课后习题答案_第2章_逻辑代数及其化简

第2章 逻辑代数及其化简

2-1 分别将十进制数29.625，127.175和378.425转换成二进制数。 解答：

(29.625)10=(1,1101.101)2

(127.175)10=(111,1111.0010,1100,…) 2 (378.425)10=(1,0111,1010.0110,1100,…) 2

2-2 分别将二进制数101101.11010111和101011.101101转换成十进制数。 解答：

(101101.11010111)2=(45.83984375)10 (101011.101101)2=(43.703125)10

2-3 分别将二进制数100110.100111和101011101.1100111转换成十六进制数。 解答：

(100110.100111)2=(0010,0110.1001,1100)2=(26.9C)16 (101011101.1100111)2=(1,0101,1101.1100,1110)2=(15D.CE)16

2-4 分别将十六进制数3AD.6EBH 和6C2B.4A7H 转换成二进制数。 解答：

(3AD.6EB)16=(11,1010,1101.0110,1110,1011)2 (6C2B.4A7)16=(110,1100,0010,1011.0100,1010,0111)2 2-5 试用真值表法证明下列逻辑等式： (1) AB +A C +BC =AB +C (2) AB +AB +BC =AB +AB +AC (3) AB +BC +C A =AB +BC +CA (4) AB +AB +BC +AC =A +BC (5) AB +BC +CD +DA =ABCD +ABCD (6) AB +AB +ABC =A +B 证明：

(1) AB +A C +BC =AB +C

真值表如下所示：

由真值表可知，逻辑等式成立。 (2) AB +AB +BC =AB +AB +AC 真值表如下所示：

由真值表可知，逻辑等式成立。 (3) AB +BC +C A =AB +BC +CA 真值表如下所示：

由真值表可知，逻辑等式成立。 (4) AB +AB +BC +AC =A +BC 真值表如下所示：

由真值表可知，逻辑等式成立。

(5) AB +BC +CD +DA =ABCD +ABCD 真值表如下所示：

由真值表可知，逻辑等式成立。

(6) AB +AB +ABC =A +B 真值表如下所示：

由真值表可知，逻辑等式成立。

2-6 求下列各逻辑函数F 的反函数F 和对偶式F ¢: (1) F 1=A +ABC +AC

(2) F 2=(A +B )(A +AB ) C +A (B +C ) +AB +ABC (3) F 3=A +B +CD +ADB (4) F 4=AB +BD +C +AB +B +D

(5) F 5=AB +AB BC +BC (6) F 6=CD +CD +A C +DB 解答：

(1) F 1=A +ABC +AC

F 1=A (A +B +C )(A +C ) F 1' =A (A +B +C )(A +C )

(2) F 2=(A +B )(A +AB ) C +A (B +C ) +AB +ABC

F 2=(AB +AA +B +C ) A +BC (A +B )(A +B +C ) F 2' =(AB +AA +B +C ) A +BC (A +B )(A +B +C )

(3) F 3=A +B +CD +ADB

F 3=ABC +DA +D +B F 3' =ABC +D A +D +B

(4) F 4=AB +BD +C +AB +B +D

F 4=(A +B )(B +D ) C (A +B ) BD F 4' =(A +B )(B +D ) C (A +B ) BD

(5) F 5=AB +AB BC +BC

F 5=(A +B )(A +B ) +(B +C )(B +C ) F 5' =(A +B )(A +B ) +(B +C )(B +C )

(6) F 6=CD +CD +A C +DB

F 6=(C +D )(C +D )(A +C )(D +B ) F 6' =(C +D )(C +D )(A +C )(D +B )

2-7 某逻辑电路有A 、B 、C 共3个输入端，一个输出端F ，当输入信号中有奇数个1时，输出F 为1，否则输出为0，试列出此逻辑函数的真值表，写出其逻辑函数表达式，并画出逻辑电路图。 解答：

由题意可列出真值表如下：

由真值表可以得到函数表达式为：

F =ABC +ABC +ABC +ABC

逻辑电路如图T2-7所示：

C B A A B C

F

图T2-7

2-8 设计一个3人表决电路，要求：当输入A 、B 、C 中有半数以上人同意时，决议才能通过，但A 有否决权，如A 不同意，即使B 、C 都同意，决议也不能通过。 解答：

