导数与不等式
导数与不等式
(一) 利用极值证明不等式成立或利用极值解不等式:
例一:(2011. 辽宁文)函数f (x ) 的定义域为R ,f (-1) =2,对任意x ∈R ,f '(x ) >2,则
f (x ) >2x +4的解集为(B )
(A )(-1,1)
(B )(-1,+∞) (C )(-∞,-1) (D )(-∞,+∞)
例二:设f (x ) , g (x 分) 别是定义在R 上的奇函数和偶函数,若当x
f ' (x ) g (x +)
f (x ) g ' >(x ) ,且g (-3) =0,则不等式f (x ) g (x )
A (-3, 0) (3.+∞) B (-3, 0 ) C (-∞, -3 (0 , 3) D (-∞, -3 (3+, ∞) 3(0,
例三:(2011. 辽宁文)设函数f (x ) =x +ax 2+b ln x ,曲线y =f (x ) 过P (1,0),且在P 点处的切斜线率为2.
(I )求a ,b 的值;
(II )证明:f (x ) ≤2x -2. 解:(I )f '(x ) =1+2ax +
b x
. …………2分
由已知条件得⎨
⎧f (1)=0,
⎧1+a =0,
即⎨
⎩f '(1)=2. ⎩1+2a +b =2.
解得a =-1, b =3. ………………5分
(II )f (x ) 的定义域为(0,+∞) ,由(I )知f (x ) =x -x 2+3ln x .
设g (x ) =f (x ) -(2x -2) =2-x -x +3ln x , 则
g '(x ) =1--2x +
3x =-
(x -1)(2x +3)
x
.
2
当00; 当x >1时, g '(x )
而g (1)=0, 故当x >0时, g (x ) ≤0, 即f (x ) ≤2x -2. ………………12分 练习:已知定义在正实数集上的函数f (x ) =
12
x +2ax ,g (x ) =3a ln x +b ,其中
2
2
a >0.设两曲线y =f (x ) ,y =g (x ) 有公共点,且在该点处的切线相同.
(I )用a 表示b ,并求b 的最大值; (II )求证:f (x ) ≥g (x ) (x >0).
本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力.
解:(Ⅰ)设y =f (x ) 与y =g (x )(x >0) 在公共点(x 0,y 0) 处的切线相同.
3a x
2
∵f '(x ) =x +2a ,g '(x ) =
,由题意f (x 0) =g (x 0) ,f '(x 0) =g '(x 0) .
⎧122
x +2ax =3a ln x 0+b ,002⎪23a ⎪即⎨由x 0+2a =得:x 0=a ,或x 0=-3a (舍去). 2
3a x 0
⎪x +2a =0⎪x 0⎩
即有b =令h (t ) =
1252
a +2a -3a ln a =
2
2
222
52
a -3a ln a .
22
t -3t ln t (t >0) ,则h '(t ) =2t (1-3ln t ) .于是
1
当t (1-3ln t ) >0,即00;
1
当t (1-3ln t ) e 3时,h '(t )
1
⎛
故h (t ) 在 0,e 3
⎝
⎫⎛1⎫3
e ,+∞为增函数,在⎪ ⎪为减函数,
⎭⎝⎭
2
⎛1⎫3
于是h (t ) 在(0,+∞) 的最大值为h e 3⎪=e 3.
⎝⎭2
(Ⅱ)设F (x ) =f (x ) -g (x ) =
3a x
2
12
x +2ax -3a ln x -b (x >0) ,
22
则F '(x ) =x +2a -=
(x -a )(x +3a )
x
(x >0) .
故F (x ) 在(0,a ) 为减函数,在(a ,+∞) 为增函数,
于是函数F (x ) 在(0,+∞) 上的最小值是F (a ) =F (x 0) =f (x 0) -g (x 0) =0. 故当x >0时,有f (x ) -g (x ) ≥0,即当x >0时,f (x ) ≥g (x ) .
22例四:(2011. 浙江文)设函数f (x ) =a ln x -x +ax ,a >0
(Ⅰ)求f (x ) 的单调区间;
(Ⅱ)求所有实数a ,使e -1≤f (x ) ≤e 对x ∈[1, e ]恒成立.
