2015届高考数学第二轮高效精练6.doc

第11讲 数列求和及其综合应用

－

1. 数列1＋(1＋2) ＋(1＋2＋4) ＋…＋(1＋2＋…＋2n 1) 的前n 项和为________．

＋

答案：2n 1－n －2

－

解析：1＋(1＋2) ＋(1＋2＋4) ＋…＋(1＋2＋…＋2n 1) ＝(2＋22＋23＋…＋2n ) －n ＝2(2n －

＋

1) －n ＝2n 1－n －2.

1

1＋⎫，则a n ＝________． 2. 在数列{an }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎛⎝n ⎭

答案：2＋lnn 解析：累加可得．

3. 设等差数列{an }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类

T 比以上结论有：设等比数列{bn }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________成等比数

T 12

列．

T T 答案：T 4T 8

a 4. 已知数列{an }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则________.

n

21答案：2

解析：a n ＝(an －a n －1) ＋(an －1－a n －2) ＋…＋(a2－a 1) ＋a 1＝33＋2[1＋2＋…＋(n－1)]＝n 2－n a 33⎧a ⎫

＋33＝n ＋－1，数列⎨n 在1≤n ≤6，n ∈N *时单调减，在n ≥7，n ∈N *时单调增，∴ n

n n ⎩⎭a ＝6时，取最小值．

n

2⎪a n ＋2⎪，n ∈N *，则数列{b}的通项公式b

5. 数列{an }满足a 1＝2，a n ＋1＝，b n ＝⎪⎪n n

a n ＋1⎪a n －1⎪

＝________．

＋

答案：2n 1

2

2

a n ＋1＋2a n ＋1a n ＋2

解析：由条件得b n ＋1＝|＝||＝2||＝2b n ，且b 1＝4，所以数列{bn }是

2a n ＋1－1a n －1－1a n ＋1

－＋

首项为4，公比为2的等比数列，则b n ＝4·2n 1＝2n 1.

6. 设a 1，a 2，…，a 50是从－1、0、1这三个整数中取值的数列，若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 50

＝9，且(a1＋1) 2＋(a2＋1) 2＋…＋(a50＋1) 2＝107，则a 1，a 2，…，a 50中数字0的个数为________．

答案：11

22

解析：(a1＋1) 2＋(a2＋1) 2＋…＋(a50＋1) 2＝107，则(a1＋a 22＋…＋a 50) ＋2(a1＋a 2＋…＋a 50)

22

＋50＝107，∴ a 1＋a 22＋…＋a 50＝39，故a 1，a 2，…，a 50中数字0的个数为50－39＝11.

－

7. 设S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1) n 1n ，则S 9＋S 12＋S 21＝__________． 答案：10

解析：相邻两项合并得S 9，S 12，S 21.

8. 设数列a n ＝log (n＋1) (n＋2) ，n ∈N *，定义使a 1·a 2·a 3·…·a k 为整数的实数k 为中国梦吉祥数，则在[1，2 014]内的所有中国梦吉祥数之和为____________．

答案：2 026

解析：a 1·a 2·a 3·…·a k ＝log 23·log 34·…·log (k＋1) (k＋2) ＝log 2(k＋2) ，仅当k ＝2n

－2时，上式为中国梦吉祥数．

9. 如图所示，矩形A n B n C n D n 的一边A n B n 在x 轴上，另两个顶点C n 、D n 在函数f(x)＝x 1

＋＞0) 的图象上，若点B n 的坐标为(n，0)(n≥2，n ∈N *)，矩形A n B n C n D n 的周长记为a n ，x

则a 2＋a 3＋…＋a 10＝____________．

答案：216

1

n ，n ，故D n 的坐标为解析：由B n 的坐标为(n，0)(n≥2，n ∈N *) ，得C n 的坐标为⎛n ⎝

⎛1n ＋1，故a n ＝2⎛n 1＋2⎛n 1＝4n ，故a 2＋a 3＋…＋a 10＝4(2＋3＋…＋10) ＝216.

n ⎝n ⎝n ⎝n a ⎧⎪2n a n 为偶数时，

10. 已知数列{an }满足a 1＝m(m为正整数) ，a n ＋1＝⎨若a 6＝1，则

⎪⎩3a n ＋1，当a n 为奇数时.

m 所有可能的取值为______________．

答案：4，5，32

解析：显然，a n 为正整数，a 6＝1，故a 5＝2，a 4＝4，若a 3为奇数，则4＝3a 3＋1，即a 3

＝1；若a 3为偶数，则a 3＝8. 若a 3＝1，则a 2＝2，a 1＝4，若a 3＝8，则a 2＝16，a 1＝5或32.

