2016年浙江省丽水市中考数学试卷

2016年浙江省丽水市中考数学试卷

一、选择题：每小题3分，共30分

1．（3分）（2016•丽水）下列四个数中，与﹣2的和为0的数是（ ）

A ．﹣2 B ．2 C ．0 D ．﹣

2﹣12．（3分）（2016•丽水）计算3×3的结果是（ ）

A ．3 B ．﹣3 C ．2 D ．﹣2

3．（3分）（2016•丽水）下列图形中，属于立体图形的是（ ）

A ． B ． C ． D ．

4．（3分）（2016•丽水）+的运算结果正确的是（ ）

A ． B ． C ． D ．a+b

5．（3分）（2016•丽水）某校对全体学生开展心理健康知识测试，七、八、九三个年级共有

B ．八年级的学生人数为262名

C ．八年级的合格率高于全校的合格率

D ．九年级的合格人数最少

6．（3分）（2016•

丽水）下列一元二次方程没有实数根的是（ ）

A ．x +2x+1=0 B ．x +x+2=0 C．x ﹣1=0 D ．x ﹣2x ﹣1=0

7．（3分）（2016•丽水）如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC 的周长为（ ） 2222

A ．13 B ．17 C ．20 D ．26

8．（3分）（2016•丽水）在直角坐标系中，点M ，N 在同一个正比例函数图象上的是（ ）

A ．M （2，﹣3），N （﹣4，6） B．M （﹣2，3），N （4，6） C ．M （﹣2，﹣3），N （4，﹣6） D ．M （2，3），N （﹣4，6）

9．（3分）（2016•丽水）用直尺和圆规作Rt △ABC 斜边AB 上的高线CD ，以下四个作图中，作法错误的是（ ）

A ． B ． C ． D ．

上一点，10．（3分）（2016•丽水）如图，已知⊙O 是等腰Rt △ABC 的外接圆，点D 是

BD 交AC 于点E ，若BC=4，AD=，则AE 的长是（ ）

A ．3 B ．2 D ．1.2

二、填空题：每小题4分，共24分

11．（4分）（2016•丽水）分解因式：am ﹣3a=

12．（4分）（2016•丽水）如图，在△ABC 中，∠A=63°，直线MN ∥BC ，且分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，若∠AEN=133°，则∠B 的度数为．

C ．1

13．（4分）（2016•丽水）箱子里放有2个黑球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，现从箱子里随机摸出两个球，恰好为1个黑球和1个红球的概率是 ．

2214．（4分）（2016•丽水）已知x +2x﹣1=0，则3x +6x﹣2= ．

15．（4分）（2016•丽水）如图，在菱形ABCD 中，过点B 作BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，垂足分别为点E ，F ，延长BD 至G ，使得DG=BD，连结EG ，FG ，若AE=DE，则= ．

16．（4分）（2016•丽水）如图，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=（x ＞0）的图象交于A ，B 两点，与x 轴、y 轴分别交于C ，D 两点，连结OA ，OB ，过A 作AE ⊥x 轴于点E ，交OB 于点F ，设点A 的横坐标为m ．

（1）b= （用含m 的代数式表示）；

（2）若S △OAF +S四边形EFBC =4，则m 的值是．

三、解答题

017．（6分）（2016•丽水）计算：（﹣3）﹣|﹣

|+．

18．（6分）（2016•丽水）解不等式：3x ﹣5＜2（2+3x）

19．（6分）（2016•丽水）数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B ，C ，E 在同一直线上，若BC=2，求AF 的长．

请你运用所学的数学知识解决这个问题．

20．（8分）（2016•丽水）为了帮助九年级学生做好体育考试项目的选考工作，某校统计了本县上届九年级毕业生体育考试各个项目参加的男、女生人数及平均成绩，并绘制成如图两个统计图，请结合统计图信息解决问题．

