数学分析试题大一下
数学分析期中试题
一. 解下列各题（每小题6分） 1. 求极限lim
n →∞
(1+
1n
+
1n
2
)
n
.
d dx
f (arctan
1x ) =
1x
2.. 已知f 是可导函数, 且3. 求出f (x ) =4. 已知lim
x →+∞
，求f '(
π
4
) .
ln |x |x -3x +2
2
的间断点，并指出是第几类间断点.
试确定其中常数a , b .
(3x -ax
2
+bx +1) =2,
二. 解下列各题（每小题7分） 1.
⎧x =t -ln(1+t ) 设⎨, 32
y =t +t ⎩
求
d y dx
2
2
.
=ax
4
2. 试确定常数a , b 的值, 使点(1, 3) 是曲线y 曲线的凹凸区间. 3. 求由方程x -4. 已知lim x →0
y +
12
+bx
3
的拐点, 并求出
sin y =0所确定的隐函数y =y (x ) 的二阶导数.
+f (x ) sin 2x -1
e
3x
-1
=2，求lim f (x ) .
x →0
三.(9分) 设数列{x n }满足-1
{x n }
x 0
, x n +1=x n +2x n (n =0, 1, 2, ) ,
2证明
x n . 收敛, 并求lim n →∞
⎧f (x ) ⎪,
g (x ) =⎨x
⎪⎩f '(0),
x ≠0x =0
四.(9分) 设f (x ) 有二阶连续导数,
g '(x ) 并讨论g '(x ) 的连续性.
f (0) =0,
，求
五. (9分) 一个体积给定的观察站底部是一个直圆柱, 顶部是一个
半球形, 如果顶部单位面积的造价是侧面单位面积造价的二倍, 问圆柱的底半径r 与高h 分别为多少时可使总造价最低? 六.(8分）证明，当x
>1时，ln x ≥
x -1x +1
x
2
.
与cx k 是等价无穷小, 求c 与k
七. (9分）(1)已知当x →0时, 的值;
x
2
cos x -e
(2)求极限lim
x →0
2
+1-
x
2
+x
2
(cosx -e ) sin x
2
.
f '(x ) ≠0
八.(4分) 设f (x ) 在[a , b ]上连续, 在(a , b ) 内可导,
ξ, η∈(a , b ) ,
, 证明存在
使
f '(ξ) f '(η)
=
e -e b -a
b a
e
-η
.