222

11. 设数列{an }是公差不为0的等差数列，S n 为其前n 项的和，满足：a 22＋a 3＝a 4＋a 5，S 7＝7.

(1) 求数列{an }的通项公式及前n 项的和S n ；

(2) 设数列{bn }满足b n ＝2a n ，其前n 项的和为T n ，当n 为何值时，有T n ＞512. 解：(1) 由{an }是公差不为0的等差数列，

2222⎧⎪a 2＋a 3＝a 4＋a 5，

可设a n ＝a 1＋(n－1)d ，则由⎨

⎪S 7＝7，⎩

2222

⎧（a 1＋d ）＋（a 1＋2d ）＝（a 1＋3d ）＋（a 1＋4d ）， 7×6

⎪⎩7a 1＋2＝7，

⎧2a 1d ＋5d 2＝0，⎧a 1＝－5，⎪⎪

整理，得⎨由d ≠0，解得⎨

⎪⎪a ＋3d ＝1，d ＝2，⎩1⎩

所以a n ＝a 1＋(n－1)d ＝2n －7，

n （n －1）

S n ＝na 1＋d ＝n 2－6n.

2

－

(2) 由(1)得a n ＝2n －7，所以b n ＝2a n ＝22n 7，

2n －7

b 21又＝－4(n≥2) ，b 1＝2a 1＝

2b n －12

1

所以{bn }是首项为，公比为4的等比数列，

2

1n （1－4）21n

所以它的前n 项和T n ＝＝(4－1) ， 1－43×2于是由T n ＞512，得4n ＞3×47＋1， 所以n ≥8时，有T n ＞512.

12. 数列{an }满足a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n∈N *，n ≥2) ，a 3＝27. (1) 求a 1，a 2的值；

1

(2) 是否存在一个实数t ，使得b n ＝(an ＋t)(n∈N *) ，且数列{bn }为等差数列？若存在，

2

求出实数t ；若不存在，请说明理由；

得⎨

⎪

(3) 求数列{an }的前n 项和S n .

解：(1) 由a 3＝27，得27＝2a 2＋23＋1，∴ a 2＝9. ∵ 9＝2a 1＋22＋1，∴ a 1＝2.

(2) 假设存在实数t ，使得{bn }为等差数列，则2b n ＝b n －1＋b n ＋1(n≥2且n ∈N *) ．

111

∴ 2×(an ＋t) ＝－(an －1＋t) ＋＋(an ＋1＋t) ，

222∴ 4a n ＝4a n －1＋a n ＋1＋t ，

a －2n －1＋

∴ 4a n ＝4×＋2a n ＋2n 1＋1＋t ，∴ t ＝1.

2

即存在实数t ＝1，使得{bn }为等差数列．

351

(3) 由(1)，(2)得b 1＝b 2＝，∴ b n ＝n

222

1

n ＋·2n －1＝(2n＋1)2n －1－1， ∴ a n ＝⎛⎝2－

S n ＝(3×20－1) ＋(5×21－1) ＋(7×22－1) ＋…＋[(2n＋1) ×2n 1－1]

－

＝3＋5×2＋7×22＋…＋(2n＋1) ×2n 1－n ，①

∴ 2S n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1) ×2n －2n ，②

－

由①－②得－S n ＝3＋2×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n 1－(2n＋1) ×2n ＋n ＝1＋1－2n 2×－(2n＋1) ×2n ＋n ＝(1－2n) ×2n ＋n －1，

1－2

∴ S n ＝(2n－1) ×2n －n ＋1.