注:e 为自然对数的底数.
本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识,同时考查抽象概括、推
2
理论证能力。满分15分。
(Ⅰ)解:因为f (x ) =a 2ln x -x 2+ax . 其中x >0
a
2
所以f '(x ) =
x
-2x +a =-
(x -a )(2x +a )
x
由于a >0,所以f (x ) 的增区间为(0,a ) ,减区间为(a , +∞)
(Ⅱ)证明:由题意得,f (1)=a -1≥c -1, 即a ≥c
由(Ⅰ)知f (x ) 在[1,e ]内单调递增, 要使e -1≤f (x ) ≤e 2对x ∈[1,e ]恒成立, ⎧f (1)=a -1≥e -1, 只要⎨ 222
f (e ) =a -e +ae ≤e ⎩
解得a =e .
例五、(10辽宁理)已知函数f (x ) =(a +1) ln x +ax 2+1.
(Ⅰ)讨论函数f (x ) 的单调性;
(Ⅱ)设a ≤-2,证明:对任意x 1, x 2∈(0,+∞) ,|f (x 1) -f (x 2) |≥4|x 1-x 2|. 解:(Ⅰ) f(x ) 的定义域为(0,+∞) ,f '(x ) =
a +1x
2ax +a +1
x
2
+2ax =.
当a ≥0时,f '(x ) >0,故f (x ) 在(0,+∞) 单调增加; 当a ≤-1时,f '(x ) <0, 故f (x ) 在(0,+∞) 单调减少;
当-1<a <0时,令f '(x ) =0, 解得x
. 当x ∈
) 时, f '(x ) >0;
x ∈
(,+∞) 时,f '(x ) <0, 故f (x ) 在(
)单调增加,在
(,
+∞)单调减少.
(Ⅱ) 不妨假设x 1≥x 2. 由于a ≤-2, 故f (x ) 在(0,+∞)单调减少. 所以f (x 1) -f (x 2) ≥4x 1-x 2等价于
f (x 1) -f (x 2) ≥4x 1-4x 2,
即f (x 2)+ 4x 2≥f (x 1)+ 4x 1.
令g (x )=f (x )+4x , 则
g '(x ) =
2
a +1x
+2ax +4
=
2ax +4x +a +1
x
2
.
于是g '(x ) ≤
-4x +4x -1
x
=
-(2x -1)
x
2
≤0.
从而g (x ) 在(0,+∞)单调减少,故g (x 1) ≤g (x 2) ,
即 f (x 1)+ 4x 1≤f (x 2)+ 4x 2,故对任意x 1, x 2∈(0,+∞) ,f (x 1) -f (x 2) ≥4x 1-x 2 例六(2010辽宁文)设函数f (x ) =e x -1-x -ax 2。
(1) 若a =0,求f (x ) 的单调区间; (2) 若当x ≥0时f (x ) ≥0,求a 的取值范围 解:(1)a =0时,f (x ) =e x -1-x ,f '(x ) =e x -1.
当x ∈(-∞, 0) 时,f '(x ) 0. 故f (x ) 在(-∞, 0) 单调减少,在(0,+∞) 单调增加
(II )f '(x ) =e x -1-2ax
x
由(I )知e ≥1+x ,当且仅当x =0时等号成立. 故
f '(x ) ≥x -2ax =(1-2a ) x ,
12
从而当1-2a ≥0,即a ≤时,f '(x ) ≥0 (x ≥0) ,而f (0)=0,
于是当x ≥0时,f (x ) ≥0.
由e >1+x (x ≠0) 可得e
f '(x )
x
x
-x
>1-x (x ≠0) . 从而当a >-1) =e
-x
x
x
12
时,
-x
(e -1)(e -2a ) ,
故当x ∈(0,ln 2a ) 时,f '(x )
综合得a 的取值范围为(-∞, ].
21
命题意图:本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范围问题,考查分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力.
