判断以下符号串是不是公式
判断以下符号串是不是公式:
(P →(Q ←R )) (⌝Q ∨(P →⌝(P ∧(Q R ))))
解:对于一个不包含联结词的符号串,我们很容易判断它是否是公式,
对于一个包含联结词符号串,我们使用以下的办法:
(1)找出主联结词:
所谓主联结词指的是一个公式最后形成所使用的联结词(注意这个联结词的使用
是符合规则的)。
举例:G ∧H ,G ∨H ,﹁(G ∧H )的主联结词分别是∧,∨,﹁。
假如上述符号串是公式,那么它的主联结词是。
如果不能找到符合规则的主联结词,说明这个符号串不是公式。如P ﹁Q.
(2)将主联结词剥离掉,再找出主联结词剥离后形成的一个或两个新符号串的主联结词。
同上,我们也是先假定这(些)新符号串是公式,再去找它(们)的主联结词。相应地,我们去掉新符号串最外层的括号(如果有的话)。
如此循环往复,直到所有的形成的新符号串是原子,这说明这个符号串是公式。 如果其中某个形成的新符号串即不是原子,也无法找到合乎规则的联
结词,那么这说明整个符号串不是公式。
(P →(Q ←R )) (⌝Q ∨(P →⌝(P ∧(Q R ) ) ) )
P →(Q ←R ) ⌝Q ∨(P →⌝(P ∧(Q R ) ) )
P Q R ⌝Q P →⌝(P ∧(Q R ))
Q R Q P ⌝(P ∧(Q R ))
P ∧(Q R )
P Q R
Q
注:五种逻辑联结词的优先级如下:﹁,(∧,∨) ,→,
所以﹁P → Q ∧P Q 表示 (﹁P →( Q∧P)) Q
定理1:任给可数无穷多个集合A 0,A 1, …,A n , …,其中每一个A (i i 是自然数)也是可数无穷的。则n
证明:我们要证明中n
A 0:a 00,a 01,a 02,a 03, …,a 0m , …
A 1:a 10,a 11,a 12,a 13, …,a 1m , …
A 2:a 20,a 21,a 22,a 23, …,a 3m , …
…… ……
A n :a n0,a n1,a n2,a n3, …,a nm , …
…… ……
现在我们可以可以用斜线法将n
a 00→
a 01→ a10→
a 02→ a11→ a20→
a 03→ a12→ a21→ a30→ ⋃⋃⋃
a 04→ a13→ a22→ a31→ a40→
……
n
⋃函数f :n
f(n,m)=((n+m)+3n+m)/2,其中n 和m 是a nm 的下标。易证f 是双射。
定理2:令L 是可数无穷的,且令A 是L 中符号构成的所有有穷串的集合。则A 是可数无穷的。
证明:任给1≤n
显然A n 是可数无穷的。所以,我们可以枚举的A n 元素如下:
A n :a n0,a n1,a n2,a n3, …,a nm , …
令A 0={},则A 就是⋃A n ,所以,我们n
将它们排列如下:
A 0:
A 1:a 10,a 11,a 12,a 13, …,a 1m , …
A 2:a 20,a 21,a 22,a 23, …,a 3m , …
…… ……
A n :a n0,a n1,a n2,a n3, …,a nm , …
…… ……
显然对A 1, …,A n , …中的元素我们可以利用上述给出的枚举法。于是我们可以加上A 0中的元素“”,根据前面一样的方法,可证明A 是可数无穷的。