[数列]单元测试题(含答案)
《数列》单元练习试题
一、选择题
1．已知数列{a n }的通项公式a n =n 2-3n -4（n ∈N *），则a 4等于（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）0
2．一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么（ ）
（A ）它的首项是-2，公差是3 （B ）它的首项是2，公差是-3
（C ）它的首项是-3，公差是2 （D ）它的首项是3，公差是-2
3．设等比数列{a n }的公比q =2，前n 项和为S n ，则
（A ）2 （B ）4 （C ）S 4=（ ） a 21517 （D ） 22
4．设数列{a n }是等差数列，且a 2=-6，a 8=6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则（ ）
（A ）S 4
5．已知数列{a n }满足a 1=0，a n +1=a n -3
3a n +1（n ∈N *），则a 20=（ ）
3 2（A ）0 （B ）- （C ） （D ）
6．等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ）
（A ）130 （B ）170 （C ）210 （D ）260
7．已知a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等比数列，公比q ≠1，则（ ）
（A ）a 1+a 8>a 4+a 5 （B ）a 1+a 8
（C ）a 1+a 8=a 4+a 5 （D ）a 1+a 8和a 4+a 5的大小关系不能由已知条件确定
8．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数
列有（ ）
（A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项
9．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q =2，且a 1⋅a 2⋅a 3⋅ ⋅a 30=230，那么
a 3⋅a 6⋅a 9⋅ ⋅a 30等于（ ）
（A ）210 （B ）220 （C ）216 （D ）215
10．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
（A ）289 （B ）1024 （C ）1225 （D ）1378
二、填空题
11．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1+a 3+a 9的值是 ． a 2+a 4+a 10
12．等比数列{a n }的公比q >0．已知a 2=1，a n +2+a n +1=6a n ，则{a n }的前4项和S 4=．
13．在通常情况下，从地面到10km 高空，高度每增加1km ，气温就下降某一固定值．如果
1km 高度的气温是8.5℃，5km 高度的气温是－17.5℃，那么3km 高度的气温是
14．设a 1=2，a n +1=a +22，b n =n ，n ∈N *，则数列{b n }的通项公式b n =． a n +1a n -1
15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8-S 4，S 12-S 8，S 16-S 12成等差数列．类比
以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，，，
三、解答题
16．已知{a n }是一个等差数列，且a 2=1，a 5=-5．
（Ⅰ）求{a n }的通项a n ；
（Ⅱ）求{a n }的前n 项和S n 的最大值．
T 16成等比数列． T 12
17．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列．
（Ⅰ）求{a n }的公比q ；
（Ⅱ）若a 1-a 3=3，求S n ．
18．甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动．甲第1分钟走2m ，以后每分钟比
前1分钟多走1m ，乙每分钟走5m ．
（Ⅰ）甲、乙开始运动后几分钟相遇？
（Ⅱ）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
n 19．设数列{a n }满足a 1+3a 2+32a 3+ +3n -1a n =，n ∈N *． 3
（Ⅰ）求数列{a n }的通项； （Ⅱ）设b n =
n ，求数列{b n }的前n 项和S n ． a n
20．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=1，S n +1=4a n +2．
（Ⅰ）设b n =a n +1-2a n ，证明数列{b n }是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a n }的通项公式．
21．已知数列{a n }中，a 1=2，a 2=3，其前n 项和S n 满足S n +1+S n -1=2S n +1（n ≥2，n ∈N *）．
（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设b n =4n +(-1) n -1λ⋅2a n （λ为非零整数，n ∈N *），试确定λ的值，使得对任意n ∈N *，都有b n +1>b n 成立．
《数列》单元测试题 参考答案
一、选择题
1．D 2．A 3．C 4．B 5．B
6．C 7．A 8．A 9．B 10．C
二、填空题
11．T T 1315n +1 12． 13．－4.5 14．2 15．8，12 162T 8T 4
三、解答题
16．（Ⅰ）设{a n }的公差为d ，则⎨⎧a 1+d =1, ⎧a 1=3, 解得⎨ ⎩d =-2. ⎩a 1+4d =-5.
