对数正态分布的VAR数学模型及其计算

第４１卷第１期

２０１１年１月

一，”””””’’、数学的实践与认识ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＩＮＰＲＡＣＴＩＣＥＡＮＤＴＨＥＯＲｙＶｂｌ．４１．Ｎｏ．１Ｊａｎ．．２０１ｌ

；管理科学ｉ～。。。。…。。。，

对数正态分布的ＶＡＲ数学模型及其计算

边宽江，崔冰，金晓燕，刘红波，程波，袁志发

（西北农林科技大学理学院，陕西杨凌７１２１００）

摘要：ｖａＲ（ｖａｌｕｅａｔＲｉｓｋ）是一种以规范的统计技术来度量市场风险的新标准，目

前在金融数学领域被广泛使用，它是指在正常的市场条件和给定的置信度下，在给

定的持有期间内，测度某一投资组合所面临的最大的潜在损失的数学方法．传统的

ＶａＲ计算方法在计算开放式基金时，可能存在着低估风险的情况．着重论述了ＶａＲ

模型的数学原理以及该模型的计算方法，运用对数正态分布假设来评估开放式基金

的风险，以验证其结果是否更加接近实际风险值．

关键词：ｖａＲ；置信度；时间序列；对数正态分布

ＶａＲ模型足金融数学研究的重点问题之一，标准差，∥系数，持续期等传统的度量方法已不能适应新的金融风险的度量．因此，金融机构需要一种能全面反映投资组合所承担风险的技术方法，而ｖａＲ数学模型就是为了适应这种需要而产生的风险度量方法．ＶａＲ是基于统计分析基础上的风险度量技术，它的核心在于描述金融时间序列的统计分布或概率密度函数见文『１１．目前，国内外对ｖａＲ模型的研究极为广泛．ｕｍｂｅｒｔｏＣｈｅｒｕｂｉｎｉ和ＥｌｉｓａＬｕｃｉａｎｏ（２００１）全面介绍了ｖａＲ方法的优点、适用范围、计算过程以及其不足之处．蒲明（２００３）也从理论方面论证了ｖａＲ模型在对开放式基金风险估计的可行性，并提出了具体的操作步骤，主要提出“方差一协方差法”这种简单的计算方法【２】．通常人们假设金融资产价格服从正态分布，但是，目前国际上有种说法认为金融资产价格服从对数正态分布，传统的ｖａＲ计算方法在计算开放式基金的风险时，结果与实际风险值相差较远，对数正态分布假设下得到的风险值（ＶａＲ）要比正态分布假设下的风险值更接近实际值【３］．通过对比分析，发现这些研究尽是针对现有的ｖａＲ模型而展开的，没有对模型进行数学原理的分析，故本文论述了ｖａＲ数学模型的计算方法以及对数正态分布假设下资产组合的风险值．

１ＶａＲ数学模型

ＶａＲ模型足指在正常的市场条件下和给定的置信度下，在给定的持有期间内，某一投资组合或金融资产所面临的最大的潜在损失【４】（可以是相对值，也可以是绝对值）．其数学表达收稿日期：２００８－０１—３０

２数学的实践与认识４１卷式为：

Ｐｒｏｂ（△Ｗ７＞ＶａＲ）＝１一ｃ＝Ｑ

式中，△Ⅳ为金融资产在持有期△￡内的损失；ｖａＲ为置信水平Ｑ下处于风险中的价值；ｃ为置信度．例如，对于某一金融机构来说，它所持有的金融资产在未来一周内，置信度为９９％，市场正常波动的情况下，其ＶａＲ值为１５０万元，则该公司的金融资产在一周内，由于市场价格变化而带来的最大损失额超过１５０万元的概率为１％，换句话说，也就是有９９％的概率在未来一周的损失额不会超过１５０万元．

令ｗｊ为某资产组合的期初价值，Ｗ为该资产组合的期末价值，Ｒ为该组合在持有期间的投资收益率，通常服从正态分布，其数学期望值为ｐ，则有ｗ＝Ｖ％（１＋Ｒ）．假设在正常的市场条件下，资产组合的最小价值彤＋＝ｐ％（１＋兄４），Ｒ＋为最小收益率．ＶａＲ可定义为相对均值的损失，即：

