差分与差分方程的概念
第十章 差分方程
§10.6 差分与差分方程的概念
常系数线性差分方程解的结构
教学目的与要求:
1. 了解差分与差分方程,差分方程的阶与解(通解、特解)等基本概念。 2. 了解常系数线性差分方程的通解的结构。
教学重点(难点):常系数线性齐次差分方程解的结构。
一、差分的概念
1. 差分的定义
定义1 设函数y =y (x ) , 自变量从x 变化到x +1, 称函数的增量
∆y x =y (x +1) -y (x ) 为y (x ) 在点x 的差分, 简称为y (x ) 的差分。
记y x +1=y (x +1), y x =y (x ) ,即
∆y x =y x +1-y x , 一阶差分
称∆2y x =∆(∆y x ) =(y x +2-y x +1) -(y x +1-y x ) =y x +2-2y x +1+y x 为y (x ) 二阶差分; 称∆(∆2y x ) 为∆3y x 为三阶差分; 一般,∆y x =∆(∆
n
n -1
i
(-1) i y x +n -i . y x ) 为n 阶差分,且有∆y x =∑C n
n
i =0n
例1 已知y x =x α(x ≠0),log a x ,sin ax 求Δ(y x ). 解 Δ(y x )= (x +1) α-x α.
i
n
特别, 当n 为正整数时, Δ(y x )=
∑C
i =1
n
x n -i , 阶数降了一阶.
推论 若m, , n 为正整数时, m,> n P(x)为n 次多项式, 则∆m P (x ) =0. 例2 已知y x =a x (0
2
x +1
-a x =a x (a -1) .
例3 求∆(x ), ∆(x ), ∆(x ) 。 例4设y =x
(n )
2232
=x (x -1)(x -2) (x -n +1), x (0)=1,求∆y x (即∆(x (n ) )).
∆y x =(x +1) (n ) -x (n ) =(x +1) x (x -1) (x +1-n +1) -x (x -1) (x -n +2)(x -n +1) =[(x +1) -(x -n +1) ]x (x -1) (x -n +2)
=nx
(n -1)
2. 差分的四则运算法则
(1)∆(Cy x ) =C ∆y x (C 为常数) ; (2)∆(y x +z x ) =∆y x +∆z x ;
(3)∆(y x ⋅z x )=y x +1∆z x +z x ∆y x =y x ∆z x +z x +1∆y x
(4)∆
⎛y x ⎫z x ∆y x -y x ∆z x z x +1∆y x -y x +1∆z x
=⎪=
z z z z z x x +1x x +1⎝x ⎭
例5设y =x 3,求∆3y x .
分析:y =x 3 =x (x -1)(x -2) +3x (x -1) +x =x 注意:∆x
(n )
(3)
+3x (2)+x (1)
=nx (n -1)
解:∆3y x =∆∆(∆y x ) =∆∆(∆x (3)+3∆x (2)+∆x (1)) =∆∆[3x (2)+6x (1)+x (0)]
=∆[3∆x (2)+6∆x (1)+∆1] =6∆x (1)+6∆x (0)=6.
例6 设y =e 2x ,求∆2y x . 二、差分方程的概念
1. 差分方程与差分方程的阶
定义2:含有未知函数的差分∆y x , ∆2y x , 的函数方程称为差分方程. 形式:F (x , y x , ∆y x , ∆2y x , , ∆n y x ) =0
定义3:含有未知函数两个或两个以上时期的符号y x , y x +1, 的方程,称为差分方程.
形式:F (x , y x , y x +1, , y x +n ) =0或G (x , y x , y x -1, , y x -n ) =0(n ≥1)
或F (x , y x , y x +1, , y x +n ) =0或G (x , y x , ∆y x , , ∆n y x ) =0,2. 差分方程的解
满足差分方程的函数称为差分方程的解.
含有阶数个互相独立的任意常数的解称为差分方程的通解. 不含有任意常数的解称为差分方程的特解.