练习:证明下列不等式成立: (1) 当x >0时,1+2x
π
2
(2) 当0x +
x
3
3
x
证明:(1)设f (x ) =1+2x -2e ,则f '(x ) =2-2e 2x =2(1-e 2x ) ,当x >0时,
2x >0, e
2x
>1, ∴f '(x ) =2(1-e 2x
)
∴函数f (x ) =1+2x -e 2x
在(0,+∞) 上是减函数 函数f (x ) =1+2x -e 2x
是连续函数
∴函数f (x ) =1+2x -e
2x
在[0,+∞) 上是减函数
所以1+2x -e 2x
2)设f (x ) =tan x -x -
x
3
(3
则f '(x ) =tan 2x -x 2=(tanx -x )(tanx +x )
x ∈(0,π
2
), ∴tan x >x >0
∴f (x ) >0,即f (x ) 在(0,
π
2
) 内递增
又f (0)=0,f (x ) 在[0,
π
2
) 是连续的
3
∴当x ∈(0,π
2
) 时,f (x ) >0,即tan x >x +
x
3
(二) 函数不等式恒成立,求参数取值范围
例一:当x ∈[-1, 2]时,x 3
-12
2
x -2x
答案:m >2
例二(2011. 全国新课标)设函数f (x ) =x (e x -1)-ax 2 (Ⅰ)若a=
12
,求f (x ) 的单调区间;
(Ⅱ)若当x ≥0时f (x ) ≥0,求a 的取值范围
(Ⅰ)a =
12
时,f (x ) =x (e x -1) -
12
x x x
x ,f '(x ) =e -1+xe -x =(e -1)(x +1) 。当
2
x ∈(-∞, -1)时f '(x ) >0; 当x ∈(-1, 0)时,f '(x ) 0。故
f (x ) 在(-∞, -1),(0, +∞)单调增加,在(-1,0)单调减少。
(Ⅱ)f (x ) =x (x a -1-a x ) 。令g (x ) =x a -1-a x ,则g '(x ) =e x -a 。若a ≤1,则当而g (0)=0,从而当x ≥0时g (x ) ≥0,即f (x ) x ∈(0, +∞)时,g '(x ) >0,g (x ) 为减函数,≥0.
若a >1,则当x ∈(0, ln a )时,g '(x )
综合得a 的取值范围为(-∞,1]
练习:已知f (x ) =ax 3+bx 2+cx 在区间[0,1]上是增函数,在区间(-∞, 0) , (1,+∞) 上是减函数,又f '() =
21
32
(1) 求f (x ) 的解析式。
(2) 若在区间[0,m ](m >0) 上恒有f (x )
322
例三:(2011. 湖北文)设函数f (,g x ) =x +2a x +b x +a (x ) =x -3x +2,其中x ∈R ,
12
a 、b 为常数,已知曲线y =f (x ) 与y =g (x ) 在点(2,0)处有相同的切线l 。 (I ) 求a 、b 的值,并写出切线l 的方程;
(II )若方程f (有三个互不相同的实根0、x 、x ,其中x 1
证的能力,以及函数与方程和特殊与一般的思想,(满分13分)
2解:(Ⅰ)f '(x ) =3x +4ax +b , g '(x ) =2x -3.
由于曲线y =f (x ) 与y =g (x ) 在点(2,0)处有相同的切线,
故有f (2)=g (2)=0, f '(2)=g '(2)=1.
由此得⎧8+8a +2b +a =0,
a =-2,
⎨⎧⎩
12+8a +b =1, 解得
⎨
⎩
b =5. 所以a =-2, b =5,切线l 的方程为x -y -2=0
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f (x ) =x 3-4x 2+5x -2,所以f (x ) +g (x ) =x 3-3x 2+2x . 依题意,方程x (x 2-3x +2-m ) =0有三个互不相同的实数0, x 1, x 2, 故x 1, x 2是方程x 2-3x +2-m =0的两相异的实根。 所以∆=9-4(2-m ) >0, 即m >-
14.