ＶａＲ相对＝Ｅ（Ⅳ）一ｗ＋

还可以定义为相对于。的绝对损失，即：

ｖａＲ绡对＝甄一ｗ＋

又由前面已知：

Ⅳ＝％（１＋Ｒ）

ｗ＋＝％（１＋兄＋）

再根据数学期望的基本性质，可得：

ＶａＲ相对＝Ｅ［％（１＋Ｒ）】～％（１＋Ｒ＋）＝％【Ｅ（Ｒ）一Ｒ４］＝眠（ｐ—Ｒ＋）

ｖａ％对＝‰一眠（１＋彤）＝～‰彤

因此在正常的市场条件假设下，计算ｖａＲ相当于确定最小价值ｗ＋或最小收益率彤．变量是数学模型中最关键的部分，计算ＶａＲ的关键是模型中变量的确定，许多金融机构应用ＶａＲ来预测风险时，往往直接根据ｖａＲ方法的定义简单地将原始数据代入模型计算，并未对模型的变量即影响因素，也就是对“在正常的市场条件和置信水平下，在给定的持有期间内”没有进行合理的分析，因而做不到合理的假没．总体而言，Ｖ－ａＲ模型需要考虑资产组合收益率分布、置信水平、持有期三个方面因素的影响．

１．１资产组合收益率分布

在正常的市场条件下，就是指市场在正常的范围内随机波动，不包括人为和市场机制的干涉因素．设某金融资产价格的时间序列为｛ｍ），‰为该资产组合的期初价值，彤为该资产组合的期末价值，Ｒ为该组合在持有期间的投资收益率，则有Ⅳ＝ｗｊ（１＋Ｒ）．在此，将Ｒ可看作一个随机变量，记弘和仃分别是Ｒ的数学期望和标准差．作为金融资产收益率的时间序列｛Ｒｔ）有

昆＝（％一眠一１）／慨一ｌ

当毗一１．已知时，收益率序列｛昆｝服从正态分布，虽然资产收益正态分布假设能进行较方便的ＶａＲ度量和分析，但实证研究表明资产收益率分布具有尖峰厚尾现象【５】）正态分布的假设往往会低估风险值【６】．因此，在实际中需要对资产收益率的分布进行合理性的检验．

ｌ期边宽江，等：对数正态分布的ＶＡＲ数学模型及其计算３１．２置信水平

设总体ｘ的分布含有一个未知参数ｐ，若由样本ｘｌ，恐，…，％确定的两个统计量ｐ１（ｘ１，尼，…，ｘ。）及ｐ２（ｘ１，ｘ２，…，‰），对于给定值Ｑ（ｏ＜Ｑ＜１）满足：

Ｐ｛臼１（ｘ１，拖，…，％）≤口≤口２（ｘｌ，恐，…，‰）｝＝１一Ｑ

则称１００（１一Ｑ）％为置信度，１００ａ％为置信水平．

从经济学的角度理解，置信水平是指决策人员对资产组合发生、ｒａＲ所表示的最大损失值的把握程度．因此，置信水平的选择与不同的决策者对风险承担的偏好有关，一般都在９５％一９９％之间．假定一种金融资产过去１２个月收益分布的收益率在一２．５％一１５％之间，我们可以计算每一种特别的收益分布在这１２个月中发生的次数，因而可以构造一个收益的概率分布．如给定一个置信度ｃ＝９９％，假设与之相对应的收益率为３．５％，即表示这种金融资产的最大损失有９９％的概率不会超过３．５％．举例说明，假如有５０万元的金融资产，仅有１％的概率，它的最大损失超过５０（万元）×３．５％＝１．７５（万元）．

１．３持有期

持有期（即目标区间，可用变量△ｔ来表示）的选择从某种意义上讲带有一定的随意性，它根据金融投资的特点来决定．一般情况下，对于流动性很强的投资如场外衍生工具需以每日为期计算ｖａＲ值【７】；对于交易周期比较短而且交易比较活跃的流动性资产，可选取１—３ｄ为期计算ＶａＲ值；而养老保险等由于对风险的调整一般比较慢而选择目标区间通常为一个月．因此，对于不同投资领域其目标区间的选择不尽相同．

