圆锥曲线轨迹方程大全

轨迹问题

类型一：定义法

类型二：直接法 类型三：相关点法 类型四:参数法

类型一：定义法

方法讲解：运用有关曲线的定义求轨迹方程．圆锥曲线的基本定义解题 注意：求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性.

【范例1-1】【12年九江一中入学考试】F 1(-1, 0) , F 2(1,0) ，F 是PF 1与PF 2的等差1F 2

中项，则动点P 的轨迹方程（ ）

22

A．x +y =1

169

2222

x y

B．x +y =1 C ．x +y =1 D ．+=1

34431612

22

【变式1-1】【10莲塘一中期末】点M 到点F （2，0）的距离比它到直线x =-3的距离小1，

求点M 满足的方程。

【范例1-2】【10莲塘一中期末】已知一个动圆P 与定圆C ：x +y +4y -32=0内切且过定圆内的一个定点A(0,2),则动圆圆心P 的轨迹方程是 。

【变式1-2】【11年湖南师大附中期中考】已知定圆C 1:(x +2) +y =49，定圆

2

2

22

C 2:(x -2) 2+y 2=1，动圆M 与圆C 1内切且和圆C 2外切，则动圆圆心M 的轨迹方程

为 。

【范例1-3】如图，已知圆O 的方程为x 2+y2=100,点A 的坐标为(-6,0),M为圆O 上的任意一点,AM 的垂直平分线交OM 于点P, 则点P 的轨迹方程（ ）

x 2y 2x 2y 2

A. + =1错误！未指定书签。 B. － =1 25162516(x+3)2y 2C. + =1

2516

【变式1-3】在△ABC 中，BC 24，AC ，AB 上的两条中线长度之和为39，求△ABC 的重心的轨迹方程．

(x+3)2y 2D. - =1

2516

类型二：直接法

方法讲解：直接根据等量关系式建立方程

【范例2-1】【10年吉安一中第三次月考】已知A(-1,0).B(1,0)，动点P(x,y)满足k AP . k BP =4, 则动点的轨迹方程为 。

【变式2-1】【2006湖北卷4】设过点P (x , y ) 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交

于A , B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP =2PA 且OQ AB =1，

则点P 的轨迹方程是（ ）

323

y =1(x >0, y >0) B ．3x 2-y 2=1(x >0, y >0) 2233

C ．x 2-3y 2=1(x >0, y >0) D ．x 2+3y 2=1(x >0, y >0)

22

A ．3x 2+

【范例2-2】设F （1，0），M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且M N =2M P ，PM ⊥PF . 当点P 在y 轴上运动时，求N 点的轨迹C 的方程.

【变式2-2】【山东省济宁市2011年3月高三第一次模拟理科】

--—→

——→

——→

——→

y F (a ,0)(a >0) 已知点，动点M . P 分别在x . 轴上运动，满足PM ⋅PF =0，N 为动点，

并且满足PN +PM =0．

（1）求点N 的轨迹C 的方程；

【范例2-3】【2009山东卷文】设m ∈R , 在平面直角坐标系中, 已知向量a =(mx , y +1) , 向

量b =(x , y -1) , a ⊥b , 动点M (x , y ) 的轨迹为E.

（1）求轨迹E 的方程, 并说明该方程所表示曲线的形状;

2x l 【变式2-3】【江西省新余市2011年高三第二次模拟理科】已知直线与抛物线=4y 相

切于点P （2，1），且与x 轴交于点A ，定点B 的坐标为（2，0）. (1)若动点M

满足

AB ⋅BM AM =0

，求点M 的轨迹C 的方程；

类型三：相关点法

方法讲解：动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题

【范例3-1】【11年衡阳八中期中】若点P 在曲线2x -y =0上移动，则点A （0，-1）与点P 连线中点M 的轨迹方程是（ ）

A. y =2x ； B. y =8x ； C. 2y =8x -1； D. 2y =8x +1；

【变式3-1】【10年湖南衡阳八中期末】已知圆C 的方程为：x +y =9，过圆C 上一动

2

2

2

2

2

2

2

点M 作平行于y 轴的直线m ，设m 与x 轴的交点为N ，若向量OQ =OM +ON ，则动点Q

的轨迹方程是 。

x 2y 2【范例3-2】设A 1.A 2是椭圆=1的长轴两个端点，P 1.P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，+

94

则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( ) x 2y 2A. +=1

94

y 2x 2x 2y 2y 2x 2

B.+=1 C.-=1 D. -=1

949494

2

x 2y

【变式3-2】、如图所示, 垂直于x 轴的直线交直线交双曲线－2 =1 于MN 两点，A 1，

a b A 2为双曲线的顶点，求直线A 1M 与A 2N 的交点P 的轨迹方程，并指出轨迹形状

.

【范例3-3】【10年湖南师大附中期中】已知双曲线的中心在原点，焦点F 1, F 2在坐标轴上，渐近线方程为y =±x

，且过点(4,-. （Ⅰ）求此双曲线的方程；

（Ⅱ）在该双曲线上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当P 在双曲线上运

动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？

6x 2y 2

【变式3-3】【11安福中学第一次月考】已知椭圆2+2=1(a >b >0) 的离心率e =，

3a b

过点A （0，－b ）和B （a ，0）的直线与原点的距离为

3

， 2

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点C 为（Ⅰ）中所得椭圆上的动点，求线段BC 的中点P 的轨迹方程。

类型四、参数法

方法讲解：

如果不易直接找出动点的坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把x ，y 联系起来

注意：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变.