又对任意的x ∈[x 1, x 2],f (x ) +g (x )
特别地,取x =x 1时,f (x 1) +g (x 1) -mx 10, x 1x 2=2-m >0, 故00
则f (x ) +g (x ) -m x =x (x -x 1)(x -x 2) ≤0, 又f (x 1) +g (x 1) -m x 1=0 所以函数f (x ) +g (x ) -mx 在x ∈[x 1, x 2]的最大值为0。
于是当m
14, 0).
练习:设函数f (x ) =-
13
2
2
3
x +2ax -3a x +1, 0
(1) 求函数f (x ) 的极大值
(2) 若x ∈[1-a ,1+a ]时,恒有-a ≤f '(x ) ≤a 成立,试确定a 的范围。
答案:(1)极大值为f (3a ) =1,(2
)a ∈[13
16
例四:已知A 、B 、C 是直线l 上的三点,向量OA 、OB 、OC 满足
OA -[y +2f '(1)]∙OB +ln(x +1) ∙OC =0, 且函数y =f (x ) 在定义域内可导。
(1) 求函数y =f (x ) 的解析式 (2) 若x >0时,证明:f (x ) >(3) 若不等式
12
2
2
2
2x x +2
x ≤f (x ) +m -2bm -3对x ∈[-1,1]及b ∈[-1,1]恒成立,求实数m
的取值范围。
解:(1)f (x ) =ln(x +1)(x >-1)
2x x +2
() =f x () (2)令g x -,g '(x ) =
x
2
2
(x +1)(x +2)
单增g (x ) >g (0)=0,故f (x ) >
2
2
2
2x x +2
(3
12
)
2
原不
2
等
12
式
2
等价于
2
12
x -(f ) x ≤+m 2-b 3-m ,令
h (x ) =x -f (x ) =x -ln(1+x ), h (x ) 为偶函数,当x ∈[0,1]上是减函数。
所以当x ∈[0,1]时,h (x ) m ax =h (0)=0,所以m 2-2bm -3≥0对b ∈[-1,1]上恒成立。 令H (x ) =m 2-2bm -3,则由H (1)≥0, H (-1) ≥0,解得m ≤-3或m ≥3
(三) 比较函数的大小 例一:f (x ) =
则f (-4), f (x s i n x
4π3), f (-
5π4
) 按从小到大的顺序排列为
_______________
4π5π)
3
4
例二:若f (x ) =xe , g (x ) =(2-x ) e 答案:f (x ) >g (x )
-x x -2
,则当x >1时f (x ) ______g (x )
例三:(陕西文)设f (x ) =ln x . g (x ) =f (x ) +f '(x ) 。 (Ⅰ)求g (x ) 的单调区间和最小值; (Ⅱ)讨论g (x ) 与g () 的大小关系;
x 1
(Ⅲ)求a 的取值范围,使得g (a ) -g (x ) <解(Ⅰ)由题设知f (x ) =ln x , g (x ) =ln x +
∴g '(x ) =
x -1x
2
1a
对任意x >0成立。
1x
,
, 令g '(x ) =0得x =1,
当x ∈(0,1)时,g '(x ) <0,故(0,1)是g (x ) 的单调减区间。
当x ∈(1,+∞)时,g '(x ) >0,故(1,+∞)是g (x ) 的单调递增区间,因此,x =1是g (x ) 的唯一值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以最小值为g (1)=1. (II )g () =-ln x +x
x
1
1x
1
设h (x ) =g (x ) -g () =2ln x -x +
x
1
,则h '(x ) =-
(x -1) x
2
2
,
当x =1时,h (1)=0即g (x ) =g () ,
x
当x ∈(0,1)⋃(1,+∞) 时h '(1)=0, 因此,h (x ) 在(0,+∞) 内单调递减, 当0h (1)=0 即g (x ) >g ().
x 1
当x >1时, h (x )
1
即g (x )
x
(III )由(I )知g (x ) 的最小值为1,所以,
g (a ) -g (x )
1a
,对任意x >0,成立⇔g (a ) -1
1a
,
即ln a
(四) 构造函数。利用极值、单调性及函数的其他性质解决不等式问题
⎧2
x ≥2⎪,
例一:(2011.北京文) .已知函数f (x ) =⎨x 若关于x 的方程f (x )=k有两个不
⎪(x -1) 3, x
同的实根,则实数k 的取值范围是_______ 答案:(0,1)
例二 :(2011.福建文) 若a>0,b>0,且函数f (x )=4x 3-ax 2-2bx 在x=1处有极值,则ab
的最大值等于 A .2 答案:D
B .3
13
C .6 D .9
例三:(2011. 江西文)设f (x ) =x +m x +nx .