（1）“掷实心球”项目男、女生总人数是“跳绳”项目男、女生总人数的2倍，求“跳绳”项目的女生人数；

（2）若一个考试项目的男、女生总平均成绩不小于9分为“优秀”，试判断该县上届毕业生的考试项目中达到“优秀”的有哪些项目，并说明理由；

（3）请结合统计图信息和实际情况，给该校九年级学生体育考试项目的选择提出合理化建议．

21．（8分）（2016•丽水）2016年3月27日“丽水半程马拉松竞赛”在莲都举行，某运动员从起点万地广场西门出发，途经紫金大桥，沿比赛路线跑回中点万地广场西门．设该运动员离开起点的路程S （千米）与跑步时间t （分钟）之间的函数关系如图所示，其中从起点到紫金大桥的平均速度是0.3千米/分，用时35分钟，根据图象提供的信息，解答下列问题：

（1）求图中a 的值；

（2）组委会在距离起点2.1千米处设立一个拍摄点C ，该运动员从第一次经过C 点到第二次经过C 点所用的时间为68分钟．

①求AB 所在直线的函数解析式；

②该运动员跑完赛程用时多少分钟？

22．（10分）（2016•丽水）如图，AB 是以BC 为直径的半圆O 的切线，D 为半圆上一点，AD=AB，AD ，BC 的延长线相交于点E ．

（1）求证：AD 是半圆O 的切线；

（2）连结CD ，求证：∠A=2∠CDE ；

（3）若∠CDE=27°，OB=2，求的长．

23．（10分）（2016•丽水）如图1，地面BD 上两根等长立柱AB ，CD 之间悬挂一根近似成抛物线

y=x ﹣x+3的绳子．

2

（1）求绳子最低点离地面的距离；

（2）因实际需要，在离AB 为3米的位置处用一根立柱MN 撑起绳子（如图2），使左边抛物线F 1的最低点距MN 为1米，离地面1.8米，求MN 的长；

（3）将立柱MN 的长度提升为3米，通过调整MN 的位置，使抛物线F 2对应函数的二次项系数始终为，设MN 离AB 的距离为m ，抛物线F 2的顶点离地面距离为k ，当2≤k ≤2.5时，求m 的取值范围．

