矩阵乘法的法则
第六节．矩阵乘法的法则
教学目标：
（1）通过几何变换，使学生理解矩阵乘法不满足交换律（但并不是绝对的）。 （2）通过实例，了解矩阵的乘法满足结合律。 教学重点：理解矩阵乘法不满足交换律。
教学难点：从图形变换的角度理解矩阵的乘法不满足交换律。 教学过程：
一、引入：对上节课的练习的讨论：
已知三角形ABC的三个顶点的坐标分别为：A（0，0），B（2，0），C（2，2），
⎡-10⎤先将三角形作以原点为中心的反射变换（变换矩阵为⎢，再以x轴为基准，⎥）
0-1⎣⎦
⎡1
将所得图形压缩到原来的一半（变换矩阵为⎢0⎢⎣
所对应的变换矩阵U；
0⎤
1⎥），试求：（1）这连续两次变换2⎥⎦
⎡-10⎤⎡10⎤⎡-10⎤1⎥ ⎢01⎥=⎢问：U=⎢⎥0-⎣0-1⎦⎢2⎥2⎥⎣⎦⎢⎣⎦
⎡10⎤⎡-10⎤⎡-10⎤
1⎥⎢ U=⎢⎥=⎢0-1⎥ 00-1⎢⎦⎢2⎥2⎥⎣⎦⎣⎣⎦
问题：矩阵的乘法是否满足交换律呢？
2、例题
例1．已知矩阵A、B，计算AB及BA，并比较他们是否相同，能否从几何变换的角度给予解释？
（1）A=⎢
⎡0-1⎤⎡10⎤，B=⎢10⎥； ⎥02⎣⎦⎣⎦
⎡1
（2）A=⎢0⎢⎣0⎤⎡30⎤
1⎥，B=⎢⎥。
01⎣⎦2⎥⎦
⎡0-1⎤⎡10⎤⎡0-2⎤⎡10⎤⎡0-1⎤⎡0-1⎤
=，BA==⎢ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎥⎢⎥
⎣02⎦⎣10⎦⎣20⎦⎣10⎦⎣02⎦⎣10⎦
解：（1）AB=⎢
显然，AB≠BA。
从几何变换的角度，AB表示先作反射变换（变换矩阵为B），后作伸缩变换（变换矩阵为A）；而BA表示先作伸缩变换（变换矩阵为A），后作反射变换（变换矩阵为B）。当连续进行一系列变换时，交换变换次序得到的结果，一般说会不相同。仍以正方形（顶点分别为A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)）为例，如下图：
图1. 先伸缩，再旋转
图1. 先旋转，再伸缩
显然，变换顺序不同，所得的结果也不同。
⎡
1
（2）AB =⎢
0⎢⎣0
⎤
1⎥2⎥⎦⎡3
0⎤
⎡3⎢01
⎥=⎢0⎣⎦⎢⎣
0⎤⎡30⎤⎡1
1⎥，BA=⎢⎥⎢001⎣⎦⎢2⎥
⎦⎣0⎤⎡3
1⎥=⎢
0⎥⎢2⎦⎣0⎤1⎥ 2⎥⎦
显然，AB = BA
从几何变换的角度，AB表示先作伸缩变换B（变换矩阵为B），再作伸缩变换A（变换矩阵为A）；而BA表示先作伸缩变换A（变换矩阵为A），后作伸缩变换B（变换矩阵为B），将这两个变换交换次序后，得到的结果仍相同。仍以正方形（顶点分别为A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)）为例，如下图：
先作伸缩变换B，再作伸缩变换A
先作伸缩变换A，后作伸缩变换B
由此 ，我们不难看出：一般来说，在矩阵乘法中，AB≠BA，即：矩阵乘法不满足交换律，但在某些特定的情况下，如连续两次旋转或连续两次压缩，变换是可以交换顺序的，即此时矩阵乘法可以交换顺序。
矩阵的乘法满足结合律。即：
A（BC）=（AB）C
证明请同学自己验证。
例2．（1）求证：⎢
⎡0b⎤⎡01⎤⎡c0⎤⎡10⎤
⎥=⎢10⎥⎢01⎥⎢0b⎥ c0⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎡ab⎤⎡a0⎤⎡10⎤⎡1
⎢c （2）若ad≠0，求证：⎢=⎢⎥⎥⎢⎥
⎣cd⎦⎣01⎦⎣0d⎦⎢⎣d
证明：由矩阵乘法的结合律
0⎤
1⎥⎥⎦
0⎤⎡1⎡1
⎢01-bc⎥⎢⎢ad⎥⎣⎦⎢⎣0
b
a1
⎤⎥ ⎥⎦
⎡01⎤⎡c0⎤⎡10⎤⎡01⎤⎡10⎤⎡0b⎤（1）⎢⎥⎢01⎥⎢0b⎥=⎢c0⎥⎢0b⎥=⎢c0⎥
10⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡a0⎤⎡10⎤⎡1
⎢c（2）⎢⎥⎢⎥
⎣01⎦⎣0d⎦⎢⎣d⎡a0⎤⎡1⎢c=⎢⎥
⎣0d⎦⎢⎣d
0⎤
1⎥⎥⎦
0⎤⎡1⎡1
⎢01-bc⎥⎢⎢ad⎥⎣⎦⎢⎣0⎡⎢1⎢0⎣
ba1⎤⎥ ⎥⎦
⎡⎢1⎢0⎣
ba1
⎤⎥ ⎥⎦
0⎤1⎥⎥⎦0⎤⎡1
⎢01-bc⎥⎢ad⎥⎣⎦
⎡
⎢1⎢0⎣
ba1
0⎤⎡a0⎤⎡1
⎢01-bc⎥=⎢⎥
⎣cd⎦⎢ad⎥⎣⎦
⎤⎡a0⎤
⎥=⎢bc⎥
cd-⎥⎢a⎥⎦⎦⎣
b
a1
⎤⎡ab⎤⎥=⎢ ⎥cd⎥⎣⎦⎦
观察例2所证等式右端的矩阵，它们都是我们在前面所学过的基本变换矩阵，事实上：
任何一个二阶矩阵，都可以分解为一些基本变换矩阵的乘积，即任意的一个矩阵变换都相当于是连续实施前面所讲过的一些常见的变换。（对这问题不作严格论证，也决不应要求学生把任一个二阶矩阵分解为上述基本变换矩阵的乘积。） 三、小结：矩阵的乘法不满足交换律，满足结合律。
教学设计说明：
1、矩阵乘法不满足交换律，这是一个崭新的提法，是学生从来没有接触过的。引导学生从具体的运算中找出反例；观察图形的变化情况，运用变换矩阵的理论分析变换过程，使学生从数和形两个方面深化认识，有助于培养学生从多角度认识问题。 2、矩阵乘法满足结合律，不要求学生能证明，只要能了解即可。
3、例题2的价值在于：任何一个二阶方阵都能分解成几个学生熟悉的二阶变换矩阵的乘积。因此，对于二阶变换矩阵的讨论不是片面的。