13. 已知数列{an }是各项均不为0的等差数列，S n 为其前n 项和，且满足a 2n ＝S 2n －1，令1

b n ＝，数列{bn }的前n 项和为T n .

a n ·a n ＋1

(1) 求数列{an }的通项公式及数列{bn }的前n 项和T n ；

(2) 是否存在正整数m ，n(1＜m ＜n) ，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n 的值；若不存在，请说明理由．

解：(1) n ＝1时，由a 21＝S 1＝a 1，且a 1≠0，得a 1＝1. 因为{an }是等差数列，所以a n ＝a 1

＋(n－1)d ＝1＋(n－1)d ，

n （n －1）n （n －1）

S n ＝na 1＋d ＝n ＋d.

22

于是由a 2n ＝S 2n －1，

得[1＋(n－1)d]2＝2n －1＋(2n－1)(n－1)d ，

即d 2n 2＋(2d－2d 2)n ＋d 2－2d ＋1＝2dn 2＋(2－3d)n ＋d －1，

2

⎧d ＝2d ，

⎪2

所以⎨2d －2d ＝2－3d ，解得d ＝2.

⎪⎩d 2－2d ＋1＝d －1，

所以a n ＝2n －1，从而b n ＝

1

a n ·a n ＋1

1111

＝＝⎛2n －1－2n ＋1

⎭（2n －1）·（2n ＋1）2⎝

11⎛1⎫11111111－1－＋⎛⎫＋…＋⎛所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎛＝＝

2⎝32⎝35⎭2⎝2n －12n ＋1⎭2⎝2n ＋1⎭n

. 2n ＋1

m 21m n ⎛(2) (解法1)T 1＝，T m ，T n ＝，若T 1，T m ，T n 成等比数列，则2m ＋1＝

3⎝⎭2m ＋12n ＋1

1n ⎫m 2n

，即 32n ＋1⎭4m ＋4m ＋16n ＋3

m 2n 3－2m ＋4m ＋1

由＝＞0，

n m 4m ＋4m ＋16n ＋3

66

即－2m 2＋4m ＋1＞0，所以1－m ＜1＋

22

*

又m ∈N ，且m ＞1，所以m ＝2，此时n ＝12.

因此，当且仅当m ＝2，n ＝12时，数列{Tn }中的T 1，T m ，T n 成等比数列．

n 11m 21

(解法2) ＜，故，即2m 2－4m －1＜0，

366n ＋34m ＋4m ＋166＋n

66

所以1－m ＜1＋(以下同上) ．

22

2

滚动练习(三)

1. 设集合U ＝Z ，A ＝{x|x2－x －2≥0，x ∈Z }，则∁U A ＝________．(用列举法表示) 答案：{0，1}

a c

2. 设△ABC 的三个内角∠A 、∠B 、∠C 所对边的长分别是a 、b 、c ，且，

cosA sinC

那么∠A ＝________.

π答案：4

a c

解析：由正弦定理＝sinA ＝cosA ，

sinA sinC

π

∴ tanA ＝1，∵ 0＜A ＜π，∴ ∠A ＝.

4

3. 已知在等差数列{an }中，a 1＋3a 8＋a 15＝60，则2a 9－a 10＝________． 答案：12

解析：由a 1＋3a 8＋a 15＝60，得5a 1＋35d ＝60，即a 8＝12，则2a 9－a 10＝a 8＝12.

4. 若函数f(x)＝3sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴的距离是2π，则ω＝________.

1答案：2

2π1

解析：由题知周期是4π，∴ .

4π2

5. 已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x)＝x 2＋x(x≥0) ，若f(4－a 2) ＞f(3a)，则实数a 的取值范围是____________．

答案：(－4，1)

⎧x ≥1，

6. 已知变量x 、y 满足条件⎨x －y ≤0，

⎪

则z ＝x ＋y 的最大值是________．

⎪⎩x ＋2y －9≤0，

答案：6

解析：本题考查线性规划知识． 7. 函数y ＝x 2(x>0)的图象在点(ak ，a 2k 为正整数，k ) 处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝____________.

答案：21

8. 若△ABC 的三个内角∠A 、∠B 、∠C 所对边的长分别为a 、b 、c ，向量m ＝(a＋c ，b －a) ，n ＝(a－c ，b) ，若m ⊥n ，则∠C ＝________．

π答案：3

a 2＋b 2－c 211

解析：∵ m ⊥n ，∴ (a＋c)(a－c) ＋b(b－a) ＝0，∴ ，∴ cosC ＝，∴ ∠

2ab 22

πC ＝.