同微分方程一样也有初值问题. 初值条件也有如下情形: 一阶的如: y x
x =x 0
=y 0. 二阶的如: y x
x =x 0
=y 0, ∆y x
x =x 0
=∆y 0等等.
三、常系数线性差分方程解的结构
n 阶线性差分方程: a 0(x ) y x +n +a 1(x ) y x +n -1+ +a n (x ) y x =f (x )
f (x ) =0时为齐次的. f (x ) ≠0为非齐次的.
n 阶常系数齐次线性差分方程的标准形式
y x +n +a 1y x +n -1+ +a n -1y x +1+a n y x =0
n 阶常系数非齐次线性差分方程的标准形式
y x +n +a 1y x +n -1+ +a n -1y x +1+a n y x =f (x ) (10-1)
对于线性差分方程的解的结构有如下结论:
定理1 如果y =y 1(x ) 和y =y 2(x ) 都是方程(10-1)的解,则对任意常数C 1, C 2,
C 1y 1(x ) +C 2y 2(x ) 也是方程(10-1)的解.
(1) (2) (n )
定理2 设a 0(x ) ≠0 ,y x 是, y x ,....., y x
a 0(x ) y x +n +a 1(x ) y x +n -1+ +a n (x ) y x =0
(1) (2) (n ) 的n 个线性无关的特解,则y x =C 1y x 是它的通解. +C 2y x +..... +C n y x
定义4:线性相关、线性无关
当x ∈(-∞, +∞) 时,e x ,e -x , e 2x 线性无关
1,cos 2x , sin 2x 线性相关
(1) (2) (n )
定理 3 设a 0(x ) ≠0 ,y x 是齐次方程, y x ,....., y x
a 0(x ) y x +n +a 1(x ) y x +n -1+ +a n (x ) y x =0
的n 个线性无关的特解,y *x 是非齐次方程
a 0(x ) y x +n +a 1(x ) y x +n -1+ +a n (x ) y x =f (x )
(1) (2) (n ) 的一个特解, 则y x =C 1y x +C 2y x +..... +C n y x +y *x 是非齐次方程的通解.
(1)
定理4 设y x 是方程 a 0(x ) y x +n +a 1(x ) y x +n -1+ +a n (x ) y x =f 1(x ) 的解,
(1) (2) (2)
是方程 a 0(x ) y x +n +a 1(x ) y x +n -1+ +a n (x ) y x =f 2(x ) 的解, 则y x =y x 是方+y x y x
程a 0(x ) y x +n +a 1(x ) y x +n -1+ +a n (x ) y x =f 1(x ) +f 2(x ) 的解.
练习:
1. 设y =a x ,求∆y x . 2. 设y =x 2+2x ,求∆2y . 3. 下列等式是差分方程的有()
A 、-3y x =3y x +a x , B 、∆2y x =y x +2-2y x +1+y x , C 、y x -2y x -1+3y x -2=4, D 、y x =3.
4. 函数y =A ⋅2x +8是差分方程()的通解.A 、y x +2-3y x +1+2y x =0, B 、y x -3y x -1+2y x -2=0, C 、y x +1-2y x =-8, D 、y x +2-2y x =8.
x
四、小结
1. 差分的定义
2. 差分方程与差分方程的阶 3. 差分方程的解、定解条件和通解 4. 常系数线性差分方程解的结构
5. 证明下列各等式:
U x V x ∆U x -U x ∆V x
(1)∆(U x V x ) =U x +1∆V x +V x ∆U x ;(2)∆() =
V x V x V x +16.(1)已知y t =e -t 是方程y t +1+αy t -1=e 1-t 的一个特解,求α.
(2)设y t =2t +5是差分方程y t +1+αy t +βy t -1=20的一个特解,求常数α,β. 7. 已知y 1(t ) =2t , y 2(t ) =2t -3t 是方程y t +1+P (t ) y t =Q (t ) 的两个特解,求P (t ) ,Q (t ) .
答案:
1. a x (a -1);2.2;3. C ;4. C ;6.(1)α=1-
111t (2)α=-7, β=10,7. P (t ) =-1-, Q (t ) =(1-)22e t t