定义变量A 、B 、C ，1代表同意，0代表不同意；F 为结果，1代表通过，0代表不能通过。 由题意可列出真值表如下：

由真值表可以得到函数表达式为F =ABC +ABC +ABC ，化简可以得到F =AC +AB 。

2-9 试用代数公式法证明题2-5中的各等式。

（1）AB +A C +BC =AB +C

证明：

AB +AC +BC =AB +(A +B ) C

=AB +ABC =AB +C

（2）AB +AB +BC =AB +AB +AC 证明：

AB +AB +BC =AB +BC +AB

=AB +(BC +AC +AB ) =AB +AB +AC

（3）AB +BC +C A =AB +BC +CA 证明：

AB +BC +C A =(AB +BC ) +(BC +C A ) +(AB +C A )

=AB +BC +C A +CA +AB +BC

=(AB +CA +BC ) +(AB +BC +C A ) +(CA +BC +AB ) =AB +BC +CA

（4）AB +AB +BC +AC =A +BC 证明：

AB +AB +BC +AC =A +BC +AC

=A (1+C ) +BC =A +BC

（5）AB +BC +CD +DA =ABCD +ABCD 证明：

AB +BC +CD +DA =(A +B )(B +C )(C +D )(D +A )

=(AB +AC +BC )(CD +CA +DA ) =ABCD +ABCD

（6）AB +AB +ABC =A +B 证明：

AB +AB +ABC =AB +A +B +ABC

=(A +ABC ) +(AB +B ) =A +B

2-10 证明下列异或运算公式： (1) A ? A (2) A ? 1(3) A ? 0

A

A

(4) A ? A 1 (5) AB ? AB (6) A ? B 解答：

（1）A ⊕A =0

证明：

A

A B

A ⊕A =AA +AA =0+0=0

（2）A ⊕1=A

证明：

A ⊕1=A 1+A 1=A 0+A 1=0+1=1

（3）A ⊕0=A

证明：

A ⊕0=A 0+A 0=A 1+A 0=A

（4）A ⊕A =1

证明：

A ⊕A =AA +AA =AA +AA =A +A =1

（5）AB ⊕AB =A

证明：

AB ⊕AB =AB AB +AB AB =AB (A +B ) +(A +B ) AB =AB +AB =A

（6）A ⊕B =A ⊕B

证明：

A ⊕B =AB +AB =AB +AB =AB +AB =ABAB

=(A +B )(A +B ) =AB +AB =A ⊕B

2-11 用公式法化简下列逻辑函数为最简与或式： (1) F 1=AB +AB +AB (AB +CD ) (2) F 2=ABC +AC +ABC +AC (3) F 3=(AB +AB )(A +B ) AB (4) F 4=(A +AB )(A +BC +C ) (5) F 5=AB +ACD (B +C +D )

(6) F 6=(A +B )(A +AB ) C +A (B +C ) +AB +ABC 解答：

（1） F 1=AB +AB +AB (AB +CD ) 化简：

F 1=AB +AB +AB (AB +CD ) =A +AB (AB +CD )

（2） F 2=ABC +AC +ABC +AC 化简：

=A +B (AB +CD ) =AB (AB +CD ) =AB

F 2=ABC +AC +ABC +AC =A (BC +C ) +ABC +AC =A (B +C ) +ABC +AC =ABC +ABC +AC

=A ⊕BC +AC =(A BC ) +AC =ABC +A (B +C ) +AC =ABC +AB +AC +AC =ABC +AB +A =ABC +A =A +BC

（3） F 3=(AB +AB )(A +B ) AB 化简：

（4） F 4=(A +AB )(A +BC +C ) 化简：

（5） F 5=AB +ACD (B +C +D ) 化简：

F 3=(AB +AB )(A +B ) AB =(AB +AB ) AB =ABAB +ABAB =0+0=0

F 4=(A +AB )(A +BC +C ) =(A +B )(A +B +C ) =(A +B ) ABC =0

F 5=AB +ACD (B +C +D ) =(A +B )(A +C +D )(B +C +D ) =(AA +AC +AD +AB +BC +BD )(B +C +D ) =(AC +AB +BC +AD +BD )(B +C +D )

=(AC +AB +AD +BD )(B +C +D ) =(AC +AB +AD )(B +C +D )

=ABC +AC +ACD +AB +ABC +ABD +ABD +ACD +AD =AC +AB +AD

（6） F 6=(A +B )(A +AB ) C +A (B +C ) +AB +ABC 化简：

F 6=(A +B )(A +AB ) C +A (B +C ) +AB +ABC =(A +AB ) C +A +BC +AB +ABC

=AC +A +BC +AB +ABC =A +BC +AB =A +B +BC =A +B +C

2-12 用卡诺图化简下列逻辑函数为最简与或式： (1) F 1=(2) F 2=(3) F 3=(4) F 4=

åååå

m (3,5,6,7)

m (4,5,6,7,8,9,10,11,12,13) m (2,3,6,7,10,11,12,15) m (1,3,4,5,8,9,13,15)

