数量关系式是解决分数实际问题的一把"钥匙"

江苏南京市象山小学（２１００００） 管景强［摘 要］运用数量关系式，可以让我们找到解决分数实际问题的“钥匙”。那么，怎样才能准确找到解决分数实际问题的这把“钥匙”呢？通过案例分析，发现对分率的理解与分析是关键。因此，课堂教学中，教师要教会学生准确找出数量关系式的方法，提高学生解决分数实际问题的能力。［关键词］数量关系式 分数实际问题 解题能力［中图分类号］ g623.5 ［文献标识码］ a ［文章编号］ 1007-9068（201５）05-032典型的分数实际问题都隐含着基本的数量关系式，即“单位‘１’的量×分率＝分率所对应的数量”，用好这个数量关系式，能够让我们找到解决分数实际问题的“钥匙”。那么，怎样才能准确找到解决分数实际问题的这把“钥匙”呢？其中，对分率的理解与分析是关键。一、理解关系句中分数的意义，准确找出数量关系式现行教材已淡化分率这一概念，可在分数实际问题中，一般都含有用分数表示两个数量间倍比关系的句子（可称为关系句），而句中的分数也是分率。它表示的就是“单位‘１’的量”“分率所对应的数量”这两个数量之间的倍比关系，即“分率所对应的数量”是“单位‘１’的量”的几分之几。我们从关系句中的分率入手，明确谁是谁的几分之几，就能轻松找出分数实际问题中的基本数量关系式。１．标准句式关系句中可以明显看出谁是谁的几分之几。如“黑兔只数是白兔的２ ／ ３”，从中可以看出这里的２ ／ ３是把白兔的只数看作单位“１”，指的是黑兔只数是白兔只数的２ ／ ３；反过来说，白兔只数的２ ／ ３就是黑兔的只数。因此，此题的数量关系式就可以列为“白兔×２ ／ ３＝黑兔”。２．省略句式关系句中隐含或省略了一些关键词语，这时就需要先补充完善关系句后再进行分析。如“同学们去植树，第一天植了２ ／ ５”，这里可以让学生先想想第一天植的是谁的２ ／ ５，待学生弄清“第一天植树的棵数是植树总棵数的２ ／ ５”后，自然就可以列出题中的数量关系式为“总棵数×２ ／ ５＝第一天植的”。再如“用去一些后，还剩３ ／ ７”，这里可以让学生先想想谁是谁的３ ／ ７，因为有“用去一些后”这几个字的干扰，学生可能会出现两种观点：一是还剩的是原有的３ ／ ７；二是用去的是原有的３ ／ ７。接着，教师可引导学生进行对比分析，得出正确的数量关系式为“原有的×３ ／ ７＝还剩的”。另外，“一个数量比另一个数量多几分之几或少几分之几”的问题，也是学生最容易混淆和出错的。如“红花的朵数比黄花多３ ／ ５”，实际上这句话补充完整应该是“红花比黄花多的朵数是黄花朵数的３ ／ ５”，要让学生理解这里的３ ／ ５是把黄花的朵数看作单位“１”，平均分成了５份，红花比黄花多的朵数是这样的３份（可以借助线段图理解），数量关系式也就可以列为“黄花×３ ／ ５＝红花比黄花多的”。不过，需要注意的是，分数实际问题中有的分数并不表示数量间的倍比关系，而是用分数表示具体数量。３．区别分数表示的是分率还是具体数量如有这样一道题：“有两根彩带，第一根３米，第二根比第一根长１ ／ ４米，第二根长多少米？”有学生算出的结果是３■米或３．７５米，怎么得来的呢？实际上，学生是把这里的“长１ ／ ４米”当作“长１ ／ ４”来计算了，这里的“１ ／ ４米”是指具体数量而不是分率。区别分数表示的是分率还是具体数量有一个简单的办法，就是看分数后面有没有单位名称，没有单位名称的话就是分率，表示的是数量间的关系；有单位名称的话，就表示具体数量。如果教学仅到此就止步，会发现学生遇到这样的问题时还会犯类似的错误，因此我们应该让学生弄清“１ ／ ４”与“１ ／ ４米”之间的本质不同。