3

9. 设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝ax ＋1，－1≤x ＜0，⎧⎪3⎛1⎫

其中a 、b ∈R . 若f ⎛⎨bx ＋2⎝2＝f ⎝2⎭，则a ＋3b 的值为________． ，0≤x ≤1，⎪⎩x ＋1

答案：－10

1

10. 已知函数f(x)＝－2＋4x －3lnx 在[t，t ＋1]上不是单调函数，则t 的取值范围是

2

__________．

答案：(0，1) ∪(2，3)

m

11. 已知函数f(x)＝lnx －(m∈R ) 在区间[1，e]上取得最大值4，则m ＝____________．

x

答案：－3e

1m

解析：f′(x)＝＋，m ≥－1时，f(x)在[1，e]上单调减，f(1)＝4，无解；－e

x x

f(x)在[1，－m]上增，在[－m ，e]上减，则f(－m) ＝4，无解；m ≤－e 时，f(x)在[1，e]上单调增，f(e)＝4，m ＝－3e.

111

12. 数列{an }满足a 1＞1，a n ＋1－1＝a n (an －1)(n∈N ＋) ，且＋…＋＝2，则a 2 013

a 1a 2a 2 012

－4a 1的最小值为____________．

7

答案：－

2

1111111

解析：由题知，a n >1，＝，

a n a n －1a n ＋1－1a n ＋1－1a n （a n －1）a n －1a n

a 1－1111113

…＋＝2，a 2 013＝1＋，a 2 013>11＞1， a 1a 2a 2 012a 1－1a 2 013－123－2a 1

13111175

1时取a 2 013－4a 1＋⎡（6－4a 1）＋6－4a ≥＋2＝－. 当且仅当a 1＝∈⎛2⎣224⎝21⎦

等号．

13. 设函数f(x)＝sinxcosx －3cos(x＋π)cosx(x∈R ) ． (1) 求f(x)的最小正周期；

π(2) 若函数y ＝f(x)的图象向右平移个单位后再向上平移个单位得到函数y ＝g(x)的

42

π

图象，求y ＝g(x)在⎡0，上的最大值．

4⎣

π113解：(1) f(x)＝＋3cos 2x ＝sin2x ＋＋cos2x) ＝sin ⎛2x ＋＋

22232⎝

2π

∴ f(x)的最小正周期为T ＝.

2

ππππ333

(2) 依题意得g(x)＝f ⎛x －⎫＝sin[2(x－) ＋]＋sin ⎛2x 3，当

43224⎭26⎝⎝

ππππ

x ∈⎡0，时，2x ⎡－，⎤，

6⎣63⎦4⎣

π13

∴ sin ⎛2x －⎫≤，

26⎭2⎝3－133∴ g(x)≤

22

π33

∴ g(x)在⎡0⎤.

24⎦⎣

14. 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元．

(1) 用d 表示a 1、a 2，并写出a n ＋1与a n 的关系式；

(2) 若公司希望经过m(m≥3) 年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示) ．

解：(1) 由题意得a 1＝2 000(1＋50%)－d ＝3 000－d ，

3

a 2＝a 1(1＋50%)－d a 1－d ，

23

a n ＋1＝a n (1＋50%)－d ＝a n －d.

2

3233⎛(2) 由(1)得a n ＝a n －1－d ＝⎝2a n －2－－d

22

33

a n －2－d ⎫－d ＝… ＝⎛⎭2⎝2n －133⎫n －2⎤3⎛3⎫2⎡⎛⎛＝⎝2a 1－d 1＋2＋…＋2

⎝⎭⎦. ⎣2⎝⎭

3⎫n －13n －1⎤⎡⎛⎛整理得a n ＝⎝2⎭(3 000－d) －2d

⎣⎝2－1⎦

3n －1⎛＝⎝2(3 000－3d) ＋2d.