(5) F 5=(6) F 6=解答：

åå

m (1,3,4,6,7,9,11,12,14,15) m (0,2,4,7,8,9,12,13,14,15)

（1） F 1=

（3,5,6,7）∑m

卡诺图：

由卡诺图可知：F 1=

（2） F 2=

（3,5,6,7）=AC +AB +BC ∑m

（4,5,6,7,8,9,10,11,12,13）∑m

卡诺图：

由卡诺图可知：F 2

（3） F 3=

+AB +AC （2,3,6,7,10,11,12,15）∑m

卡诺图：

由卡诺图可知：F 3=

（4） F 4=

（2,3,6,7,10,11,12,15）=ABCD +A C +BC +CD ∑m

（1，3，4,5,8,9,13,15）∑m

卡诺图：

由卡诺图可知：F 4=（5） F 5=

（1，3，4,5,8,9,13,15）=ABD +ABC +ABD +ABC ∑m

（1，3，4,6,7,9,11,12,14，15）∑m

卡诺图：

由卡诺图可知：F 5=

（6） F 6=

（1，3，4,6,7,9,11,12,14，15）=BD +BD +CD ∑m

（0，2，4,7,8,9,12,13,14,15）∑m

卡诺图：

10

由卡诺图可知：

F 6=∑m （0，2，4,7,8,9,12,13,14,15）=AB +AC +CD +ABC +BCD 2-13 对具有无关项AB +AC =0的下列逻辑函数进行化简： (1) F 1=AC +AB (2) F 2=A C +AB

(3) F 3=ABC +ABD +ABD +ABCD (4) F 4=BCD +ABCD +ABC +ABD （5）F 5=ACD +ABCD +ABD +ABCD (6) F 6=BCD +ABCD +ABCD

解答：

（1） F 1=AC +AB

F 1=AC +AB =AC +AB +AB +AC =AC +B +AC

（2） F 2=A C +AB

解：

F 2=A C +AB =A C +AB +AB +AC =B +C

F 3=ABC +ABD +ABD +ABCD +AB +AC =ABC +AB +ABCD +AB +AC =ABC +B +ABCD +AC =AC +B +ACD +AC =B +C +ACD =B +C +AD

（3） F 3=AB C +ABD +ABD +ABCD

（4） F 4=BCD +ABCD +ABC +ABD

F 4=BCD +ABCD +ABC +ABD

=BCD +ABCD +ABC +ABD +AB +AC

=BCD +ACD +ABC +ABD +AB +AC =ABCD +ACBD +ABC +AB +AC =AB +CD +AC +BD +ABC =CD +BD +ABC

（5） F 5=ACD +ABCD +ABD +ABCD

F 5=ACD +ABCD +ABD +ABCD

=ACD +ABCD +ABD +ABCD +AB +AC =ACD +ABD +ABD +ABCD +AB +AC

=ACD +AD +ABCD +AB +AC =AD +ABCD +AB +AC =AD +BCD +AB +AC =AD +BCD

（6） F 6=BCD +ABCD +ABCD

F 6=BCD +ABCD +ABCD

=BCD +ABCD +ABCD +AB +AC

=BCD +AB +BCD +AC +ABD =BCD +AB +AD +BCD +AC =BCD +BCD +AD

2-14 化简下列具有无关项Æ的逻辑函数： (1) F 1=(2) F 2=(3) F 3=(4) F 4=(5) F 5=(6) F 6=解答：

（1）F 1=

邋m (0,1,3,5,8) +

(10,11,12,13,14,15)

(10,11,12,13,14,15) (5,6,8,9,10,11) (1,5,6,9,10,11,12) (1,2,3,9,10,11) (5,7,13,15)

邋m (0,1,2,3,4,7,8,9) +邋m (2,3,4,7,12,13,14)+邋m (0,2,7,8,13,15)+邋m (0,4,6,8,13)+邋m (0,2,6,8,10,14)+

∑m (0,1,3,5,8) +∑φ(10,11,12,13,14,15)

卡诺图如图所示：

由卡诺图可知：F 1=ABD +BCD +BCD

（2）F 2=

∑m (0,1,2,3,4,7,8,9) +∑φ(10,11,12,13,14,15)

卡诺图如图所示：

由卡诺图可知：F 2=B +CD +CD

（3）F 3=

∑m (2,3,4,7,12,13,14)+∑φ(5,6,8,9,10,11)