∴a n =3+(n -1) ⨯(-2) =-2n +5． （Ⅱ）S n =3n +n (n -1) ⨯(-2) =-n 2+4n =-(n -2) 2+4． 2
∴当n =2时，S n 取得最大值4．
17．（Ⅰ）依题意，有S 1+S 2=2S 3，
∴a 1+(a 1+a 1q ) =2(a 1+a 1q +a 1q 2) ，
由于a 1≠0，故2q 2+q =0，
1． 2
12（Ⅱ）由已知，得a 1-a 1(-) =3，故a 1=4， 2
14⨯[1-(-) n ]81从而S n ==[1-(-) n ]． 1321-(-) 2又q ≠0，从而q =-
18．（Ⅰ）设n 分钟后第1次相遇，依题意，有
2n +n (n -1) +5n =70， 2
2整理，得n +13n -140=0，
解得n =7，n =-20（舍去）．
第1次相遇是在开始运动后7分钟．
（Ⅱ）设n 分钟后第2次相遇，依题意，有
2n +n (n -1) +5n =3⨯70， 2
2整理，得n +13n -420=0，
解得n =15，n =-28（舍去）．
第2次相遇是在开始运动后15分钟．
19．（Ⅰ）∵a 1+3a 2+3a 3+ +3n ， ① 3
n -12n -2∴当n ≥2时，a 1+3a 2+3a 3+ +3a n -1=． ② 3
11n -1由①－②，得3a n =，a n =n ． 33
1在①中，令n =1，得a 1=． 3
1∴a n =n ，n ∈N *． 32n -1a n =
（Ⅱ）∵b n =n ，∴b n =n ⋅3n ， a n
∴S n =3+2⨯32+3⨯33+ +n ⋅3n ， ③ ∴3S n =32+2⨯33+3⨯34+ +n ⋅3n +1． ④ 由④－③，得
2S n =n ⋅3n +1-(3+32+33+ +3n ) ， 即2S n =n ⋅3n +13(1-3n ) -， 1-3
(2n -1) 3n +13+． ∴S n =44
20．（Ⅰ）由a 1=1，S n +1=4a n +2，有
a 1+a 2=4a 1+2，∴a 2=3a 1+2=5，∴b 1=a 2-2a 1=3． ∵S n +1=4a n +2， ①
∴S n =4a n -1+2（n ≥2）， ②
由①－②，得a n +1=4a n -4a n -1，
∴a n +1-2a n =2(a n -2a n -1) ，
∵b n =a n +1-2a n ，∴b n =2b n -1，
∴数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ），得b n =a n +1-2a n =3⋅2n -1，
∴a n +1a n 3-n =， n +1422
a n 31是首项为，公差为的等差数列， 242n ∴数列{
∴a n 1331=+(n -1) ⨯=n -， n 24442
∴a n =(3n -1) ⋅2n -2．
21．（Ⅰ）由已知，得(S n +1-S n )-(S n -S n -1)=1（n ≥2，n ∈N ）， *
即a n +1-a n =1（n ≥2，n ∈N ），且a 2-a 1=1， ∴数列{a n }是以a 1=2为首项，1为公差的等差数列， ∴a n =n +1．
（Ⅱ）∵a n =n +1，∴b n =4n +(-1) n -1λ⋅2n +1，要使b n +1>b n 恒成立，
n +1n n +2∴b n +1-b n =4-4+(-1)λ⋅2-(-1)
n ∴3⋅4-3λ⋅(-1)n -1n n -1*λ⋅2n +1>0恒成立， 2n +1>0恒成立，
∴(-1)n -1λ
n -1（ⅰ）当n 为奇数时，即λ
n -1当且仅当n =1时，2有最小值为1，∴λ
（ⅱ）当n 为偶数时，即λ>-2
当且仅当n =2时，-2n -1n -1恒成立， 有最大值-2，∴λ>-2． ∴-2
*综上所述，存在λ=-1，使得对任意n ∈N ，都有b n +1>b n ．