在教学中，我们可以经常进行这样的练习：“两根同样长的钢管，第一根用去２ ／ ５米，第二根用去２ ／ ５。哪一根用去的长一些？”（苏教国标版小学数学六年级上册第５１页的思考题）像这样的问题，答案不是唯一的。通过讨论，教师要让学生清楚“用去２ ／ ５米”中的“２ ／ ５米”是把“１米”看作单位“１”，平均分成５份，表示其中的２份，化成小数可以是０．４米，用分米作单位是４分米，用厘米作单位就是４０厘米，这是一个具体的、确定的、实实在在的长度，所以是个具体的数量。而“用去２ ／ ５”中的“２ ／ ５”是把一根钢管看作单位“１”，“２ ／ ５”是针对这根钢管

而言的，表示的是用去的长度与这根钢管长度这两个数量间的倍比关系，因为钢管的长度是未知的，所以这根钢管的２ ／ ５也是未知的，从而得到三种不同的结果：当这根钢管的长度大于１米时，用去的长度就大于１米的２ ／ ５，即大于２ ／ ５米；当这根钢管的长度等于１米时，用去的长度就等于１米的２ ／ ５，即等于２ ／ ５米；当这根钢管的长度小于１米时，用去的长度就小于１米的２ ／ ５，即小于２ ／ ５米。学生产生这种不确定性的原因是不理解“２ ／ ５米”与“２／ ５”之间的差异，当学生有了深刻的认识后自然会认识到单位名称的重要性，进而从本质上理解了分数后面带不带单位名称的区别，正确分析出问题中数量间的关系。４．找出隐含的数量关系式从关系句中的分率入手，明确谁是谁的几分之几，可以找出分数实际问题的基本数量关系式。实际上，结合关系句中的已知信息，通过数学联想，还可以找出题中隐含的信息，从而找出隐含的数量关系式。如看到“一根绳子，用去１ ／ ３”时，可以想到“这根绳子还剩１－１ ／ ３”，就能得到数量关系式“一根绳子×（１－１ ／ ３）＝还剩的”；看到“公鸡的只数占鸡总数的２ ／ ５”时，可以想到“母鸡只数占鸡总数的１－２ ／ ５”，从而得到数量关系式“鸡总数×（１－２ ／ ５）＝母鸡只数”；看到“现价比原价便宜１ ／ ３”，可以想到“现价应该是原价的１－１ ／ ３”，得到数量关系式“原价×（１－１ ／ ３）＝现价”；看到“一堆煤，第一天用去１ ／ ７，第二天用去２ ／ ５”，可以想到“还剩的”是这堆煤的１－１ ／ ７－２ ／ ５，可以得到数量关系式“一堆煤×（１－１ ／ ７－２ ／ ５）＝还剩的”„„学生分析关系句时往往通过关键词，如“用去”“便宜”“还剩”等，进行数学联想找出题中隐含的数量关系式。这里，教师要注意引导学生，如果感到解决问题有困难，可以通过画线段图的方法，寻找数量与分率间的对应关系来确定题中的数量关系式。如上面例中看到“一根绳子，用去１ ／ ３”“现价比原价便宜１ ／ ３”等，就可以通过画线段图来找出分率与数量的对应关系。如下图：从图中可以明显看出，“用去的长度”对应的分率是１ ／ ３，“还剩的长度”对应的分率是１－１ ／ ３，从而得到隐含的数量关系式为“一根绳子×（１－１ ／ ３）＝还剩的”；“现价比原价便宜的”对应的分率是１ ／ ３，“现价”对应的分率是１－１ ／ ３，从而得到隐含的数量关系式为“原价×（１－１ ／ ３）＝现价”。二、运用数量关系式，解决分数实际问题例１．世界上最小的洲是大洋洲，面积大约９００万平方千米。（１）欧洲的面积是大洋洲的１０ ／ ９，是北美洲的５ ／ １２。（２）北美洲的面积是亚洲的６ ／ １１，是南极洲的１２ ／ ７。（３）南美洲的面积是北美洲的３ ／ ４，是非洲的３ ／ ５。分别算出各个洲的面积。（苏教国标版小学数学六年级上册第６５页第１２题）本题是“求一个数的几分之几是多少”与“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”这两种分数实际问题的混合运用，题目中条件多，数量间的关系复杂，到底是用分数乘法计算，还是用分数除法或方程计算，学生往往分辨不清。