２对数正态分布的ＶａＲ方法

。假设ｌｎＲ服从正态分布Ⅳ（肛，仃２），则金融资产的收益Ｒ服从对数正态分布，其密度函数

。

为：邶）＝去ｅ一呼Ｒ＞。

设Ｒ的数学期望和方差分别为ｐＲ和盯磊，则有

Ｐ十ｏ。ｏ

ｐＲ＝Ｅ（Ｒ）＝／Ｒ・，（Ｒ）ｄＲ＝ｅｐ＋等

，＋∞．

仃磊＝Ｄ（Ｒ）＝Ｅ（Ｒ２）一（Ｅ（Ｒ））２＝／。

根据概率分布推导：

．Ｒ２．，（Ｒ）ｄＲ一（ｅｐ＋譬）２＝（ｅ。一１）ｄ２“＋口２・一ｃ＝仁胛炒＝仁旭肿＝伫绯№

其中，‰为标准正态分布的分位数，妒（￡）为标准正态分布的密度函数．

又由砌＜州＝Ｐ（訾＜警）＝・一ｃ

——＝ｐａ＝｝ｎ＝ｐＲ十盯Ｒ肛Ｑ堡二丝：地号Ｒ・：ｐＲ＋盯Ｒ肛。得：

４数学的实践与认识４１卷

所以ｖａＲ的计算方法可推导为：

ｖａＲ相对２Ｅ（缈）一Ⅳ＋＝Ｅ［％（１＋Ｒ）】一％（１＋Ｒ＋）＝‰（ｐＲ—Ｒ＋）

＝Ｗ厂０（ｐＲ—ｐＲ一盯Ｒ弘。）＝一Ⅵ厂。盯Ｒ肛。＝一Ｗ，０【（ｅ口２—１）ｅ２ｐ＋一２］１／２ｐ。

ｖａＲ绝对＝甄一Ⅳ；＝‰一％（１＋彤）＝一‰Ｒ＋＝一％（ｐＲ＋盯Ｒ弘。）

：一ｗ，ｏ（ｅｐ＋雩＋［（ｅａ２—１）ｅ２ｐ＋矿】１／２ｐ。）

３ＶａＲ方法在开放式基金风险评估中的应用

为了证实对数正态分布假设下得到的ＶａＲ值是否更接近实际值，本文选取了８只开放式基金作为样本，假设这些基金仅投资于某一资产，样本数据为２００６年７月６日起的４１个交易日数据（数据来源：坐‘Ｐ！鲤ｙｆｕｎｄ．ｃｎｆｕｎｄ．ｃｎ／ｉｎｄｅｘ．ａｓｐＸ）．

首先，我们对上表中的数据进行正态性检验，这里选取偏峰系数检验法．

平均收益率是指某种金融资产直到时刻ｎ收益率的平均，Ｒ￡表示日收益率．则平均收益率的数学表达式为：

．忆

Ｒ＝一＞Ｒｔ元：兰Ｆ风。ｌＬ‘一￡＝１

标准差ｓ是反映收益率出现波动情况的指标．其计算公式为：

Ｓ＝

偏度是反映收益率分布密度对称性的指标，计算公式为：

ｓＫ＝妄∑（见一五）３／ｓ３＂Ｕ、一７’

一ｔ＝１

ＳⅨ的大小不仅反映偏斜方向同时也反映了偏斜程度．

峰度系数Ｋ是反映一个随机变量分布形状的指标，它的值越大，那么密度函数在均值处越陡峭．常常定义峰度系数的计算公式为：

Ｋ＝丝矿∑（风一扁）４

因此我们以正态分布的峰度系数值（Ｋ＝３）为基准，如果Ｋ＞３，则表示该分布具有高峰的特征．如果等于３则表示该分布与正态分布具有相同的峰度．计算结果如表１．

表ｌ正态性检验结果

从表１中我们明显看到８只基金的收益率不服从正态分布，因此，根据前面对数正态分布假没下ＶａＲ计算方法，我们可对８只基金的数据在９５％和９９％置信度下进行计算，这里计算各只基金收益的数学期望为：肛１＝ｏ．０２４６，ｐ２＝０．０１，肛３＝０．０１４６，ｐ４＝０．０１３２４，卢５＝ｏ．０１４，ｐ６＝

