057古典概率教案
古 典 概 型
【高考要求】
1、理解古典概型及其概率计算公式。
2、会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
【知识回顾】
1、基本事件:试验中不能再分的最简单的随机事件。每次试验只出现其中的一个基本事件。
基本事件的特点:(1)任何两个基本事件是互斥的;
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。
2、具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概率。
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;
(2)每个基本事件出现的可能性相等;
3、古典概型的概率计算公式:P(A)=A包含的基本事件个数 总的基本事件个数
4、求古典概型的概率的步骤:
(1)判断是否为古典概型;(2)若是古典概型,求出总的基本事件数n;
(3)求出事件A所包含的基本事件m,然后利用公式P(A)
注意:(1)所有的基本事件必须是互斥的;
(2)求m值时,要做到不重不漏. m。 n
【基础练习】
1.(07广东文)在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数字
外完全相同.现从中随机取出2个小球,则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( A )
3111 B. C. D. 1051012
12.(08江苏) 一个骰子连续投2 次,点数和为4 的概率 . 12A.
3.在50瓶饮料中,有3瓶已经过期了,从中任取一瓶,取得已过期的饮料的概率为
4.(2009江苏卷)现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中
一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3m的概率为 0.2 .
【解析】 考查等可能事件的概率知识。从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10,
它们的长度恰好相差0.3m的事件数为2,分别是:2.5和2.8,2.6和2.9,所求概率为0.2。
【典例分析】
例1 (2009福建卷文)袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个,现一次有放回地随机摸取3次,
每次摸取一个球.
(Ⅰ)试问:一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果;
(Ⅱ)若摸到红球时得2分,摸到黑球时得1分,求3次摸球所得总分为5的概率。
解:(I)一共有8种不同的结果,列举如下:(红、红、红、)、(红、红、黑)、(红、黑、红)、(红、
黑、黑)、(黑、红、红)、(黑、红、黑)、(黑、黑、红)、(黑、黑、黑)
(Ⅱ)记“3次摸球所得总分为5”为事件A
事件A包含的基本事件为:(红、红、黑)、(红、黑、红)、(黑、红、红)事件A包含的基本事件数
为3由(I)可知,基本事件总数为8,所以事件A的概率P(A)=38
例2 盒中装有一打(12个)乒乓球,其中9个新的,3个旧的(用过的球即为旧的),从盒中任取3
个使用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数是4的概率
解:
P=2C19C3
3C12=27; 220
例3 已知集合{-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8},从中任取两个数x,y作为点的坐标(x,y)。求:
(1)(x,y)不在x轴上的概率;
(2)点(x,y)在第二象限的概率.
解:基本事件的总数为 10×9=90
(1)记点(x,y)不在x轴上为事件A,则事件A共有81个基本事件,则
P(A)=81/90=9/10∴点(x,y)不在x轴上的概率为9/10
(2)记点(x,y)在第二象限为事件B,事件B共有20个基本事件,则
P(B)=20/90=2/9,即点(x,y)正好在第二象限的概率为2/9。
点评:解题时要先根据古典概型的两个条件有限性(结果只有有限个)和等可能性(每个结果发生
的概率一样)判断此题是否属于古典概型,然后再利用古典概型的概率公式求解. 求复杂事件的概率常用方法是先求其对立事件的概率,然后利用公式P(A)=1-P(A)求所
例4、一个盒子中装有完全相同的9个小球,分别标有1~9这九个数字,今随机抽出两个小球,如
果(1)小球是不放回的;(2)小球是有放回的。求这两个小球的数字是相邻的概率。
解:随机抽取两个小球,记事件A为“两个小球上的数字为相邻整数”可能结果为(1,2),(2,
3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),(7,8),(8,9),(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,
5),(7,6),(8,7),(9,8)共16个基本事件;
(1)如果小球是不放回的,按抽取顺序记录结果(x,y),则x有9种,y有8种,共72种,则P(A)
=16/72=2/9
(2)如果小球是放回的,则共有81种结果,则P(A)=16/81.
【课后作业】
1、若连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点的坐标,则点P落在圆x2+y2=16内的概率
为( D )
A、1/20 B、4/5 C、1/14 D、2/9
2、有数学、物理、化学、历史、政治五本课本,从中任取一本,取到理料课本的概率是3 。 53、(2011广东理6)甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军,乙队需
要再赢两局才能得冠军,若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为( D )
A.132 B. C. 253D.3 4
4.(2011湖北理7)如图,用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统。当K正常工作且A1、A2
A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8,至少有一个正常工作时,系统正常工作,已知K、
则系统正常工作的概率为( B
)
A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576
5.(2011浙江理9)有5本不同的书,其中语文书2本,数学书2本,物理书1本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上,则同一科目的书都不相邻的概率( B )
A.123 B. C. 555D.4 5
6. 考察正方体6个面的中心,甲从这6个点中任意选两个点连成直线,乙也从这6个点中任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( D ) A. 1234 B. C. D. 75757575
[解析] 如图,甲从这6个点中任意选两个点连成直线,乙也
从这6个点中任意选两个点连成直线,共有C⋅C=15⨯15=225
种不同取法,其中所得的两条直线相互平行但不重合有 2626 ∙B C ∙ ∙F ∙D ∙ E ∙ A
AC//DB,AD//CB,AE//BF,AF//BE,CE//FD,CF//ED
共12对,所以所求概率为p=124=,选D 22575
7.从数字1,2,3,4中任取2个,组成没有重复的二位数,计算:
(1)这个二位数是偶数的概率;
(2)这个二位数大于20的概率。
解:基本事件的总数为4×3=12(个)
(1)记“二位数为偶数”为事件A,则A中含有基本事件数为6,故P(A)=
(2)记“二位数大于20”为事件B,易得P(B)=1; 23. 4
8.(08广东文)某初级中学共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表.
已知在全校学生中随机抽取1名,抽到初二年级女生
的概率是0.19 . (1)求x的值; (2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生, 问
应在初三年级抽取多少名?
(3)已知y≥245,z≥245,求初三年级中女生比男生多的概率。
x=0.19,解得x=380, 2000
(2)初三年级人数为y+z=2000-(373+377+380+370)=500,设应在初三年级抽取m人,则m48=,解得m=12.答: 应在初三年级抽取12名. 5002000
(3)设初三年级女生比男生多的事件为A,初三年级女生和男生数记为数对(y,z),由(2)知y+z=500,(y,z∈N,y≥245,z≥245),则基本事件总数有:
(245,255),(246,254),(247,253),(248,252),(249,251),(250,250),(251,249),(252,248),(253,247),(254,246),(255,245)共11个,
而事件A包含的基本事件有:(251,249),(252,248),(253,247),(254,246),(255,245)共5个,5∴P(A)=. 11解: (1)由
9. (2011·山东)甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率;
(2)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一学校的概率.
解 (1)甲校两男教师分别用A、B表示,女教师用C表示;乙校男教师用D表示,两女教师分别用E、F表示.
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为:
(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),共9种.
从中选出的2名教师性别相同的结果为:(A,D),(B,D),(C,E),(C,F),共4种.所以选出的2
4名教师性别相同的概率为9
(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为:
(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15种.
从中选出的2名教师来自同一学校的结果为:(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F),共6种.
62所以选出的2名教师来自同一学校的概率为155