24．（12分）（2016•丽水）如图，矩形ABCD 中，点E 为BC 上一点，F 为DE 的中点，且∠BFC=90°．

（1）当E 为BC 中点时，求证：△BCF ≌△DEC ；

（2）当BE=2EC时，求的值；

（3）设CE=1，BE=n，作点C 关于DE 的对称点C ′，连结FC ′，AF ，若点C ′到AF 的距离是，求n 的值．

2016年浙江省丽水市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：每小题3分，共30分

1．（3分）（2016•丽水）下列四个数中，与﹣2的和为0的数是（ ）

A ．﹣2 B ．2 C ．0 D ．﹣

【分析】找出﹣2的相反数即为所求．

【解答】解：下列四个数中，与﹣2的和为0的数是2，

故选B

【点评】此题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解本题的关键．

2．（3分）（2016•丽水）计算3×3的结果是（ ）

A ．3 B ．﹣3 C ．2 D ．﹣2

【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．

【解答】解：3×3=3=3．

故选：A ．

【点评】本题考查了同底数幂的乘法，利用底数不变指数相加是解题关键．

3．（3分）（2016•丽水）下列图形中，属于立体图形的是（ ） 2﹣12﹣12﹣1

A ． B ． C ． D ．

【分析】根据平面图形所表示的各个部分都在同一平面内，立体图形是各部分不在同一平面内的几何，由一个或多个面围成的可以存在于现实生活中的三维图形，可得答案．

【解答】解：A 、角是平面图形，故A 错误；

B 、圆是平面图形，故B 错误；

C 、圆锥是立体图形，故C 正确；

D 、三角形是平面图形，故D 错误．

故选：C ．

【点评】本题考查了认识立体图形，立体图形是各部分不在同一平面内的几何，由一个或多个面围成的可以存在于现实生活中的三维图形．

4．（3分）（2016•丽水）+的运算结果正确的是（ ）

A ． B ． C ． D ．a+b

【分析】首先通分，把、都化成以ab 为分母的分式，然后根据同分母分式加减法法则，求出+的运算结果正确的是哪个即可．

【解答】解：+ =

=+ ． 故+的运算结果正确的是

故选：C ．

【点评】此题主要考查了分式的加减法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：

（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．

5．（3分）（2016•丽水）某校对全体学生开展心理健康知识测试，七、八、九三个年级共有

B ．八年级的学生人数为262名

C ．八年级的合格率高于全校的合格率

D ．九年级的合格人数最少

【分析】分析统计表，可得出各年级合格的人数，然后结合选项进行回答即可．

【解答】解：∵七、八、九年级的人数不确定，

∴无法求得七、八、九年级的合格率．

∴A 错误、C 错误．

由统计表可知八年级合格人数是262人，故B 错误．

∵270＞262＞254，

∴九年级合格人数最少．

故D 正确．

故选；D ．

【点评】本题主要考查的是统计表的认识，读懂统计表，能够从统计表中获取有效信息是解题的关键．

6．（3分）（2016•丽水）下列一元二次方程没有实数根的是（ ）

A ．x +2x+1=0 B ．x +x+2=0 C．x ﹣1=0 D ．x ﹣2x ﹣1=0

【分析】求出每个方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．

2【解答】解：A 、△=2﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；

2B 、△=1﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；

C 、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；

2D 、△=（﹣2）﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；

故选：B ．

【点评】本题主要考查一元二次方程根的情况，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

2222

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

7．（3分）（2016•丽水）如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC 的周长为（ ）

A ．13 B ．17 C ．20 D ．26

【分析】由平行四边形的性质得出OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，即可求出△OBC 的周长．

【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，

∴△OBC 的周长=OB+OC+AD=3+6+8=17．

故选：B ．

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．

8．（3分）（2016•丽水）在直角坐标系中，点M ，N 在同一个正比例函数图象上的是（ ）

A ．M （2，﹣3），N （﹣4，6） B．M （﹣2，3），N （4，6） C ．M （﹣2，﹣3），N （4，﹣6） D ．M （2，3），N （﹣4，6）

【分析】设正比例函数的解析式为y=kx，根据4个选项中得点M 的坐标求出k 的值，再代入N 点的坐标去验证点N 是否在正比例函数图象上，由此即可得出结论．

【解答】解：设正比例函数的解析式为y=kx，

A 、﹣3=2k，解得：k=﹣，

﹣4×（﹣）=6，6=6，

∴点N 在正比例函数y=﹣x 的图象上；

B 、3=﹣2k ，解得：k=﹣，

4×（﹣）=﹣6，﹣6≠6，

∴点N 不在正比例函数y=﹣x 的图象上；

C 、﹣3=﹣2k ，解得：k=，

4×=6，6≠﹣6，

∴点N 不在正比例函数

y=x 的图象上；

D 、3=2k，解得：k=，

﹣4×=﹣6，﹣6≠6，

∴点N 不在正比例函数

y=x 的图象上．

故选A ．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是验证4个选项中点M 、N 是否在同一个正比例函数图象上．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据给定的一点的坐标利用待定系数法求出正比例函数解析式，再代入另一点坐标去验证该点是否在该正比例函数图象上．

9．（3分）（2016•丽水）用直尺和圆规作Rt △ABC 斜边AB 上的高线CD ，以下四个作图中，作法错误的是（ ）

A ． B ． C ． D ．

【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解．

【解答】解：A 、根据垂径定理作图的方法可知，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高线，不符合题意；

B 、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高线，不符合题意；

C 、根据相交两圆的公共弦的性质可知，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高线，不符合题意；

D 、无法证明CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高线，符合题意．

故选：D ．

【点评】考查了作图﹣复杂作图，关键是熟练掌握作过直线外一点作已知直线的垂线的方法．

10．（3分）（2016•丽水）如图，已知⊙O 是等腰Rt △ABC 的外接圆，点D 是

BD 交AC 于点E ，若BC=4，AD=，则AE 的长是（ ）

上一点，

A ．3 B ．2 C ．1 D ．1.2

【分析】利用圆周角性质和等腰三角形性质，确定AB 为圆的直径，利用相似三角形的判定及性质，确定△ADE 和△BCE 边长之间的关系，利用相似比求出线段AE 的长度即可．

