数列概念及等差数列
数列概念及等差数列
一.基本性质
1. 等差数列的判定方法:
(1)定义法:a n +1-a n =常数(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列; (2)中项公式法:2a n +1=a n +a n +2(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列; (3)通项公式法:a n =kn +b (n ∈N *)⇔{a n }为等差数列; (4)前n 项求和法:S n =pn 2+qn (n ∈N *)⇔{a n }为等差数列;
2. 若奇数个成等差数列且和为定值时,可设中间三项为a -d , a , a +d ;若偶数个成等差
数列且和为定值时,可设中间两项为a -d , a +d ,其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元.
3. 等差数列的相关性质:
(1)等差数列{a n }中,a m =a n +(m -n )d ,变式d =
a m -a n
;
m -n
(2)等差数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m , S 2m -S m , S 3m -S 2m , 仍为等
差数列.且公差为错误!未找到引用源。
(3)等差数列{a n }中,若m +n =p +q ,则a m +a n
若m +n =2p ,则a m +a n =2a p
=a p +a q ,
(4)等差数列{a n }中,S n =an 2+bn (其中a =
1
d , d ≠0) 2
(5)两个等差数列{a n }与{b n }的和差的数列{a n ±b n }仍为等差数列. (6)若{a n }是公差为d 的等差数列, 则其子列a k , a k +m , a k +2m , L
且公差为md ; {ka n }也是等差数列, 且公差为kd
也是等差数列,
(7)在项数为2n +1项的等差数列{a n }中,S 奇=(n +1)a 中, S 偶=na 中, S 2n +1=(2n +1)a 中;
在项数为2n 项的等差数列{a n }中S 奇=na n , S 偶=na n +1, S 2n +1=n (a n +a n +1) .
(8)等差数列{a n }中,⎧⎨
S n ⎫
⎬也是一个等差数列,即点(n , a n ) (n ∈N *)在一条直线⎩n ⎭
S n n , 上; 点
n (n ∈N *)在一条直线上.
()
(9)两个等差数列{a n }与{b n }中, S n , T n 分别是它们的前n 项和, 则
二.典例解析
题型1:数列概念
例1.根据数列前4项,写出它的通项公式: (1)1,3,5,7……;
a n S 2n -1
. =
b n T 2n -1
22-132-142-152-1(2),,,;
23451111
(3)-,,-,。
3*44*51*22*3
n 2+n -1
(n ∈N +) , 例2.数列{a n }中,已知a n =
3
2
(1)写出a 10,a n +1,a n 2; (2)79是否是数列中的项?若是,是第几项?
3
题型2:数列的递推公式
例3.(1)已知数列{a n }适合:a 1=1,a n +1=
2a n
,写出前五项并写出其通项公式; a n +2
(2)用上面的数列{a n },通过等式b n =a n -a n +1构造新数列{b n },写出b n ,并写出{b n }的前5项。
例4.(05广东,14)设平面内有n 条直线(n ≥3) ,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f (n ) 表示这n 条直线交点的个数,则。 f (4) =____________;当n >4时,f (n ) =n 表示)
例5.(2003京春理14,文15)在某报《自测健康状况》的报道中,自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据的特点,用适当的数填入表中空白(_____)内。
题型4:等差数列的概念 例 6已知数列{a n }满足a 1=4,a n =4-题型5:等差数列通项公式
例7.(2006年全国卷I )设{a n }是公差为正数的等差数列,若a 1+a 2+a 3=15,
4a n -1
1
. 求证:数列{b n }是等差数列. a n -2
(n ≥2), 令b n =
a 1a 2a 3=80,则a 11+a 12+a 13=( )
A .120 B .105 C .90 D .75
例8.(1)(2005湖南16)已知数列{log2(a n -1)}n ∈N *) 为等差数列,且
a 1=3, a 3=9.
(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)证明
111
++ +
a 2-a 1a 3-a 2a n +1-a n
题型6:等差数列的前n 项和公式
例9.(1)(2002京皖春,11)若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有( )
A.13项 B.12项 C.11项 D.10项 (2)(2001全国理,3)设数列{a n }是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是( )
A.1 B.2 C.4 D.6
(3)(2006年全国卷II )设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若( )
A .