卡诺图如图所示：

由卡诺图可知：F 3=AC +A C +BD

（4）F 4=

∑m (0,2,7,8,13,15)+∑φ(1,5,6,9,10,11,12)

卡诺图如图所示：

由卡诺图可知：F 4=BD +BD

（5）F 5=

∑m (0,4,6,8,13)+∑φ(1,2,3,9,10,11)

卡诺图如图所示：

（6）F 6=

由卡诺图可知：F 5=B +AD +ACD

∑m (0,2,6,8,10,14)+∑φ(5,7,13,15)

卡诺图如图所示：

由卡诺图可知：F 6=BD +CD

2-15 用Multism2001将下列逻辑函数式化简为与或形式。

'

(1)Y(A，B ，C ，D ，E)=ABCD ' E ' +A ' B ' D ' E +AC ' DE +AC (BE +C ' D ) ' ) '

(2)Y(A，B ，C ，D ，E)=∑m(0，4，11，15，16，19，20，23，27，31)

(3)Y(A，B ，C ，D ，E)=∑m(1，3，5，8，9，12，13，18，19，22，23，24，25，28，29)

(4)Y(A，B ，C ，D ，E ，F)=∑m(0，4，8，11，12，15，16，17，20，21，27，31，32，36，59，63)

(5)Y(A，B ，C ，D ，E ，F)= ∑m(3，7，9，11，13，15，16，19，27，29，36，41，43，45，47，48)

(6)Y(A，B ，C ，D ，E ，F)= ∑m(0，4，9，11，15，25，27，31，32，41，45，53，59，63) +∑Φ(13，29，36，43，47，57，61) 解答：

(1)

F (A , B , C , D , E ) =ABCD ' E ' +A ' B ' D ' E +AC ' DE +A ' C (BE +C ' D ')'

在Logic Convert底部的逻辑表达式框内输入函数表达式，先得到对应真值表，再对真值表进行

化简，可以得到最简与或形式：

F (A , B , C , D , E ) =A ' B ' D ' E +A ' B ' C +A ' CE ' +AC ' DE +BCD ' E '

即F (A , B , C , D , E ) =ABDE +ABC +A CE +ACDE +BCDE (2)

F (A , B , C , D , E ) =∑m (0,4,11,15,16,19,20,23,27,31)

在Logic Convert对应真值表中的最小项设置为1，对真值表进行简化，可以得到最简与或形式：

(3)

F (A , B , C , D , E ) =B ' D ' E ' +ADE +BDE

即：F (A , B , C , D , E ) =BDE +ADE +BDE

F (A , B , C , D , E ) =∑m (1,3,5,8,9,12,13,18,19,22,23,24,25,28,29)

在Logic Convert对应真值表中的最小项设置为1，对真值表进行简化，可以得到最简与或形式：

F (A , B , C , D , E ) =A ' B ' C ' E +A ' D ' E +AB ' D +BD '

即F (A , B , C , D , E ) =ABCE +ADE +ABD +BD (4)

F (A , B , C , D , E ) =∑m (0,4,8,11,12,15,16,17,20,21,27,31,32,36,59,63)

在Logic Convert对应真值表中的最小项设置为1，对真值表进行简化，可以得到最简与或形式：

(5)

F (A , B , C , D , E ) =A ' B ' E ' F ' +A ' BC ' E ' +A ' CEF +B ' C ' E ' F ' +BCEF

即F (A , B , C , D , E ) =ABEF +ABCE +A CEF +BCEF +BCEF

F (A , B , C , D , E ) =∑m (3,7,9,11,13,15,16,19,27,29,36,41,43,45,47,48)

在Logic Convert对应真值表中的最小项设置为1，对真值表进行简化，可以得到最简与或形式：

F (A , B , C , D , E ) =A ' B ' EF +A ' D ' EF +A ' CDE ' F +AB ' C ' DE ' F ' +B ' CF +BC ' D ' E ' F '

即：F (A , B , C , D , E ) =A ' B ' EF +ADEF +A CDEF +ABCDEF +BCF +BCDEF

(6)

F (A , B , C , D , E ) =∑m (0,4,9,11,15,25,27,31,32,41,45,53,59,63)

+∑φ(13,29,36,43,47,57,61)

在Logic Convert对应真值表中的最小项设置为1，将无关项设置为×对真值表进行简化，可以得到最简与或形式：

F (A , B , C , D , E ) =B ' C ' E ' F ' +ABDE ' F +CF

即：F (A , B , C , D , E ) =BCEF +ABDEF +CF