3⎫m －1⎛由题意，a m ＝4 000，即⎝2⎭(3 000－3d) ＋2d ＝4 000，

m

⎡⎛3⎫－2⎤×1 000＋

1 000（3m －2m 1）⎣⎝2⎭⎦

解得d ＝＝ m

3－2⎛3－1

⎝2＋

1 000（3m －2m 1）

故该企业每年上缴资金d 的值为时，经过m(m≥3) 年企业的剩余资

3－2金为4 000万元．

15. 已知函数f(x)＝lnx －ax ＋1，a ∈R 是常数．

(1) 求函数y ＝f(x)的图象在点P(1，f(1))处的切线l 的方程； (2) 证明函数y ＝f(x)(x≠1) 的图象在直线l 的下方； (3) 讨论函数y ＝f(x)零点的个数．

1

(1) 解：f′(x)＝－a ，f(1)＝－a ＋1，k l ＝f′(1)＝1－a ，

x

所以切线l 的方程为y －f(1)＝k l (x－1) ， 即y ＝(1－a)x.

(2) 证明：令F(x)＝f(x)－(1－a)x ＝lnx －x ＋1，x ＞0，则

11

F ′(x)＝－1＝(1－x) ，解F′(x)＝0得x ＝1.

x 因为F(1)＝0即函数y ＝f(x)(x≠1) 的图象在直线l 的下方．

lnx ＋1

(3) 解：令f(x)＝lnx －ax ＋1＝0，a

x

lnx ＋11－（lnx ＋1）lnx ＋1⎫lnx

令g(x)＝，g ′(x)＝⎛′＝＝－， x x x ⎝x ⎭

则g(x)在(0，1) 上单调递增，在(1，＋∞) 上单调递减， 当x ＝1时，g(x)的最大值为g(1)＝1.

所以若a ＞1，则f(x)无零点；若f(x)有零点，则a ≤1.

若a ＝1，f(x)＝lnx －ax ＋1＝0，由(1)知f(x)有且仅有一个零点x ＝1.

若a ≤0，f(x)＝lnx －ax ＋1单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知f(x)有且仅有一个零点(或：直线y ＝ax －1与曲线y ＝lnx 有一个交点) ．

111

若0＜a ＜1，解f′(x)＝－a ＝0得x ＝，由函数的单调性得知f(x)在x ＝x a a

1⎫1f ⎛＝ln ＞0，由幂函数与对数函数单调性比较知，当x 充分大时f(x)＜0，即f(x)在单调递⎝a ⎭a

111a

，＋∞⎫有且仅有一个零点；又f ⎛＝－0，所以f(x)在单调递增区间⎛0，上有减区间⎛⎝a ⎭⎝e ⎝a e

且仅有一个零点．

综上所述，当a ＞1时，f(x)无零点；

当a ＝1或a ≤0时，f(x)有且仅有一个零点； 当0＜a ＜1时，f(x)有两个零点．

16. 设数列{an }的前n 项积为T n ，已知对 n ，m ∈N *，当n ＞m 时，－m)m

T T n －m ·q (nT m

(q＞0是常数) ．

(1) 求证：数列{an }是等比数列；

(2) 设正整数k ，m ，n(k＜m ＜n) 成等差数列，试比较T n ·T k 和(Tm ) 2的大小，并说明理由．

T －

(1) 证明：设m ＝1T n －1·q n 1，

T 1T －

因为T i ≠0(i∈N *) ，所以有a 1·q n 1，

T n －1

a －

即a n ＝a 1·q n 1，所以当n ≥2时q ，

a n －1

所以数列{an }是等比数列．

(2) 解：当q ＝1时，a n ＝a 1(n∈N *) ，所以T n ＝a n 1，

＋k n k 2m 2

所以T n ·T k ＝a n 1·a 1＝a 1＝a 1＝T m .

当q ≠1时，a n ＝a 1·q

n －1

1＋2＋…＋(n－1)

，T n ＝a 1·a 2…a n ＝a n ＝a n 1·q 1·q

k （k －1）

＋

n （n －1）

2

，

k k

所以T n ·T k ＝a n ·a 1·q ＝a n ， 1·q 1·q 22m m(m－1) T m ＝a 1·q ，

因为n ＋k ＝2m 且k ＜m ＜n ，

n 2＋k 2－n －k n 2＋k 2n ＋k 2n ＋k 2m ⎛所以a 1＝a 1，＝m ＞－m ＝m 2－m ，

22⎝22

所以若q ＞1，则T m ·T k ＞T 2m ；若0＜q ＜1，则T m ·T k ＜T m .

n （n －1）

n 2－n ＋k 2－k