这时，理清各数量间的关系，通过列出数量关系式来分析问题就能取得很好的效果。为了节省时间，提高教学效率，列数量关系式时，教师可以要求学生简写数量关系式，已知量可以标出在关系式下方，未知量可以用“？”表示。如下：（１）欧洲的面积是大洋洲的１０ ／ ９，是北美洲的５ ／ １２。大洋洲×１０ ／ ９＝欧洲 北美洲×５ ／ １２＝欧洲 ９００ ？ ？ １０００（欧洲：９００×１０ ／ ９＝１０００） （北美洲：１０００÷５ ／ １２＝２４００，或列方程解）（２）北美洲的面积是亚洲的６ ／ １１，是南极洲的１２ ／ ７。亚洲×６ ／ １１＝北美洲 南极洲×１２ ／ ７＝北美洲 ？ ２４００ ？ ２４００ （亚洲：２４００÷６ ／ １１＝４４００，或列方程解） （南极洲：２４００÷１２ ／ ７＝１４００，或列方程解）（３）南美洲的面积是北美洲的３ ／ ４，是非洲的３ ／ ５。北美洲×３ ／ ４＝南美洲 非洲×３ ／ ５＝南美洲 ２４００ ？ ？ １８００ （南美洲：２４００×３ ／ ４＝１８００） （非洲：１８００÷３／ ５＝３０００，或列方程解）对列出的数量关系式进行分析后，可使复杂的数量关系明朗化，解决问题的思路和方法也就明确了。例２．光明畜牧场养了９００头肉牛。（１）肉牛比奶牛少１ ／

５，奶牛有多少头？（２）奶牛比肉牛多１ ／ ４，奶牛有多少头？本题是稍复杂的分数实际问题，通过关系句，我们可以列出基本数量关系式来分析。如下：（１）奶牛×１ ／ ５＝肉牛比奶牛少的 （２）肉牛×１ ／ ４＝奶牛比肉牛多的 ？ ？ ９００ ？对于第（２）题，很明显可以先求出奶牛比肉牛多的头数，再加上９００就可以求出奶牛的头数。而对于第（１）题，列出的数量关系式中奶牛头数与肉牛比奶牛少的头数都是未知的，这样就没法算出奶牛的头数。这时，通过关系句“肉牛比奶牛少１ ／ ５”还能想到：把奶牛的头数看作单位“１”，肉牛比奶牛少的头数是奶牛头数的１ ／ ５，那么肉牛头数就应该是奶牛头数的１－１ ／ ５，可以找出隐含的数量关系式“奶牛×（１－１ ／ ５）＝肉牛”。同理，第（２）题也能找出类似形式的隐含数量关系式（如下）。（１）奶牛×（１－１ ／ ５）＝肉牛 （２）肉牛×（１＋１ ／ ４）＝奶牛 ？ ９００ ９００ ？从中可以发现，通过上面的数量关系式可以很容易算出所求的问题。例３．商店运来一批水果，第一天卖出９ ／ ２０，第二天卖出１０５千克，还剩全部水果的３ ／ ８，这批水果共有多少千克？通过关系句，可以列出如下的基本数量关系式。一批水果×９ ／ ２０＝第一天卖的 一批水果×３ ／ ８＝还剩的 ？ ？ ？ ？本题运用上面的基本数量关系式解决不了所求问题，那么可以找隐含的数量关系式来分析解决问题。先画出线段图，如下。从图中可以看出，“第二天卖出的１０５千克苹果”对应的分率应该是这批水果的（１－９ ／ ２０－３ ／ ８），可以通过数量关系式来解决本问题，列式为１０５÷（１－９ ／ ２０－３ ／ ８），或用方程解。如上述例子所示，当通过基本数量关系式不能解决问题时，我们可以寻找隐含的信息，从中找出隐含的数量关系式，通过分析隐含的数量关系式，方便我们解决一些稍复杂的分数实际问题。当然，解决分数实际问题的方法和途径还有很多，通过列数量关系式来解决只是其中最基本的一种方法，运用好数量关系式这把“钥匙”，对学生解决分数实际问题能力的提高会有显著的效果。我们在实际运用时，不必强求学生都要书面列出数量关系式，熟练者能在脑中浮现这样的分析过程即可。（责编 杜 华）