１期边宽江，等：对数正态分布的ＶＡＲ数学模型及其计算５ｏ．０１２２８，卢７＝ｏ．０１１２，肛８＝ｏ．０３５２．收益的方差为：盯｝＝ｏ．ｏｏｌ６５９，程＝ｏ．０００１２７，盯；＝ｏ．ｏ００４６２，霸＝ｏ．ｏ００１９９，碚＝ｏ．ｏ００１６５，盯０＝ｏ．ｏ００１６６，盯；＝ｏ．ｏ００２９６，盯ｉ＝ｏ．００３０４２．

代入公式

ＶａＲ相对＝一‰［（ｅ”一１）ｅ２肛＋口２】；‰

分别取肛ｏ＿０５＝１．６４５和ｐｏ－０ｌ＝２．３３，计算得其绝对值，结果见表２

表２对数正态分布下的ＶａＲ值

为了对比对数正态分布假设下的ｖａＲ值是否比其更接近实际值．计算正态分布假设下的ｖａＲ值，结果见表３

表３正态分布下的ＶａＲ值

对照表２与表３中的ＶｒａＲ值，发现正态分布下计算结果均小于对数正态分布假设下结果，而对数正态分布假设下的Ⅵ凰值落在了巴塞尔规则的绿灯区域内，说明这种评估风险的方法是合理的，而且相对正态分布计算结果更加接近实际值．

参考文献

［１】张国勇，杨宝臣．ｖａＲ计算方法综述［ＪＪ．天津理工学院学报，２００３，１９（４）：７＿４．７６．

［２】浦明．基于ＶａＲ模型的开放式基金风险计量研究［Ｊ］．学术交流，２００３，４：９５—９８．

【３１刘一凡，宋福铁．基于ＶａＲ方法对开放式基金风险评估的实证研究［Ｊ１．华东理工大学学报，２００６（２）：

３４．３９．

［４］程先双，边宽江．ＶａＲ度量金融风险的几个问题［Ｊ】．西北农林科技大学学报：自然科学版，２００５，３３（３）：

１４２—１４４．

［５】边宽江，程波，王蕾蕾．收益分布尖峰厚尾问题的统计检验［Ｊ】．统计与决策，２００９（７）：８孓８５．

［６】郭晓亭，蒲勇健，杨秀苔．ＶａＲ模型及其在证券投资管理中的应用［Ｊ】．重庆大学学报，２００６，２９（３）：

１５２—１５５．

［７】张国良．ｖａＲ及其基本原理［Ｊ】．沈阳航空工业学院学报，２００ｌ，１８（３）：８２．８４．

［８］ｓｍｏｎｓＫａｔｅｍａ．ＴｈｅｕｓｅｏｆＶａｌｕｅａｔＲｉｓｋｂｙＩｎｓｔｉｔｕｔｉｏｎａｌＩｎｖｅｓｔｏｒ［Ｊ］．Ｎｅｗ

ＲｅＶｉｅｗ，２０００（６）：２１—３１．ＥｎｇｌａｎｄＢｃｏｎｏｍｉｃ

［９】ＢｅｒｋｏｗｉｔｚＪ，ＢｒｉｅｎＪ．Ｈｏｗａｃｃｕｒａｔｅ

１２．ａｒｅｔｈｅＶ址ｕ争ａｔ・ｒｉｓｋｍｏｄｅｌ８ａｔｃｏｍｍｅｒｃｉａｌｂａｎｋ８７【Ｊ】．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＦｉｎａｎｃｅ，２００２（６）：１０９３－１１

６数学的实践与认识４１卷ＶａＲＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＭｏｄｅｌａｎｄＩｔｓＣｏｍｐｕｔｉｎｇＭｅｔｈｏｄｓ