【解答】解：∵等腰Rt △ABC ，BC=4，

∴AB 为⊙O 的直径，AC=4，AB=4

∴∠D=90°，

在Rt △ABD 中，AD=，AB=4

∴BD=， ， ，

∵∠D=∠C ，∠DAC=∠CBE ，

∴△ADE ∽△BCE ，

∵AD ：BC=：4=1：5，

∴相似比为1：5，

设AE=x，

∴BE=5x，

∴DE=﹣5x ，

∴CE=28﹣25x ，

∵AC=4，

∴x+28﹣25x=4，

解得：x=1．

故选：C ．

【点评】题目考查了圆的基本性质、等腰直角三角形性质、相似三角形的判定及应用等知识点，题目考查知识点较多，是一道综合性试题，题目难易程度适中，适合课后训练．

二、填空题：每小题4分，共24分

11．（4分）（2016•丽水）分解因式：am ﹣3a=．

【分析】根据提公因式法的一般步骤进行因式分解即可．

【解答】解：am ﹣3a=a（m ﹣3）．

故答案为：a （m ﹣3）．

【点评】本题考查的是提公因式法进行因式分解，提公因式法基本步骤：找出公因式；提公因式并确定另一个因式：用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式．

12．（4分）（2016•丽水）如图，在△ABC 中，∠A=63°，直线MN ∥BC ，且分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，若∠AEN=133°，则∠B 的度数为．

【分析】根据平行线的性质只要求出∠ADE ，由∠AEN=∠A+∠ADE 计算即可．

【解答】解：∵∠AEN=∠A+∠ADE ，∠AEN=133°，∠A=63°，

∴∠ADE=70°，

∵MN ∥BC ，

∴∠B=∠ADE=70°，

故答案为70°．

【点评】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．

13．（4分）（2016•丽水）箱子里放有2个黑球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，现从箱子里随机摸出两个球，恰好为1个黑球和1个红球的概率是

．

【分析】根据题意可以列出相应的树状图，从而可以得到恰好为1个黑球和1个红球的概率．

【解答】解：由题意可得，

故恰好为1个黑球和1个红球的概率是：

故答案为；．

【点评】本题考查列表法和树状图法，解题的关键是明确题意，列出相应的树状图，求出相应的概率．

14．（4分）（2016•丽水）已知x +2x﹣1=0，则3x +6x﹣2=．

2【分析】直接利用已知得出x +2x=1，再代入原式求出答案．

2【解答】解：∵x +2x﹣1=0，

2∴x +2x=1，

22∴3x +6x﹣2=3（x ﹣2x ）﹣2=3×1﹣2=1．

故答案为：1．

【点评】此题主要考查了代数式求值，利用整体思想代入是解题关键．

15．（4分）（2016•丽水）如图，在菱形ABCD 中，过点B 作BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，垂足分别为点E ，F ，延长BD 至G ，使得DG=BD，连结EG ，FG ，若AE=DE，则=

．

22，

【分析】连接AC 、EF ，根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC ⊥BD ，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB=BD，然后判断出△ABD 是等边三角形，再根据等边三角形的三个角都是60°求出∠ADB=60°，设EF 与BD 相交于点H ，AB=4x，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH ，再求出DH ，从而得到GH ，利用勾股定理列式求出EG ，最后求出比值即可．

【解答】解：如图，连接AC 、EF ，

在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，

∵BE ⊥AD ，AE=DE，

∴AB=BD，

又∵菱形的边AB=AD，

∴△ABD 是等边三角形，

∴∠ADB=60°，

设EF 与BD 相交于点H ，AB=4x，

∵AE=DE，

∴由菱形的对称性，CF=DF，

∴EF 是△ACD 的中位线，

∴DH=DO=BD=x，

在Rt △EDH 中，EH=DH=

∵DG=BD，

∴GH=BD+DH=4x+x=5x， x ，

在Rt △EGH 中，由勾股定理得，EG=所以，=．

=． ==2x ， 故答案为：

【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，难点在于作辅助线构造出直角三角形以及三角形的中位线．

