必修一第2章指数函数
§2.1.1指数
要点：（1）根式（2）分数指数幂（3）根式与分数指数幂的转化；（4）有理指数幂；
重点、难点：分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的运算性质
a m ⋅a n =a m +n
1． 初中整数指数幂的运算性质； (a ) =a
m n
mn
（
(ab ) n =a n b n
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念
一般地，如果x =a ，那么x 叫做a 的n 次方根（n th root），其中n >1，且n ∈N ．
*
n
①当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此时，a 的n 次方根用符号a 表
示．
式子a 叫做根式（radical ），这里n 叫做根指数（radical exponent），a 叫做被开方数（radicand ）． ②当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a 的正的n 次方根用符号a 表示，负的n 次方根用符号－a 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±（a >0）．
由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0
，记作=0． 思考：
结论：当n 是奇数时，a n =a
当n 是偶数时，a n =|a |=⎨
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义
⎧a (a ≥0)
⎩-a (a
a =a m (a >0, m , n ∈N *, n >1) a
-m n
m n
=
1a
m n
=
1
a m
(a >0, m , n ∈N *, n >1)
特别的：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3指 幂的运算性质 （1）a ·a =a
r
r
r
r
r +s
(a >0, r , s ∈Q ) ； （2）(a r ) s =a rs (a >0, b >0, r ∈Q ) ．
(a >0, r , s ∈Q ) ；
（3）(ab ) =a a
s
§2.1.2指数函数及其性质
重点、难点：指数函数的的概念和性质、数形结合 （一）指数函数的概念
一般地，函数y =a x (a >0, 且a ≠1) 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．
1 指数函数的定义是一个形式定义，注意：○；
2 注意指数函数的底数的取值范围， ○
（二）指数函数的图象和性质
1．在同一坐标系中画出下列函数的图象：（
（1）y =() （2）y =() （3）y =2x （4）y =3x 2
1
3
x
12
x
利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上，f (x ) =a (a >0且a ≠1) 值域是[f (a ), f (b )]或[f (b ), f (a )]； （2）若x ≠0，则f (x ) ≠1；f (x ) 取遍所有正数当且仅当x ∈R ； （3）对于指数函数f (x ) =a (a >0且a ≠1) ，总有f (1) =a ； （4）当a >1时，若x 1
x x
指数函数考点逐一剖析
1．比较大小
例1 已知函数f (x ) =x -bx +c 满足f (1+x ) =f (1-x ) ，且f (0)=3，则f (b ) 与f (c ) 的大小关系是_____． f (3≥) f
x
x
2
x
x
(，即2f (c x ) ≥f (b x ) ．
2．求解有关指数不等式
例2 已知(a +2a +5)
3．求定义域及值域问题
例3 求函数y =
4．最值问题 例4 函数y =a a 的值是3或
例5 解方程3
x +2
23x
⎛1⎫
+∞⎪． 凑成底数相同的指数式， >(a 2+2a +5) 1-x ，则x 的取值范围是___________． ，
⎝4⎭
，)．注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响． [01
2x
，上有最大值14，则a 的值是_______． +2a x -1(a >0且a ≠1) 在区间[-11]
1
． 注：换元法，整体代入等． 3
-32-x =80．
x =2． 注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根．
6．图象变换及应用问题
例6 为了得到函数y =9⨯3x
+5的图象，可以把函数y =3x
的图象（ ）． A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度
D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度 （C ）． 练习
1、比较下列各组数的大小：
（1）若 ，比较 与 ；
（2）若 ，比较 与 ；
（3）若 ，比较 与 ；
（4）若 ，且 ，比较a 与b ；
（5）若 ，且 ，比较a 与b ．
2
曲线 分别是指数函数
,
和 的图象
,
则 与
1的大小关系是
(
(
13 下列函数的定义域与值域.(1)y＝2
x -3
; (2)y＝4x +2x+1+1.
).
今
日梧桐鸟
x+1
x
明天金凤凰
4. 已知-1≤x ≤2, 求函数f(x)=3+2·3-9的最大值和最小值
5、设
6. 已知函数
7．已知函数
，求函数 的最大值和最小值．
y =a 2x +2a x -1(a >1) 在区间[－1,1]上的最大值是
14，求a 的值. a =3 (a = －5舍去)
（ 且 ）（1）求 的最小值； （2）若 ，求 的取值范围．
8（10分）（1）已知
f (x ) =
2
+m 是奇函数，求常数m 的值；（2）画出函数y =|3x -1
|的图象，并利用图象回答：k 为何x
3-1
Ｘ
值时，方程|3－１｜＝k 无解？有一解？有两解？
9．若函数
是奇函数，求
的值．求函数y ＝
⎛1⎫⎪3⎝⎭
x 2-3x +2
的单调区间.
10. 已知9-10.3+9≤0，求函数y=（
x x
1
4
）-4·（
x-1
1
2
）+2的最大值和最小值
x
今日梧桐鸟
=2
-x 2+2x +2
明天金凤凰
11．已知
，求函数
的值域．求函数y
的定义域，值域和单调区间
a x -1
12 已知函数f(x)＝x (a>0且a ≠1).(1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性.
a +1
13、已知函数f （x ）=a－
14、定义在R 上的奇函数f (x ) 有最小正周期为2，且x ∈(0, 1) 时，f (x ) =
2
（a ∈R ），求证：①对任何a ∈R ，f （x ）为增函数．②若f （x ）为奇函数时，求a 的值。
2x +1
2x
x
4+1
在（0，1）上的单调性；（3）当λ为何值时，方程f (x ) =λ在x ∈[-1,
1]上有实数解.
（1）求f (x ) 在[－1，1]上的解析式；（2）判断f (x )
15、 函数y ＝a
｜x ｜
(a>1)的图像是( )