圆中阴影部分面积的计算
圆中阴影部分面积的计算
圆中阴影部分不是一个规则图形,不能用公式直接求解。所以考虑将它分割为可求图形的面积求解,下面谈谈求解阴影部分面积的方法。
例1 如图1,A 是半径为2的⊙O 外一点,OA =4,AB 是⊙O 的切线,点B 是切点,弦BC ∥OA ,连结AC ,求图中阴影部分的面积。
分析:图中阴影部分可看作弓形BC 面积与三角形ABC 面积的
和,而△ABC 不是Rt △,所以考虑借助OA ∥BC 将△ABC 移形,
连接OC 、OB ,则S △OCB =S △ACB 。
则阴影部分面积为扇形AOB 面积。
解 连接OB 、OC ,如图2因为BC ∥OA
所以△ABC 与△OBC 在BC 上的高相等
所以S ∆ABC =S ∆OBC , 所以S 阴=S 扇形
又∵AB 是⊙O 的切线
所以OB ⊥AB ,而OB =2,OA =4
所以∠AOB =60°,
由BC ∥OA 得∠OBC =60°
所以△OBC 为等边三角形,∠BOC =60°
S 扇形B =C 60π×23602 O =23π
例2 如图3,扇形AOB 的圆心角为直角,若OA =4,以AB 为直径作半圆,求阴影部分的面积。
分析 图3中阴影部分面积为:
以AB 为直径的半圆面积减去弓形AmB 面积;
而弓形面积等于扇形AOB 面积减去△AOB 面积。
解 ∵OA =4cm ,∠O =90°,OB =4cm
∴S 扇形AOB =90π⨯43602=4π(cm ) 2
又AB =42(cm )
π(⋅22)
22 所以S 半圆==4π(cm ) 2
22 而S ∆AOB =8(cm ), 所以S 弓形=(4π-8) cm
2 故S 阴=S 半圆-S 弓形=4π-(4π-8) =8cm
例3 如图4,⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 、⊙E 相外离,它们的半径都是1,顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE ,则图中五个扇形(阴影部分)的面积之和是多少?
分析 五个扇形的圆心角分别为
n 1°,n 2°,n 3°,n 4°,n 5°
而n 1+n 2+n 3+n 4+n 5=540°
解 设这个五个扇形的圆心角的度数分别为
n 1, n 2, n 3, n 4, n 5。
∵五边形ABCDE 内和角等于540° 则n 1+n 2+n 3+n 4+n 5=540
五个扇形面积之和等于
=S 扇形1+S 扇形2+S 扇形3+S 扇形4+S 扇形5 2n 1πr 2
=3602+n 2πr 3602+n 3πr 3602+n 4πr 3602+n 5πr 360 πr (n 1+n 2+n 3+n 4+n 5)
360
3
2 = π
例4 如图5,在两个半圆中,大圆的弦MN 与小圆相切于点D ,MN ∥AB ,MN =8cm ,ON 、CD 分别是两圆的半径,求阴影部分的面积。
分析 S 阴=S 半圆⊙O -S 半圆⊙C
所以关键是求⊙O 半径OB 或OM 或ON
⊙C 半径AC 或CO 或CD
而MN 为⊙C 切线,CD ⊥MN 且CD 为⊙C 半径
解 如图6过O 作OE ⊥MN 于E ,则OE 平分MN
M E =E N =1
2M N =4cm
∵MN ∥AB 可得四边形EOCD 为矩形
所以OE =CD ,连接ON
在Rt △EON 中
ON -OE
ON =4
S 阴=1222=EN 22=16 2π(O N -O E ) =1
2π×16=8π
求组合图形的面积一般要构造出易解决问题的基本图形,然后求出各图形的面积,最后
通过面积的加、减得出结论
.