S 31S
=,则6=
S 12S 63
D .
311
B . C .
38101
9
例10.(1)(2000全国文,18)设{a n }为等差数列,S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7=7,S 15=75,T n 为数列{
S n
}的前n 项和,求T n 。 n
(2)(1998全国文,25)已知数列{b n }是等差数列,b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=100.
(Ⅰ)求数列{b n }的通项b n ; (Ⅱ)设数列{a n }的通项a n =lg (1+
1),记S n 是数列{a n }的前n 项和,求S n b n
题型7:等差数列的性质及变形公式
例11.设{a n }(n ∈N *)是等差数列,S n 是其前n 项的和,且S 5<S 6,S 6=S 7>S 8,则下列结论错误的是( ) ..A. d <0 B. a 7=0 C. S 9>S 5 D. S 6与S 7均为S n 的最大值 (2)等差数列{a n }的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和为( ) A.130 B.170 C.210 D.260 例12.(2000上海,21)在XOY 平面上有一点列P 1(a 1,b 1),P 2(a 2,b 2),…,P n (a n ,b n ),…,对每个自然数n ,点P n 位于函数y =2000(
a x
)(0<a <10=的图象10
上,且点P n 、点(n ,0)与点(n +1,0)构成一个以P n 为顶点的等腰三角形。
(Ⅰ)求点P n 的纵坐标b n 的表达式;
(Ⅱ)若对每个自然数n ,以b n ,b n +1,b n +2为边长能构成一个三角形,求a 的取值范围;
(Ⅲ)设c n =l g (b n )(n ∈N ). 若a 取(Ⅱ)中确定的范围内的最小整数,问数列{c n }前多少项的和最大? 试说明理由。
例 13、(06上海)已知数列a 1, a 2, , a 30,其中a 1, a 2, , a 10是首项为1,公差为1的等差数列;a 10, a 11, , a 20是公差为d 的等差数列;a 20, a 21, , a 30是公差为d 2的等差数列(d ≠0).
(1) 若a 20=40,求d ; (2)试写出a 30关于d 的关系式,并求a 30的取值范围;
练习:
1、 (1)在等差数列{a n }中,已知a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=20,则a 3=
(2)在等差数列{a n }中,a 1+3a 8+a 15=120,则2a 9-a 10=
(3)等差数列{a n }中,a 1+a 2+a 3=-24,a 18+a 19+a 20=78, 则此数列前20项和等于
(4)设等差数列{a n }的前n 项和记为S n ,若a 2+a 8=15-a 5,则S 9=
2. (1)若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有多少项?
(2)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若
12
S 31S
=,则6等于? S 63S 12
3. 记等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=,S 4=20,则S 6= .
4. 已知{a n }是等差数列, a 1+a 2=4,a 7+a 8=28,则该数列前10项和S 10= .
5. 已知等差数列{a n }满足a 2+a 4=4,a 3+a 5=10,则它的前10项的和S 106. 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且
A n 7n +45a
=,则使得n 为
b n B n n +3
整数的正整数n 的个数是 个.
7. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 4+a 12+a 17+a 19=8,则S 25的值为 . 8. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2=1,a 3=3,则S 4= . 9. 在等差数列{a n }中,已知a 1=2,a 2+a 3=13,则a 4+a 5+a 6= .
10. 已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为 .
11. 已知等差数列{a n }的前三项分别为a -1,2a +1,a +7,则这个数列的通项公式为?
12. 设{a n }是公差为正数的等差数列,若a 1+a 2+a 3=15,a 1a 2a 3=80,则a 11+a 12+a 13= . 13. 数列{a n }的通项公式是a n =1-2n , 其前n 项和为S n ,则数列⎨
⎧S n ⎫
⎬的前11项和为? ⎩n ⎭
14. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和, a 12=-8,S 9=-9,则S 16= .
15. 已知数列{a n }、{b n }都是公差为1的等差数列,其首项分别为a 1、b 1, 且a 1+b 1=5,a 1、b 1∈N . 设c n =a b n (n ∈N ), 则数列{c n }的前10项和等于 .
16. 等差数列{a n }的奇数项的和为216,偶数项的和为192,首项为1,项数为奇数,求此数列的末项和通项公式.
*
*