16．（4分）（2016•丽水）如图，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=（x ＞0）的图象交于A ，B 两点，与x 轴、y 轴分别交于C ，D 两点，连结OA ，OB ，过A 作AE ⊥x 轴于点E ，交OB 于点F ，设点A 的横坐标为m ．

（1）b=

m+ （用含m 的代数式表示）；

（2）若S △OAF +S四边形EFBC =4，则m 的值是

【分析】（1）根据待定系数法点A 的纵坐标相等列出等式即可解决问题．

（2）作AM ⊥OD 于M ，BN ⊥OC 于N ．记△AOF 面积为S ，则△OEF 面积为2﹣S ，四边形EFBN 面积为4﹣S ，△OBC 和△OAD 面积都是6﹣2S ，△ADM 面积为4﹣2S=2（2﹣s ），所以S △ADM =2S△OEF ，推出EF=AM=NB ，得B （2m ，）代入直线解析式即可解决问题．

【解答】解：（1）∵点A 在反比例函数

y=（x ＞0）的图象上，且点A 的横坐标为m ， ∴点A 的纵坐标为，即点A 的坐标为（m ，）．

令一次函数y=﹣x+b中x=m，则y=﹣m+b，

∴﹣m+b=

即

b=m+．

故答案为：m+．

（2）作AM ⊥OD 于M ，BN ⊥OC 于N ．

∵反比例函数

y=，一次函数y=﹣x+b都是关于直线y=x对称，

∴AD=BC，OD=OC，DM=AM=BN=CN，记△AOF 面积为S ，

则△OEF 面积为2﹣S ，四边形EFBN 面积为4﹣S ，△OBC 和△OAD 面积都是6﹣2S ，△ADM 面积为4﹣2S=2（2﹣s ），

∴S △ADM =2S△OEF ，

∴

EF=AM=NB ，

∴点B 坐标（2m

，）代入直线y=﹣x+m+， ∴=﹣2m=m+，整理得到m =2，

∵m ＞0，

∴

m=． 故答案为． 2

【点评】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点、对称等知识，解题的关键是利用对称性得到很多相等的线段，学会设参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．

三、解答题

017．（6分）（2016•丽水）计算：（﹣3）﹣|﹣

|+．

【分析】原式利用零指数幂法则，绝对值的代数意义，以及二次根式性质计算即可得到结果．

【解答】解：原式=1﹣+2 =1+．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．（6分）（2016•丽水）解不等式：3x ﹣5＜2（2+3x）

【分析】先去括号，然后移项及合并同类项，系数化为1，即可解答本题．

【解答】解：3x ﹣5＜2（2+3x），

去括号，得3x ﹣5＜4+6x，

移项及合并同类项，得﹣3x ＜9，

系数化为1，得x ＞﹣3．

故原不等式组的解集是：x ＞﹣3．

【点评】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是明确解一元一次不等式的方法．

19．（6分）（2016•丽水）数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B ，C ，E 在同一直线上，若BC=2，求AF 的长．

请你运用所学的数学知识解决这个问题．

【分析】根据正切的定义求出AC ，根据正弦的定义求出CF ，计算即可．

【解答】解：在Rt △ABC 中，BC=2，∠A=30°， AC==2，

则EF=AC=2，

∵∠E=45°，

∴FC=EF•

sinE=，

∴AF=AC﹣FC=2﹣．

【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值的应用，掌握锐角三角函数的概念、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．

20．（8分）（2016•丽水）为了帮助九年级学生做好体育考试项目的选考工作，某校统计了本县上届九年级毕业生体育考试各个项目参加的男、女生人数及平均成绩，并绘制成如图两个统计图，请结合统计图信息解决问题．