ＵｎｄｅｒｔｈｅＬｏｇｎｏｒｍａｌＤｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ

ＢＩＡＮＫｕａｎ．ｊｉａｎｇ，ＣＵＩＢｉｎｇ，ＪＩＮＸｉａｏ＿ｙａｎ，

ＬＩＵＨｏｎ分ｂｏ，ＣＨＥＮＧＢｏ，ＹＵＡＮＺｈｉ’ｆａ

（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，Ｎｏｒｔｈ嗍ｔＡ＆ＦＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ＇Ｙ￡ｍｇｌｉｎｇ７１２１００，Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＶａＲ（ＶａｌｕｅａｔＲｉｓｋ）ｉｓａｎｅｗｃｒｉｔｅｒｉｏｎｔｏｍｅａｓｕｒｅｔｈｅｍａｒｋｅｔｒｉｓｋｂｙａｓｔａｎ—ｄａｒｄｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ａｎｄｉｔｉｓ讲ｄｅｌｙｕｓｅｄｉｎｆｉｎａｎｃｉａｌｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｔｐｒｅｓｅｎｔ．Ｉｔｉ８ａｍｅｔｈｏｄｔｏａｎｔｉｃｉｐａｔｅｔｈｅｍｏｓｔｈｅａｖｙｌｏｓｓｕｎｄｅｒｔｈｅｎｏｒｍ“ｍａｒｋｅｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｗｉｔｈｔｈｅｇｉｖｅｎｃｏｎｆｉｄｅｎｔ１ｅｖｅｌａｎｄｔｉｍｅｈｏｒｉｚｏｎ．ＴｈｅｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌＶａＲｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌｍｅｔｈｏｄｉ８ｕｓｅｄｉｎｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇｔｈｅｏｐｅｎｓｔｙｌｅｆＩｌｎｄ，ｉｔｍａｙｏｖｅｒｅｓｔｉｍａｔｅｔｈｅｒｉ８ｋ．Ｔｈｅｖａｌｕｅｏｆｒｉｓｋｗｅｏｂｔａｉｎｅｄｕｎｄｅｒｔｈｅｌｏｇｎｏｒｍａｌｄｉ８ｔｒｉｂｕｔｉｏｎ８ｕｐｐ０８ｉｔｉｏｎｍｕｓｔｂｅⅦｏｒｅａｐｐｒｏａｕｃｈｔｈｅａｃｔｕａｌｖａｌｕｅｃｏｍｐａｒｅｄｔｏｕｎｄｅｒｔｈｅｎｏｒｍａｌｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓｕｐｐ０８ｉｔｉｏｎ．Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ８ｔｕｄｙｔｈｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｔｈｅｏｒｙａｎｄｔｈｅｃｏｍｐｕｔｉｎｇｍｅｔｈｏｄｓｏｆＶａＲｍｏｄｅｌ．Ｕ８ｉｎｇｔｈｅ１０９ｎｏｒｍａＬｌｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ８ｕｐｐｏｓｉｔｉｏｎｔｏａｐｐｒａｉｓｅｔｈｅｒｉｓｋｏｆｔｈｅｏｐｅｎｓｔｙｌｅｆｕｎｄ，ｔｏｃｏｎｆｉｒｍｗｈｅｔｈｅｒｔｈｅｒｅｓｕｌｔｉｓｅｖｅｎｍｏｒｅａｐｐｒｏａｃｈｅｓｔｈｅｒｅａｌｖａｄｕｅｏｆｒｉｓｋ．

Ｋｅｙ、＾，ｏｒｄｓ：ＶａＲ；ｃｏｎｆｉｄｅｎｔｌｅｖｅｌ；ｔｉｍｅ８ｅｒｉｅｓ；ｌｏｇａｒｉｔｈｍｎｏｒｍａｌｄｉ８ｔｒｉｂｕｔｉｏｎ

对数正态分布的VAR数学模型及其计算作者：

作者单位：

刊名：

英文刊名：

年，卷(期)：边宽江， 崔冰， 金晓燕， 刘红波， 程波， 袁志发， BIAN Kuan-jiang， CUI Bing，JIN Xiao-yan， LIU Hong-bo， CHENG Bo， YUAN Zhi-fa西北农林科技大学理学院,陕西杨凌,712100数学的实践与认识MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY2011,41(1)

本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_sxdsjyrs201101001.aspx