三重积分的计算方法小结与例题
三重积分的计算方法介绍:
三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分(一重积分)和一个二重积分。从顺序看:
如果先做定积分f(x,y,z)dz,再做二重积分F(x,y)d,就是“投
z1z2
D
影法”,也即“先一后二”。步骤为:找及在xoy面投影域D。多D上一点(x,y)“穿线”确定z的积分限,完成了“先一”这一步(定积分);进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分,完成“后二”这一步。f(x,y,z)dv[f(x,y,z)dz]d
D
z1z2
如果先做二重积分f(x,y,z)d再做定积分F(z)dz,就是“截面
Dz
c2
c1
法”,也即“先二后一”。步骤为:确定位于平面zc1与zc2之间,即z[c1,c2],过z作平行于xoy面的平面截,截面Dz。区域Dz的边界曲面都是z的函数。计算区域Dz上的二重积分f(x,y,z)d,完成
Dz
了“先二”这一步(二重积分);进而计算定积分F(z)dz,完成“后
c1
c2
一”这一步。f(x,y,z)dv[f(x,y,z)d]dz
c1Dz
c2
当被积函数f(z)仅为z的函数(与x,y无关),且Dz的面积(z)容易求出时,“截面法”尤为方便。
为了简化积分的计算,还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑:将积分区域投影到xoy面,得投影区域D(平面)
(1) D是X型或Y型,可选择直角坐标系计算(当的边界曲
面中有较多的平面时,常用直角坐标系计算)
(2) D是圆域(或其部分),且被积函数形如f(x2y2),f()时,
可选择柱面坐标系计算(当为圆柱体或圆锥体时,常用柱面坐标计算)
(3)是球体或球顶锥体,且被积函数形如f(x2y2z2)时,
可选择球面坐标系计算
以上是一般常见的三重积分的计算方法。对向其它坐标面投影或不易作出的情形不赘述。
y
x
三重积分的计算方法小结:
1.对三重积分,采用“投影法”还是“截面法”,要视积分域及被积函数f(x,y,z)
的情况选取。
一般地,投影法(先一后二):较直观易掌握;
截面法(先二后一): Dz是在z处的截面,其边界曲线方
程易写错,故较难一些。
特殊地,对Dz积分时,f(x,y,z)与x,y无关,可直接计算SDz。因而
中只要z[a,b], 且f(x,y,z)仅含z时,选取“截面法”更佳。
2.对坐标系的选取,当为柱体,锥体,或由柱面,锥面,旋转抛物面与其它曲
面所围成的形体;被积函数为仅含z或zf(x2y2)时,可考虑用柱面坐标计算。
三重积分的计算方法例题:
补例1:计算三重积分Izdxdydz,其中为平面xyz1与三个坐标面
x0,y0,z0围成的闭区域。
解1“投影法” 1.画出及在xoy面投影域D. 2. “穿线”0z1xy
X型 D:
0x10y1x
0x1
∴:0y1x
0z1xy
3.计算
1
1x
1xy
1
1x
Izdxdydzdxdy
1
zdzdx
111x(1xy)2dy[(1x)2y(1x)y2y3]10dx2203
1
11311
(1x)3dx[xx2x3x4]1 0
6062424
解2“截面法”1.画出。2. z[0,1] 过点z作垂直于z轴的平面截得Dz。
Dz是两直角边为x,y的直角三角形,x1z,y1z 3.计算
1
1
1
Izdxdydz[zdxdy]dzz[dxdy]dzzSDzdz
Dz
Dz
1111
z(xy)dzz(1z)(1z)dz(z2z2z3)dz
22202400
补例2:计算x2y2dv,其中是x2y2z2和z=1围成的闭区域。 解1“投影法”
zx22y2
1.画出及在xoy面投影域D. 由z1消去z,
111
得x2y21即D:x2y21
2. “穿线”x2y2z1,
1x1
X型 D: 22
xyx1x1
∴ :x2yx2
22xyz1
3.计算
1
1x
1
1
x2
x2y2dvdx
1
dy
2
1xxy
2
2
x2y2dzdx
1
x2
x2y2(1x2y2)dy
6
注:可用柱坐标计算。
解2“截面法”
1.画出。 2. z[0,1] 过点z作垂直于z轴的平面截得Dz:x2y2z2
02
Dz:
0rz
02
用柱坐标计算 :0rz
0z1
3.计算
1
xydv[
0Dz
22
12z
xydxdy]dz[drdr]dz2[r3]0dzz3dz
33060000
2
2
2
12z11
补例3:化三重积分If(x,y,z)dxdydz为三次积分,其中:
zx22y2及z2x2所围成的闭区域。
解:1.画出及在xoy面上的投影域D.
22
zx2y2由 消去z,得x2y21 z2x
即D: x2y21
2.“穿线” x22y2z2x2
1x1
X型 D: 22
xyx
1x1
:x2yx2
x22y2z2x2
1
x2
2x2
3.计算 If(x,y,z)dxdydzdx
1
1x2
dy
x22y2
f(x,y,z)dz
注:当f(x,y,z)为已知的解析式时可用柱坐标计算。
补例4:计算zdv,其中为z6x2y2及zx2y2所围成的闭区域。
解1“投影法”
1.画出及在xoy面投影域D, 用柱坐标计算
xrcos
由yrsin 化的边界曲面方程为:z=6-r2,z=r
zzz6r202
得r2 ∴D:r2 即2.解
0r2zr
“穿线”
02
rz6r2 ∴:0r2
rz6r2
2
2
6r2
2
6r2
3.计算
2
zdv[
D
r
zdz]rdrddrdr
r
1r2
zdz2r[z2]6dr r
20
2
22
2
r[(6r)r]dr(36r13r2r5)dr
92
。 3
解2“截面法”
1.画出。如图:由z6r2及zr围成。 2. z[0,6][0,2][2,6]
12
1由z=r与z=2围成; z[0,2],Dz:rz
02
1:0rz
0z2
2由z=2与z=6r2围成; z[2,6],Dz:rz
02
2:0r6z
2z6
2
6
3.计算
=zdvzdvz[rdrd]dzz[rdrd]dz zdv
1
2
Dz1
2
Dz2
2
6
2
2
6
2
2
3
6
zSDz1dzzSDz2dzz[(z)]dzz[(6z)]dzzdz(6zz2)dz
2
2
2
92
3
注:被积函数z是柱坐标中的第三个变量,不能用第二个坐标r代换。
补例5:计算(x2y2)dv,其中由不等式0ax2y2z2A,z0所
确定。
xcossin
解:用球坐标计算。由ysinsin得的边界曲面的球坐标方程:aA
zcos
P,连结OP=,其与z轴正向的夹角为,OP=。P在xoy面的投影为P,连结OP,其与x轴正向的 夹角为。
∴:aA,0,02
2
2
2
2
2
A
2
2
2
2
15A3
(xy)dvdd(sin)sind2sin[]ad =500a0
225252455
(Aa)sin3d(Aa5)1(Aa5) =553150
三重积分的计算方法练习
(x2y2)dv,1. 计算其中是旋转面x2y22z与平面z=2,z=8所围
成的闭区域。
2. 计算(xz)dv,其中是锥面zx2y2与球面zx2y2所
围成的闭区域。
为了检测三重积分计算的掌握情况,请同学们按照例题的格式,独立完成以上的练习,答案后续。