（1）“掷实心球”项目男、女生总人数是“跳绳”项目男、女生总人数的2倍，求“跳绳”项目的女生人数；

（2）若一个考试项目的男、女生总平均成绩不小于9分为“优秀”，试判断该县上届毕业生的考试项目中达到“优秀”的有哪些项目，并说明理由；

（3）请结合统计图信息和实际情况，给该校九年级学生体育考试项目的选择提出合理化建议．

【分析】（1）先根据统计图得到“掷实心球”项目男、女生总人数，除以2可求“跳绳”项目男、女生总人数，再减去“跳绳”项目男生人数，即可得到“跳绳”项目的女生人数；

（2）根据平均数公式得到该县上届毕业生的考试项目中达到“优秀”的有哪些项目即可求解；

（3）根据统计图提出合理化建议，合理即可．

【解答】解：（1）（400+600）÷2﹣260

=1000÷2﹣260

=500﹣260

=240（人）

答：“跳绳”项目的女生人数是240人；

（2）“掷实心球”项目平均分：

（400×8.7+600×9.2）÷（400+600）

=（3480+5520）÷1000

=9000÷1000

=9（分），

投篮项目平均分大于9分，

其余项目平均分小于9分．

故该县上届毕业生的考试项目中达到“优秀”的有投篮，掷实心球两个项目．

（3）如：游泳项目考试的人数最多，可以选考游泳．

【点评】本题考查的是条形统计图、频数（率）分布折线图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．

21．（8分）（2016•丽水）2016年3月27日“丽水半程马拉松竞赛”在莲都举行，某运动员从起点万地广场西门出发，途经紫金大桥，沿比赛路线跑回中点万地广场西门．设该运动员离开起点的路程S （千米）与跑步时间t （分钟）之间的函数关系如图所示，其中从起点到紫金大桥的平均速度是0.3千米/分，用时35分钟，根据图象提供的信息，解答下列问题：

（1）求图中a 的值；

（2）组委会在距离起点2.1千米处设立一个拍摄点C ，该运动员从第一次经过C 点到第二次经过C 点所用的时间为68分钟．

①求AB 所在直线的函数解析式；

②该运动员跑完赛程用时多少分钟？

【分析】（1）根据路程=速度×时间，即可解决问题．

（2）①先求出A 、B 两点坐标即可解决问题．

②令s=0，求出x 的值即可解决问题．

【解答】解：（1）∵从起点到紫金大桥的平均速度是0.3千米/分，用时35分钟， ∴a=0.3×35=10.5千米．

（2）①∵线段OA 经过点O （0，0），A （35，10.5），

∴直线OA 解析式为y=0.3t（0≤t ≤35），

∴当s=2.1时，0.3t=2.1，解得t=7，

∵该运动员从第一次经过C 点到第二次经过C 点所用的时间为68分钟，

∴该运动员从起点点到第二次经过C 点所用的时间是7+68=75分钟，

∴直线AB 经过（35，10.5），（75，2.1），

设直线AB 解析式s=kt+b， ∴解得，

∴直线AB 解析式为s=﹣0.21t+17.85．

②该运动员跑完赛程用的时间即为直线AB 与x 轴交点的横坐标，

∴当s=0，时，﹣0.21t+17.85=0，解得t=85

∴该运动员跑完赛程用时85分钟．

【点评】本题考查一次函数综合题，待定系数法等知识，解题的关键是搞清楚路程、速度、时间之间的关系，学会利用一次函数的性质解决实际问题，属于中考常考题型．

22．（10分）（2016•丽水）如图，AB 是以BC 为直径的半圆O 的切线，D 为半圆上一点，AD=AB，AD ，BC 的延长线相交于点E ．

（1）求证：AD 是半圆O 的切线；

（2）连结CD ，求证：∠A=2∠CDE ；

（3）若∠CDE=27°，OB=2，求的长．

【分析】（1）连接OD ，BD ，根据圆周角定理得到∠ABO=90°，根据等腰三角形的性质得到∠ABD=∠ADB ，∠DBO=∠BDO ，根据等式的性质得到∠ADO=∠ABO=90°，根据切线的判定定理即可得到即可；

