初三数学校本课程教案-找规律2 归纳与发现

初三数学校本课程2 归纳与发现

归纳的方法是认识事物内在联系和规律性的一种重要思考方法，也是数学中发现命题与发现解题思路的一种重要手段．这里的归纳指的是常用的经验归纳，也就是在求解数学问题时，首先从简单的特殊情况的观察入手，取得一些局部的经验结果，然后以这些经验作基础，分析概括这些经验的共同特征，从而发现解题的一般途径或新的命题的思考方法．下面举几个例题，以见一般．

例1 如图2-99，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每边有两个点(相邻两边公用一个点) ；第三层每边有三个点，„这个六边形点阵共有n 层，试问第n 层有多少个点？这个点阵共有多少个点？

分析与解 我们来观察点阵中各层点数的规律，然后归纳出点阵共有的点数． 第一层有点数：1；

第二层有点数：1×6；

第三层有点数：2×6；

第四层有点数：3×6；

„„

第n 层有点数：(n-1)×6.

因此，这个点阵的第n 层有点(n-1)×6个．n 层共有点数为

例2 在平面上有过同一点P ，并且半径相等的n 个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆除P 点外无其他公共点，那么试问：

(1)这n 个圆把平面划分成多少个平面区域？

(2)这n 个圆共有多少个交点？

分析与解 (1)在图2-100中，设以P 点为公共点的圆有1，2，3，4，5个(取这n 个特定的圆) ，观察平面被它们所分割成的平面区域有多少个？为此，我们列出表18．1．

由表18．1易知

S 2-S 1=2，

S 3-S 2＝3，

S 4-S 3＝4，

S 5-S 4＝5，

„„

由此，不难推测

S n -S n-1＝n ．

把上面(n-1)个等式左、右两边分别相加，就得到

S n -S 1＝2＋3＋4＋„＋n ，

因为S 1=2，所以

面对S n -S n-1=n，即S n =Sn-1＋n 的正确性略作说明． 下

因为S n-1为n-1个圆把平面划分的区域数，当再加上一个圆，即当n 个圆过定点P 时，这个加上去的圆必与前n-1个圆相交，所以这个圆就被前n-1个圆分成n 部分，加在S n-1上，所以有S n =Sn-1＋n ．

(2)与(1)一样，同样用观察、归纳、发现的方法来解决．为此，可列出表18．2．

由表18．2容易发现

a 1＝1，

a 2-a 1＝1，

a 3-a 2＝2，

a 4-a 3＝3，

a 5-a 4＝4，

„„

a n-1-a n-2＝n-2，

a n -a n-1＝n-1．

n 个式子相加

注意 请读者说明a n =an-1＋(n-1)的正确性．

例3 设a ，b ，c 表示三角形三边的长，它们都是自然数，其中a ≤b ≤c ，如果 b=n(n是自然数) ，试问这样的三角形有多少个？ 分析与解 我们先来研究一些特殊情况：

(1)设b=n=1，这时b=1，因为a ≤b ≤c ，所以a=1，c 可取1，2，3，„．若c=1，则得到一个三边都为1的等边三角形；若c ≥2，由于a ＋b=2，那么a ＋b 不大于第三边c ，这时不可能由a ，b ，c 构成三角形，可见，当b=n=1时，满足条件的三角形只有一个．

(2)设b=n=2，类似地可以列举各种情况如表18．3．

这时满足条件的三角形总数为：1+2=3．

(3)设b=n=3，类似地可得表18．4．

这时满足条件的三角形总数为：1＋2＋3=6．

通过上面这些特例不难发现，当b=n时，满足条件的三角形总数为：

这个猜想是正确的．因为当b=n时，a 可取n 个值(1，2，3，„，n) ，对应于a 的每个值，不妨设a=k(1≤k ≤n) ．由于b ≤c ＜a ＋b ，即n ≤c ＜n ＋k ，所以c 可能取的值恰好有k 个(n，n ＋1，n ＋2，„，n ＋k-1) ．所以，当b=n时，满足条件的三角形总数为：

例4 设1×2×3ׄ×n 缩写为n ！(称作n 的阶乘) ，试化简：1！×1＋2！×2＋3！×3＋„＋n ！×n.

分析与解 先观察特殊情况：

(1)当n=1时，原式=1=(1＋1) ！-1；

(2)当n=2时，原式=5=(2＋1) ！-1；

(3)当n=3时，原式=23=(3＋1) ！-1；

(4)当n=4时，原式=119=(4＋1) ！-1．

由此做出一般归纳猜想：原式=(n+1)！-1.

下面我们证明这个猜想的正确性．

1+原式=1+(1！×1＋2！×2＋3！×3+„+n！×n)

=1！×2＋2！×2＋3！×3+„+n！×n

=2！+2！×2＋3！×3＋„+n！×n

=2！×3+3！×3+„＋n ！×n

=3！+3！×3+„+n！×n ＝„

=n！+n！×n=(n＋1) ！，

所以原式=(n+1)！-1.

例5 设x ＞0，试比较代数式x 3和x 2+x+2的值的大小．

分析与解 本题直接观察，不好做出归纳猜想，因此可设x 等于某些特殊值，代入两式中做试验比较，或许能启发我们发现解题思路．为此，设x=0，显然有

x 3＜x 2+x+2．①

设x=10，则有x 3=1000，x 2+x＋2=112，所以

x 3＞x 2+x+2．②

设x=100，则有x 3＞x 2+x+2．

观察、比较①，②两式的条件和结论，可以发现：当x 值较小时，x 3＜x 2+x+2；当x 值较大时，x 3＞x 2+x+2．

那么自然会想到：当x=？时，x 3=x2+x+2呢？如果这个方程得解，则它很可能就是本题得解的“临界点”．为此，设x 3=x2＋x ＋2，则

x 3-x 2-x-2＝0，

(x3-x 2-2x) ＋(x-2)=0，

(x-2)(x2+x+1)=0．

因为x ＞0，所以x 2+x+1＞0，所以x-2=0，所以x=2．这样

(1)当x=2时，x 3=x2+x+2；

(2)当0＜x ＜2时，因为

x-2＜0，x 2+x+2＞0，

所以 (x-2)(x2＋x+2)＜0，

即

x 3-(x2＋x+2)＜0，

所以 x 3＜x 2＋x ＋2.

(3)当x ＞2时，因为

x-2＞0，x 2+x+2＞0，

所以 (x-2)(x2+x+2)＞0，

即

x 3-(x2＋x ＋2) ＞0，

所以 x 3＞x 2＋x ＋2．

综合归纳(1)，(2)，(3)，就得到本题的解答．

练习七

1．试证明例7中：

2．平面上有n 条直线，其中没有两条直线互相平行(即每两条直线都相交) ，也没有三条或三条以上的直线通过同一点．试求：

(1)这n 条直线共有多少个交点？

(2)这n 条直线把平面分割为多少块区域？

然后做出证明.)

3．求适合x 5=656356768的整数x ．

(提示：显然x 不易直接求出，但可注意其取值范围：656356768＜605，所以502＜x ＜602．)

505＜