32
(1)如果g (x ) =f '(x ) -2x -3在x =-2处取得最小值-5,求f (x) 的解析式; (2)如果m +n
值;(注;区间(a ,b )的长度为b-a )
解:(1)由题得g (x ) =x 2+2(m -1) x +(n -3) =(x +m -1) 2+(n -3) -(m -1) 2 已知g (x ) 在x =-2处取得最小值-5
⎧m -1=2
所以⎨,即m =3, n =2 2
⎩(n -3) -(m -1) =-5
即得所要求的解析式为f (x ) =
13
x +3x +2x .
32
(2)因为f '(x ) =x 2+2m x +n , 且f (x ) 的单调递减区间的长度为正整数, 故f '(x ) =0一定有两个不同的根, 从而∆=4m -4n >0即m >n ,
不妨设为x 1, x 2, 则|x 2-x 1|= 故m ≥2时才可能有符合条件的m ,n 当m=2时,只有n=3符合要求 当m=3时,只有n=5符合要求
当m ≥4时,没有符合要求的n
综上所述,只有m=2,n=3或m=3,n=5满足上述要求。
例四:在半径为R 的圆上去、取一个圆心角为α(弧度)的扇形,卷成一个圆锥,问:α为多大时,圆锥的体积最大? 解
:
设
圆
锥
底
面
积
为
r (0
2
3
522
,高
3
为h 则
⎧h 2=R 2-r 2∴V =⎨
⎩2πr =
αR
V ' =
2R r -3r r =R
在区间[0,R ]上列表如下:
∴当r =
3
R 时,V 取得最大值,此时α=
2πR
3
R =
3
例五:已知函数f (x ) =|x -a |-ln x (a >0)
(1) 若a =1,求f (x ) 的单调区间及f (x ) 的最小值; (2) 若a >0,求f (x ) 的单调区间
ln 22
22
(3) 试比较+
ln 33
2
2
+⋅⋅⋅+
ln n n
2
2
与
(n -1)(2n +1) 2(n +1)
的大小(n ∈N *且n ≥2)并证
明你的结论。
解:(1)增区间为[1,+∞],减区间为(0,1),f (x ) min =f (1)=0 (2)当a ≥1,f (x ) 在区间[a , +∞) 是递增,当0当0
1x =x -1x
1x
, 当x >1时,f ' (x ) >0,当a ≤x
则f (x ) 在区间[1,+∞) 上是递增,f (x ) 在区间[a ,1) 上是递减,当0f '(x )=-1-
1x
,f (x ) 在区间(0,a ) 上是,而的递减f (x ) 在x =a 处连续,则f (x ) 在区间
[1,+∞]上是递增的,在区间(0,1)上是递增的。
综上:当a ≥1时,f (x ) 的递增区间是[a , +∞) ,递减区间为(0,a ) ,当0
ln 22
22
(3)+
ln 33
2
2
+⋅⋅⋅+
ln n n
2
2
(n -1)(2n +1) 2(n +1)
ln x x
1x
由(1)知,当a =1时,x >1时,有x -1-ln x >0,即
∴
ln 22
2
2
+
ln 33
2
2
+⋅⋅⋅++1n +1
13⨯4) =
ln n n
2
2
12
2
+1-
13
2
+⋅⋅⋅+1-
12-13
1n +
2
=n -1-(-14
12
2
+-
13
2
+⋅⋅⋅+)
1n
2
)
12⨯312-
+⋅⋅⋅+
1n (n +1)
]=n -1-(
13
+⋅⋅⋅+
1n
1n -1
(n -1)(2n +1) 2(n +1)
例六:已知函数f (x ) =x 3+3ax 2+b 有极值,且极大值点和极小值点分别为A 和B 。若线段AB (不含端点)与函数f (x ) 的图像交与(1,0) 。 (1) 求函数f (x ) 的解析式
(2) 设函数g (x ) =x 2+3x -k ,已知对任意的x ∈[-1,1],都有f (x ) ≤g (x ) ,求k 的
取值范围。
解:(1)f (x ) =x 3-3x 2+2
令H (x ) =-x 3+4x 2+3x -2, H '(x ) =-3x 2+8x +3 令H (x ) =0,解得x =-
H (-1) =0, H (-
13) =-
13
或x =3(舍去) , H (1)=4故H (x ) m in =-
2
6827
6827
,从而k的取值范围为(-∞, -
6827
)
例七:设a ≥0,f (x )=x -1-ln x +2a ln x (x >0).