（2）由AD 是半圆O 的切线得到∠ODE=90°，于是得到∠ODC+∠CDE=90°，根据圆周角定理得到∠ODC+∠BDO=90°，等量代换得到∠DOC=2∠BDO ，∠DOC=2∠CDE 即可得到结论；

（3）根据已知条件得到∠DOC=2∠CDE=54°，根据平角的定义得到∠BOD=180°﹣54°=126°，然后由弧长的公式即可计算出结果．

【解答】（1）证明：连接OD ，BD ，

∵AB 是⊙O 的直径，

∴AB ⊥BC ，即∠ABO=90°，

∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB ，

∵OB=OD，

∴∠DBO=∠BDO ，

∴∠ABD+∠DBO=∠ADB+∠BDO ，

∴∠ADO=∠ABO=90°，

∴AD 是半圆O 的切线；

（2）证明：由（1）知，∠ADO=∠ABO=90°，

∴∠A=360°﹣∠ADO ﹣∠ABO ﹣∠BOD=180°﹣∠BOD ，

∵AD 是半圆O 的切线，

∴∠ODE=90°，

∴∠ODC+∠CDE=90°，

∵BC 是⊙O 的直径，

∴∠ODC+∠BDO=90°，

∴∠BDO=∠CDE ，

∵∠BDO=∠OBD ，

∴∠DOC=2∠BDO ，

∴∠DOC=2∠CDE ，

∴∠A=∠CDE ；

（3）解：∵∠CDE=27°，

∴∠DOC=2∠CDE=54°，

∴∠BOD=180°﹣54°=126°，

∵OB=2， ∴的长==π．

【点评】本题考查了切线是性质，弧长的计算，圆周角定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

23．（10分）（2016•丽水）如图1，地面BD 上两根等长立柱AB ，CD 之间悬挂一根近似成抛物线

y=x ﹣x+3的绳子．

2

（1）求绳子最低点离地面的距离；

（2）因实际需要，在离AB 为3米的位置处用一根立柱MN 撑起绳子（如图2），使左边抛物线F 1的最低点距MN 为1米，离地面1.8米，求MN 的长；

（3）将立柱MN 的长度提升为3米，通过调整MN 的位置，使抛物线F 2对应函数的二次项系数始终为，设MN 离AB 的距离为m ，抛物线F 2的顶点离地面距离为k ，当2≤k ≤2.5时，求m 的取值范围．

