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振动力学课后习题答案

09-16

2.11 图T 2-11所示是一个倒置的摆。摆球质量为m，刚杆质量可忽略，每个弹簧的刚

k2

度为

。

（1）求倒摆作微幅振动时的固有频率；

（2）摆球质量m为0.9 kg时，测得频率(fn)为1.5 Hz，m为1.8 kg时，测得频率为0.75

Hz，问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态？

零平衡位置

θ

图 T 2-1

答案图 T 2-11(2)

答案图 T 2-11(1)

解：（1）

T=

1

1222

Iθ =mlθ 22

U=2⋅

12

1⎛1⎫2

k⎪(θa)-mgl(1-cosθ2⎝2⎭

2

2

)

=kaθ-

12

mglθ

2

=

12

(ka

2

-mglθ

)

2

利用Tmax=Umax，θ max=ωnθmax

ka

2

ωn=

-mgl

2

ml

=

kaml

22

-

gl

=

⎫g⎛ka

-1⎪ ⎪l⎝mgl⎭

2

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

（2）

若取下面为平衡位置，求解如下：

T=

1

1222

Iθ =mlθ 22

2

U=2⋅

12

1⎛1⎫122

kaθ k⎪(θa)+mglcosθ=

2⎝2⎭2

2

2

⎛

+mgl 1-2sin

⎝

2

θ⎫

⎪2⎭

=kaθ+mgl-

12

mglθ

2

=

12

(ka

2

-mglθ

)

2

+mgl

ddt

(T

+U

)=

2 +2θ(ka0，2mlθ θ

2

-mglθ =0

)

2 mlθ+ka

(

2

-mglθ=0

2

)

ωn=

ka-mgl

2

ml


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