数列求和裂项法_错位相减法_分组求和法
数列求和的三种特殊求法
例1、已知数列{an }的通项公式为a n =2n -1+3n，求这个数列的前n 项和
例2、求下列数列的前n 项和： （1）1
1111111，2，3，……n +，…… （2）1，，…………
481+21+2+321+2+3+⋯⋯+n 2
（3）5，55，555．……，55……5，……（4）0.5,0.55,0.555，……，0.55……5，……
例3、已知数列的的通项，求数列的前n 项和： （1） a n =
11
（2）b n =
n (n +1) n (n +2)
(2n ) 22242
++……+（3）{an }满足a n =，求S n （4）求和：S n =
(2n -1)(2n +1) 1⨯33⨯5+1
（5）求和S n =
例4、求数列a , 2a , 3a , , na , （a 为常数）的前n 项和S n 。
2
3
n
111
++⋯⋯+
1⨯2⨯32⨯3⨯4n (n +1)(n +2)
练习：求和：
1352n -1，2，3，……，…… n 2222
知识演练：
1. （2009年广东第4题）已知等比数列{a n }满足a n >0, n =1, 2, , 且a 5⋅a 2n -5=2(n ≥3) ，则当n ≥1时，
2n
log 2a 1+log 2a 1+ +log 2a 2n -1=
A ．n (2n -1)
B ．(n +1) 2 C ．n 2
D ．(n -1) 2
2. （2010年山东第18题）已知等差数列{a n }满足：a 3=7，a 5+a 7=26，{a n }的前n 项和为S n ． （Ⅰ）求a n 及S n ； （Ⅱ）令b n =
1*
(n N ) ，求数列{b n }的前n 项和T n ． ∈2
a n -1
3. （2005年湖北第19题）设数列{a n }的前n 项和为S n =2n2，{b n }为等比数列，且a 1=b 1, b 2(a 2-a 1) =b 1. （Ⅰ）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （Ⅱ）设c n =
a n
，求数列{c n }的前n 项和T b n
2013山东（20）（本小题满分12分）
2013江西17. （本小题满分12分）
2
-(n 2+n -1) s n -(n 2+n ) =0 正项数列{an }的前项和{an }满足：s n
（1）求数列{an }的通项公式a n ； （2）令b n =
n +15*
，数列{b}的前项和为。证明：对于任意的，都有 T n ∈N T
(n +2) a 64
2013全国大纲17．（本小题满分10分）
等差数列{a n }的前n 项和为S n . 已知S 3=a 22, 且S 1, S 2, S 4成等比数列，求{a n }的通项式.
2013四川16．(本小题满分12分) 在等差数列{a n }中，a 2-a 1=8，且a 4为a 2和a 3的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和．
2013天津(19) (本小题满分14分)
已知首项为的等比数列{a n }不是递减数列, 其前n 项和为S n (n ∈N *), 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.
(Ⅰ) 求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ) 设T n =S n -
1
(n ∈N *) , 求数列{T n }的最大项的值与最小项的值. S n
32
2013湖北18、已知等比数列{a n }满足：a 2-a 3=10，a 1a 2a 3=125。 （I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）是否存在正整数m ，使得
111
++ +≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由。
a 1a 2a m
2013江苏19．（本小题满分16分）
设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0) ，S n 是其前n 项和．记b n =
n ∈N *，其中c 为实数．
nS n
， n 2+c
（1）若c =0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk =n 2S k （k , n ∈N *）； （2）若{b n }是等差数列，证明：c =0．
2013浙江18．（本小题满分14分）在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1=10，且a 1，2a 2+2，5a 3
成等比数列
（Ⅰ）求d ，a n ；
（Ⅱ）若d