【分析】（1）直接利用配方法求出二次函数最值得出答案；

（2）利用顶点式求出抛物线F 1的解析式，进而得出x=3时，y 的值，进而得出MN 的长；

（3）根据题意得出抛物线F 2的解析式，得出k 的值，进而得出m 的取值范围．

【解答】解：（1）∵a=

∴抛物线顶点为最低点，

∵y=x ﹣x+3=2＞0， （x ﹣4）+， 2∴绳子最低点离地面的距离为：m ；

（2）由（1）可知，BD=8，

令x=0得y=3，

∴A （0，3），C （8，3），

由题意可得：抛物线F 1的顶点坐标为：（2，1.8），

2设F 1的解析式为：y=a（x ﹣2）+1.8，

将（0，3）代入得：4a+1.8=3，

解得：a=0.3，

∴抛物线F 1为：y=0.3（x ﹣2）+1.8，

当x=3时，y=0.3×1+1.8=2.1，

∴MN 的长度为：2.1m ；

（3）∵MN=DC=3，

∴根据抛物线的对称性可知抛物线F 2的顶点在ND 的垂直平分线上， 2

∴抛物线F 2的顶点坐标为：（m+4，k ），

∴抛物线F 2的解析式为：

y=（x ﹣m ﹣4）+k，

把C （8，3）代入得：（4﹣m ﹣4）+k=3，

解得：k=﹣（4﹣m ）+3，

∴k=﹣（m ﹣8）+3， 2222

∴k 是关于m 的二次函数，

又∵由已知m ＜8，在对称轴的左侧，

∴k 随m 的增大而增大，

∴当k=2时，﹣（m ﹣8）+3=2， 2

解得：m 1=4，m 2=12（不符合题意，舍去），

当k=2.5时，﹣（m ﹣8）+3=2.5， 2

解得：m 18﹣24，m 2=8+2（不符合题意，舍去），

∴m 的取值范围是：4≤m ≤8﹣2．

【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及顶点式求二次函数解析式等知识，正确表示出函数解析式是解题关键．

24．（12分）（2016•丽水）如图，矩形ABCD 中，点E 为BC 上一点，F 为DE 的中点，且∠BFC=90°．

（1）当E 为BC 中点时，求证：△BCF ≌△DEC ；

（2）当BE=2EC时，求的值；

（3）设CE=1，BE=n，作点C 关于DE 的对称点C ′，连结FC ′，AF ，若点C ′到AF 的距离是，求n 的值．

【分析】（1）由矩形和直角三角形斜边上的中线性质得出CF=DE=EF，由等腰三角形的性质得出∠FEC=∠FCE ，证出CF=CE，由ASA 证明△BCF ≌△DEC 即可；

（2）设CE=a，则BE=2a，BC=3a，证明△BCF ∽△DEC ，得出对应边成比例ED =6a，由勾股定理得出DC=22=，得出a ，即可得出结果；

（3）过C ′作C ′H ⊥AF 于点H ，连接CC ′交EF 于M ，由直角三角形斜边上的中线性质得出∠FEC=∠FCE ，证出∠ADF=∠BCF ，由SAS 证明△ADF ≌△BCF ，得出∠AFD=∠BFC=90°，证出四边形C ′MFH 是矩形，得出FM=C′H=

股定理得出方程，解方程求出EM=，设EM=x，则FC=FE=x++；由（2）得：，由勾，把，

FC=FE=CE=1，BE=n代入计算即可得出n 的值．

【解答】（1）证明；∵在矩形ABCD 中，∠DCE=90°，F 是斜边DE 的中点，

∴

CF=DE=EF，

∴∠FEC=∠FCE ，

∵∠BFC=90°，E 为BC 中点，

∴EF=EC，

∴CF=CE，

在△BCF 和△DEC 中，，

∴△BCF ≌△DEC （ASA ）；

（2）解：设CE=a，由BE=2CE，得：BE=2a，BC=3a，

∵CF 是Rt △DCE 斜边上的中线，

∴

CF=DE ，

∵∠FEC=∠FCE ，∠BFC=∠DCE=90°，

∴△BCF ∽△DEC ， ∴=， 即：=

2， 2解得：ED =6a

由勾股定理得：DC=

∴==； ==a ， （3）解：过C ′作C ′H ⊥AF 于点H ，连接CC ′交EF 于M ，如图所示：

∵CF 是Rt △DCE 斜边上的中线，

∴FC=FE=FD，

∴∠FEC=∠FCE ，

∵四边形ABCD 是矩形，

∴AD ∥BC ，AD=BC，

∴∠ADF=∠CEF ，

∴∠ADF=∠BCF ，

在△ADF 和△BCF 中，，

∴△ADF ≌△BCF （SAS ），

∴∠AFD=∠BFC=90°，

∵CH ⊥AF ，C ′C ⊥EF ，∠HFE=∠C ′HF=∠C ′MF=90°，

∴四边形C ′MFH 是矩形，

∴FM=C′H=，

， 设EM=x，则FC=FE=x+

在Rt △EMC 和Rt △FMC 中，

由勾股定理得：CE ﹣EM =CF﹣FM ，

∴1﹣x =（x+

解得：x=

∴EM=22222222）﹣（）， ，或x=﹣，FC=FE=， +（舍去）， ； 由（2）得：

把CE=1，BE=n代入上式计算得：

CF=

∴

解得：n=4．

， ，

【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．

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