(Ⅰ)令F (x )=xf '(x ),讨论F (x )在(0. +∞)内的单调性并求极值; (Ⅱ)求证:当x >1时,恒有x >ln2x -2a ln x +1.
本小题主要考查函数导数的概念与计算,利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法,考查综合运用有关知识解决问题的能力.本小题满分14分. (Ⅰ)解:根据求导法则有f '(x ) =1-
2ln x x
+2a x
,x >0,
故F (x ) =xf '(x ) =x -2ln x +2a ,x >0, 于是F '(x ) =1-列表如下:
2x =x -2x
x >0,
故知F (x ) 在(0,2) 内是减函数,在(2,+∞) 内是增函数,所以,在x =2处取得极小值
F (2)=2-2ln 2+2a .
(Ⅱ)证明:由a ≥0知,F (x ) 的极小值F (2)=2-2ln 2+2a >0. 于是由上表知,对一切x ∈(0,+∞) ,恒有F (x ) =xf '(x ) >0. 从而当x >0时,恒有f '(x ) >0,故f (x ) 在(0,+∞) 内单调增加. 所以当x >1时,f (x ) >f (1)=0,即x -1-ln 2x +2a ln x >0. 故当x >1时,恒有x >ln 2x -2a ln x +1.
例八:设函数f (x )=x +aIn (1+x )有两个极值点x 1、x 2,且x 1
2
(I )求a 的取值范围,并讨论f (x )的单调性; (II )证明:f (x 2)>
1-2In 2
w w w k 5u o m 4
解: (I )f '(x )=2x +
a 1+x
=
2x +2x +a
1+x
2
(x >-1)
12
令g (x ) =2x 2+2x +a ,其对称轴为x =-
。由题意知x 1、x 2是方程g (x ) =0的两个
,得0
12
均大于-1的不相等的实根,其充要条件为⎨
⎧∆=4-8a >0⎩g (-1) =a >0
⑴当x ∈(-1, x 1) 时,f '(x )>0, ∴f (x ) 在(-1, x 1) 内为增函数; ⑵当x ∈(x 1, x 2) 时,f '(x )0, ∴f (x ) 在(x 2, +∞) 内为增函数; (II )由(I )g (0)=a >0, ∴-
2
12
2
2
22
+2x 2)
∴f (x 2)=x 2+aln (1+x 2)=x 2-(2x 2+2x 2) ln (1+x 2)
设h (x )=x -(2x +2x ) ln (1+x )(x >-
2
2
12
) ,
则h '(x )=2x -2(2x +1) ln (1+x )-2x =-2(2x +1) ln (1+x ) ⑴当x ∈(-
12
, 0) 时,h '(x )>0, ∴h (x ) 在[-
12
, 0) 单调递增;
⑵当x ∈(0,+∞) 时,h '(x )
∴当x ∈(-
12
, 0) 时, h (x )>h (-
1-2In 2
4
12
) =
1-2ln 2
4
故f (x 2)=h (x 2) >w.w.w .k.s.5.u.c.o.m
.
w.w. w .k . s. 5.u . c. o .m