【范例4】已知线段AA '=2a ，直线l 垂直平分AA '于O ，在l 上取两点P ，P '，使有向线段 OP ，OP '满足OP ·OP '=4，求直线AP 与A 'P '的交点M 的轨迹方程．

【变式4】过抛物线y 2=2px(p>0)的顶点O 作两条互相垂直的弦OA,OB, 再以OA,OB 为邻边作矩形AOBM, 如图, 求点M 的轨迹方程

.

【课后作业】

11, 0) ，直线l: x=－，点B 是l 上的动点，44

1. 【10年赣州十一县市期中联考】已知点F(

若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线相交于点M ，则点M 的轨迹是（ ） A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线

22

2. 【11年信丰中学第二次月考】设圆C 与圆x ＋(y－3) ＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为（ ）

A ．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆

3. 【11白鹭洲中学期中】已知定点F 1(-2,0), F 2(2,0)，N 是圆O :x +y =1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C．抛物线

D ．圆

2

2

x 2y 24. 【11年抚州地区期末考试】动点P 为椭圆2+2=1(a >b >0) 上异于顶点(±a ,0) 的一

a b

点，F 1，F 2为椭圆的左右两个焦点，动圆C 与线段F 1P ，F 1F 2的延长线及线段PF 2相切，则圆

心C 的轨迹为除去坐标轴上的点是（ ）

A ．抛物线 B．一条直线 C． 双曲线右支 D．椭圆

22x +y -4x -60=0内切且与圆B ：5. 【10年遂川中学. 永丰中学12月月考】与圆A ：

x 2+y 2+4x =0外切的动圆圆心的轨迹为（ ）

A ．圆 B ．线段 C．椭圆 D．双曲线

6. 【11安福中学第一次月考】一动圆过定点A (-, 0) 且与定圆B ：(x -2) +y =12相切，求动圆圆心M 的轨迹方程；

7. 【2009滨州一模】已知点M (-3,0) ，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M . N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为（ ）

2

2

y 2y 2y 222

=1(x >1) B ． x -=1(x 0) A ．x -888

2

y 2

=1(x >1) D ．x -10

2

x 2y 2

0)的一点，F 1，F 2为椭8. 动点P 为椭圆2+2=1(a >b >0)上异于椭圆顶点(±a ，

a b F 1F 2的延长线及线段PF 2相切，则圆心C 的轨迹为除圆的两个焦点，动圆C 与线段F 1P ，

去坐标轴上的点的（ ） A ．一条直线

B．双曲线右支 C．抛物线 D ．椭圆

9. 【11年南昌二中第二次月考】已知点A(-1,0),B(1,0),M是平面上的一动点，过M 作直线

l ：x=4的垂线，垂足为N ，且|MN|=2|MB|.求M 点的轨迹C 的方程；

10. 【12年德兴一中第一次月考】已知两定点A (-2,0), B (1,0)，动点P 满足PA =2PB 。求动点P 的轨迹方程；

11. 【11年衡阳八中期中】若点P 在曲线2x -y =0上移动，则点A （0，-1）与点P 连线中点M 的轨迹方程是（ ）

A. y =2x ； B. y =8x ； C. 2y =8x -1； D. 2y =8x +1； 12. 【10年湖南衡阳八中期末】已知圆C 的方程为：x +y =9，过圆C 上一动点

2

2

2

2

2

2

2

M 作平行于y 轴的直线m ，设m 与x 轴的交点为N ，若向量OQ =OM +ON ，则动点Q 的

轨迹方程是 。

x 2y 2

13. 双曲线2-2=1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，

a b

A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.

x 2y 2

14. 已知双曲线2-2=1(m＞0,n ＞0) 的顶点为A 1.A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点

m n

P.Q. 求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程；

y 2x 2

=1的焦点分别为F 1, F 2离心率为2 15. 【11年湖南师大附中期中】设双曲线2-

a 3

（Ⅰ）求此双曲线渐近线l 1, l 2的方程；

（Ⅱ）若A , B 分别为l 1, l 2上的动点，且2AB =5F 1F 2, 求线段AB 中点M 的轨迹方程并说明轨迹是什么曲线．

16. 【11年平川中学期中考】如图，过抛物线y =2px （p ＞0）的顶点作两条互相垂直的弦OA.OB 。

⑴设OA 的斜率为k ，试用k 表示点A.B 的坐标； ⑵求弦AB 中点M 的轨迹方程。

2

x 2y 2

+=1上，MP / 垂直于x 轴，垂足为P /, 17. 【10年湖南邵阳石齐期中】已知点M 在椭圆

369

并且M 为线段PP 的中点，求P 点的轨迹方程。

/

x 2y 2

+=1上，MP / 垂直于x 轴，垂足为P /, 18. 【10年湖南邵阳石齐期中】已知点M 在椭圆

369

并且M 为线段PP 的中点，求P 点的轨迹方程。

/

19. 【11年上高二中第五次月考】已知P 为抛物线y =x 上的动点，定点A （a ，0）关于P 点的对称点是Q 。

（1）求点Q 的轨迹方程；

20. 【10莲塘一中期末】如图，已知点F (1，0) ，直线l :x =-1，P 为平面上的动点，过P 作

2

直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP . QF =FP . FQ 。

（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；