效的参考。学科馆员 可以是来 自学校教学 院系的专家或学生 , 图书馆要积 极吸纳院系先进 的学 科人才 ,加强 与学校 系室科研学 术单位 的合 作。学科馆员可 为院系教学工作提供 情报收集 、代检 代 查及选题 服务 ,随时提供相关 领域的信息 ,同时不仅要 提供文 献 ,而 且要注 重提供 提炼 出来 的数 据 、信 息 、专 题 、调 研分析 、 预测报告 、决 策参考 方案等 ,使教 师 了解并 利用 文献信 息资源 , 通 过文献信 息服务参与并支持学 校的精品课程 建设 及科研 发展计 ( 接 1 8页 J 上 7 X~1的 8个 单 位 根 是 8_:cs +in :1 oE+in f 5+ o O s 0 ,E:cs i s 一:4_ 塑 i7 2, 参考文献 [ 段 学复 , 1 】 聂灵 沼 , 高等代 数[ . 等. M] 北京 : 高等教育 出版社 ,0 3 20 . 9( 0 7重 印 ) 20 . 4 4 2 2 8: o i f 2 cs s : ,岛: o +s : √一 + n cs fn 一 2 i 十2 2 — 4 4 2 2 【] 2徐仲 , 陆全 , 张凯院. 高等代数导教 ・ 导学・ 导考[] M. 第三版. 西安 : 西 , 北 工 业 大 学 出版 社 ,0 6 20. , £ : c s +f o s:一l, 最 : c s o 。 +fi s n:一 ~ 2 4 4 2 :cs o 椭i n:_f 岛 :c s 1 o +f i n: 一 f [] 3杨荣友 , 蒋炜. 高等代数理论在 多项式分解 中的应 用【. 山师 范 J唐 ] 学 院 学报 ,0 6 9 . 20 ( ) fl 立 任 . 一 元 多项 式 的 最 大公 因 式 的 矩 阵 求 法 [. 南理 工 学 4周 n次 J湖 1 院( 自然科 学报 )2 0 ( )3 — 4 ,0 4 9 :3 3 . 其 中 £ 是实根 ,其余 都是虚根 与 8 共轭 , £共 轭 。 £与 £与 8共轭。 3 5 所 以在实数域上 的标准分解式为 x 1兀( )( 1 一) 1 + (+ +) 8 = ‘= ) 1 ) +( ( ( + 一 1 √ 1 ) 从而得到 fx 在实数域上的标准分解式为 ()f) 1 +) + + 十) (= +) 1 x( ( ( 一 1 1 值得 注意的是 , 利用单位根分解 式 的方法局 限性很 大 , 仅适 用于 Sx一 + + + 1 f )X 1 () …+ + 和 x ̄n 在指定数域上的 _-标准分解式 。