线段的垂直平分线与角平分线1
线段的垂直平分线与角平分线（2）
知识要点详解
4、角平分线的性质定理：
角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图4，已知OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，
若CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB 于点D ，则CF ＝DF.
定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.
图4
5、角平分线性质定理的逆定理：
角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示：如图5，已知点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ， PD ⊥OB 于D ，若PC ＝PD ，则点P 在∠AOB 的平分线上.
定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线
注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.
6、关于三角形三条角平分线的定理：
（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.
定理的数学表示：如图6，如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 的平分线，那么：
① AP、BQ 、CR 相交于一点I ；
② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.
（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：
三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.
7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：
（1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线； （3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.
经典例题：
例1、 已知：如图，点B 、C 在∠A 的两边上，且AB=AC，P 为∠A 内一点，PB=PC， PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别是E 、F 。
求证：PE=PF
针对性练习：
已知：如图所示PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 平分线，它们交于P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ，求证：BP 为∠MBN 的平分线。
2
例2、如图10，已知在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，E 为BC
中点，连接AE 、DE ，DE 平分∠ADC ，求证：AE 平分∠BAD.
针对性练习：
图10
E
如图所示，AB=AC，BD=CD，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：DE=DF。
例3、如图11-1，已知在四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC ，且∠BAD 与∠BCD
求证：AD ＝CD.
互补，
E
图11-2
课堂练习：
1. △ABC 中，AB=AC，AC 的中垂线交AB 于E ，△EBC 的周长为20cm ，AB=2BC，则腰
长为________________。
2. 如图所示，AB//CD，O 为∠A 、∠C 的平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE=2，则AB 与CD 之间的距离等于______________。
A B
O E
C D
3
３已知：如图，∠B=∠C=900，DM 平分∠ADC ， AM 平分∠DAB 。求证： M B=MC
课后作业：
1. 如右图，已知BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 相交于点D ，若BD =CD . 求证：AD 平分∠BAC .
2. 如图所示，直线l ，，l 12l 3表示三条互相交叉的公路，现在要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A. 一处
B. 二处
C. 三处
D. 四处
l 3 l 1
l 2
4