专题一 椭圆的定义及标准方程
专题一 椭圆的定义及标准方程
知识点一:椭圆的定义
平面内一个动点P 到两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(PF 1+PF 2=2a >F 1F 2) ,这个动点P 的轨迹叫椭圆. 这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
注意:若(PF 1+PF 2=F 1F 2) ,则动点P 的轨迹为线段F 1F 2;
若(PF 1+PF 2
知识点二:椭圆的标准方程
x 2y 2
2221.当焦点在x 轴上时,椭圆的标准方程:2+2=1(a >b >0) ,其中c =a -b a b
y 2x 2
2222.当焦点在y 轴上时,椭圆的标准方程:2+2=1(a >b >0) ,其中c =a -b . a b
注意:1.只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程;
2.在椭圆的两种标准方程中,都有(a >b >0) 和c =a -b ;
3.椭圆的焦点总在长轴上.
当焦点在x 轴上时,椭圆的焦点坐标为(c , 0) ,(-c , 0) ;
当焦点在y 轴上时,椭圆的焦点坐标为(0, c ) ,(0, -c ) 222
x 2y 2
+=1 或者mx 2+ny 2=1. 4. 种标准方程可用一般形式表示:m n
题型一、椭圆的定义
1、方程x -2)2+y 2+x +2)2+y 2=10化简的结果是2、若∆ABC 的两个顶点A (-4,0), B (4,0),∆ABC 的周长为18,则顶点C 的轨迹方程是
x 2y 2
+=1上的点M 到焦点F 1的距离为2,N 为MF 1的中点,则ON (O 为坐3、椭圆259
标原点)的值为( )
A .4 B .2 C .8 D .3 2
x 2y 2
+=1两焦点为F 1、F 2,A (3,1)点P 在椭圆上,则PF 4、椭圆1+PA 的最大值为2516
_____,最小值为 ___
题型二、椭圆的标准方程
5、方程Ax 2+By 2=C 表示椭圆的条件是
(A )A , B 同号且A ≠B (B )A , B 同号且C 与异号
(C )A , B , C 同号且A ≠B (D )不可能表示椭圆
x 2y 2
+=1, 6、若方程5-k k -3
(1)表示圆,则实数k 的取值是 .
(2)表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数k 的取值范围是 .
(3)表示焦点在y 型上的椭圆,则实数k 的取值范围是 . (4)表示椭圆,则实数k 的取值范围是 .
x 2y 2
+=1的焦距为2,则m 7、椭圆4m
8、已知椭圆mx +3y -6m =0的一个焦点为(0,2)求m 的值.
22
9、已知椭圆的中心在原点,且经过点P (3,0),a =3b ,求椭圆的标准方程.
10、求与椭圆4x 2+9y 2=36共焦点,且过点(3,-2) 的椭圆方程。
11、已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P 到两焦点的距离分别为
过P 点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程.
12、中心在原点,对称轴为坐标轴,且经过A (, -2) 和B (-23, 1) 两点的椭圆方程.
5313、若椭圆的两焦点为(-2,0)和(2,0),且椭圆过点(, -) ,求椭圆方程. 224525和,33
题型三、焦点三角形
x 2y 2
14、已知椭圆方程2+2=1(a >b >0),长轴端点为A 1,A 2,焦点为F 1,F 2,P 是椭a b
圆上一点,∠A 1PA 2=θ,∠F 1PF 2=α.求:∆F 1PF 2的面积(用a 、b 、α表示).
x 2y 2
+=1的焦点为F 1、F 2,AB 是椭圆过焦点F 1的弦,15、椭圆则∆ABF 2的周长是。 925
16、设F 1,F 2为椭圆16x 2+25y 2=400的焦点,P 为椭圆上的任一点,则∆PF 1F 2的周长是多少?∆PF 1F 2的面积的最大值是多少?
x 2y 2
+=1上的一点,F 1, F 2是焦点,若∠F 1PF 2是直角,则∆F 1PF 2的17、设点P 是椭圆2516
面积为 。
18、已知椭圆9x 2+16y 2=144,焦点为F 1、F 2,P 是椭圆上一点. 若∠F 1PF 2=60︒, 求∆PF 1F 2的面积.
题型四、求轨迹方程
19、∆ABC 的底边BC =16,AC 和AB 两边上中线长之和为30,求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹.
20、已知动圆P 过定点A (-3,0),且在定圆B :(x -3)+y 2=64的内部与其相内切,求动2
圆圆心P 的轨迹方程.
21、已知圆C :(x +1) 2+y 2=25及点A (1, 0), Q 为圆上一点,AQ 的垂直平分线交CQ 于M ,求点M 的轨迹方程.
22、已知圆M :(x +1) +y =1, 圆N :(x -1) +y =9, 动圆P 与圆M 外切并且与圆N
内切, 圆心P 的轨迹为曲线C . 求C 的方程;
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