三角形难题(有答案)
1、已知，如图1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD
平分∠ABC。
求证：∠BAD+∠BCD=180°。
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，
∴∠DAE=∠DCF。
又∠BAD+∠DAE=180°，
∴∠BAD+∠DCF=180°，
即∠BAD+∠BCD=180
2、已知，如图2，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC
于点D，AB+BC=2BD。
求证：∠BAP+∠BCP=180°。、
∴Rt△APE≌Rt△CPD(SAS)，
∴∠PAE=∠PCD
又∵∠BAP+∠PAE=180°。 ∴∠BAP+
∠BCP=180°
3.AD是△ABC的BC边上的中线，求证AB+AC>2AD
∴△ACD≌△EBD（SAS）
∴BE=CA（全等三角形对应边相等）
∵在△ABE中有：AB+BE>AE（三角形两边之和大于第三边） ∴AB+AC>2AD。
4.如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE= EF，求证：AC= BF.
∴ △ADC≌△HDB(SAS)
∴ AC=BH， ∠H=∠HAC
∵ EA=EF
∴ ∠HAE=∠AFE
又∵ ∠BFH=∠AFE
∴BH=BF ∴BF=AC
5.
如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA=BC，EB=AC，FC=AB，∠AFB=51°,则∠DFE= ．
6. 一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下右图形式，使点B、F、C、D 在同一条直线上
(1)求证：AB⊥ED
(2)若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明
7. 如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠α的度数为 80° 。
解：∵∠1：∠2：∠3=28：5：3，
∴设∠1=28x，∠2=5x，∠3=3x，
由∠1+∠2+∠3=180°得：
28x+5x+3x=180°，
解得x=5，
故∠1=28×5=140°，∠2=5×5=25°，∠3=3×5=15°，
∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的， ∴∠DCA=∠E=∠3=15°，∠2=∠EBA=∠D=25°，∠4=∠EBA+∠E=25°+15°=40°， ∠5=∠2+∠3=25°+15°=40°，
故∠EAC=∠4+∠5=40°+40°=80°，
在△EGF与△CAF中，∠E=∠DCA，∠DFE=∠CFA，
∴△EGF∽△CAF，
∴α=∠EAC=80°．
故填80°．
8.如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠
BAE=36°，那么∠BED=___126°___
已知AE平分∠BAC，ED∥AC，根据两直线平行同旁内角互补，
可求得∠DEA的度数，再由三角形外角和为360°求得∠BED度
数．
解：∵AE平分∠BAC
∴∠BAE=∠CAE=36°
∵ED∥AC
∴∠CAE+∠DEA=180°
∴∠DEA=180°-36°=144°
∵∠AED+∠AEB+∠BED=360°
∴∠BED=360°-144°-90°=126°．
故答案为126°．
9.如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，则五边形ABCDE的面积为
．
延长DE到F，使EF=BC，连接AC，AD，AF，利用SAS
得到三角形ABC与三角形AEF全等，利用全等三角形的
对应边相等得到AC=AF，根据CD=BC+DE，EF=BC，等
量代换得到CD=DF，利用SSS得到三角形ACD与三角形
AFD全等，根据三角形ABC与三角形AEF全等，得到五
边形ABCDE等于三角形ADF的2倍，求出即可．
解：延长DE到F，使EF=BC，连接AC，AD，AF，
在△ABC和△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴AC=AF，
∵CD=BC+DE，EF=BC，
∴CD=DF，
在△ACD和△AFD中，
，
∴△ACD≌△AFD（SSS），
∵△ABC≌△AEF，
∴S△ABC=S△AEF，
∴S五边形ABCDE=S△ABC+S四边形AEDC=S△AEF+S四边形AEDC=2S△ADF，
∵AB=CD=AE=2，∠AED=90°，
∴S△ADF=2，
则S五边形ABCDE=4．
故答案为：4
10.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，
AD、CE分别
平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD．
证明：在AC上取AF=AE，连接OF，
∵AD平分∠BAC、 ∴∠EAO=∠FAO，
在△AEO与△AFO中，
∴△AEO≌△AFO（SAS），
∴∠AOE=∠AOF；
∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，
∴∠ECA+∠DAC=∠ACB+∠BAC=（∠ACB+∠BAC）=（180°-∠B）=60° 则∠AOC=180°-∠ECA-∠DAC=120°；
∴∠AOC=∠DOE=120°，∠AOE=∠COD=∠AOF=60°，
则∠COF=60°，
∴∠COD=∠COF，
∴在△FOC与△DOC中，，
∴△FOC≌△DOC（ASA），
∴DC=FC，
∵AC=AF+FC，
∴AC=AE+CD．
11.如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，DE⊥DF，
试判断BE+CF 与EF 的大小关
系，并证明你的结论．
12．如图，已知∠ABC=∠DBE=90°，DB=BE，AB=BC．(1)求证：AD=CE，AD⊥CE
(2)若△DBE绕点B旋转到△ABC外部，其他条件不变，则(1)中结论是否仍成立?请证明
∵∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠ABC-∠CBD=∠DBE-∠DBC，
即∠ABD=∠CBE．
在△ABD和△CBE中
AB＝BC
∠ABD＝∠CBE
BD＝BE ，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∵AD=CE，∠BAD=∠BCE．
∵∠AGB与∠CGF是对顶角，
∴∠AGB=∠CGF．
∵∠BAD+∠AGB=90°， ∴∠GCF+∠CGF=90°， ∴∠CFG=90°，
∴AD⊥CE；
（2）AD=CE，AD⊥CE，理由如下 如图2：
∵∠ABC=∠DBE=90°， ，
∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠DBC， 即∠ABD=∠CBE．
在△ABD和△CBE中
AB＝BC
∠ABD＝∠CBE
BD＝BE ，
∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∵AD=CE，∠BAD=∠BCE． ∵∠AGB与∠CGF是对顶角， ∴∠AGB=∠CGF．
∵∠BAD+∠AGB=90°， ∴∠GCF+∠CGF=90°， ∴∠CFG=90°，
∴AD⊥CE．