函数图象变换
函数y =f (x ) 图象变换
【教学目标】
1.掌握绘制函数图象的一般方法. 2.掌握函数图象变化的一般规律. 3.能利用函数图象研究函数的性质.
【高考命题研究】
1.以选择题、填空题的形式考查图象的平移、对称、伸缩变换. 2.以考查图象为主,同时考查数形结合的思想在解题中的应用.
【高考试题剖析】
-x
1.当a >1时,在同一坐标系中,函数y =a 与y =log a x 的图象是( )
【答案】A
2-1
2.若函数f (x -1)=x -2x +3(x ≤1)则函数f (x )的草图是( )
【解析】f (x -1)=(x -1)+2
② ⇒f (x )=x 2+2
又∵①式中x ≤1,
∴x -1≤0,故②式中函数自变量x ≤0, 由②式得:x =-
2
①
y -2,即f -1(x )=-x -2 (x ≥2).
【答案】C
32
3.已知函数f (x )=ax +bx +cx +d的图象如图2—6,则( ) A .b ∈(-∞,0) B .b ∈(0,1) C .b ∈(1,2) D .b ∈(2,+∞)
【解析】由题知f (x )=0有三个根0,1,2.
3232
∴f (x )=ax +bx +cx +d =ax (x -1)(x -2)=ax -3ax +2ax . ∴b =-3a ,∵a >0,∴b <0. 【答案】A
4.若函数y =f (x )的图象过点(1,0),则它的反函数的图象必经过点_____. 【解析】点(1,0)关于直线y =x 的对称点是(0,1). 【答案】(0,1)
5.要得到y =lg (3-x )的图象,只需作y =lg x 关于_____轴对称的图象,再向_____平移3个单位而得到.
【解析】由y =lg x 的图象关于y 轴对称得y =lg (-x )的图象,要得y =lg (3-x )即y =lg [-(x -3)]的图象,需将y =lg (-x )的图象向右平移3个单位.
【答案】y 右
【典型例题精讲】
[例1]已知y =f (x )的图象如图2—7所示,则下列式子中能作为f (x )的解析式是( )
A .
2
x 2-2|x |+1
B .x -2|x |+1
2
C .|x -1| D .
x 2-2x +1
x 2-2|x |+1时, f (x ) =(|x |-1) 2=||x |-1|=
【解析】当f (x )=
(x ≥1) ⎧x -1
⎪1-x (0≤x
⎨
(-1≤x
⎪(x
其图象恰好是上图. 【答案】A
[例2]画出函数y =lg|x +1|的图象.
(x >-1) ⎧lg(x +1)
【解】y =lg|x +1|=⎨.
⎩lg(-x -1) (x
[例3]要将函数y =换?
【解】y =
2-x 1
的图象通过平移变换得到y =的图象,需经过怎样的变x -1x
1
-1,先沿x 轴方向向左平移1个单位,再沿y 轴方向向上平移1个单x -11
的图象. x
-(x -2) 2有两个不相等的实根,求实数k 的取值范围.
① ②
位,即可得到y =
[例4]方程kx =【解】设y 1=kx
y 2=-(x -2)
2
方程①表示过原点的直线,方程②表示半圆,其圆心(2,0),半径为1,如图2—9.易知当OA 与半圆相切时,k OA
=
33
,故当0≤k <时,直线与半圆有两个交点,即033
≤k <
3
时,原方程有两个不相等的实根.
3
[例5]作函数f (x )=x +
1
的图象. x
【分析】f (x )=x +
1
不能由已知函数图象变换得到,故需对函数f (x )的性质进行x
研究.
【解】函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),∵f (-x )=-f (x ),
∴f (x )是(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,又|f (x )|=|x +
11
|=|x |+
|x |x
≥2,当且仅当|x |=1时等号成立,∴当x >0时y ≥2;当x
时函数为减函数,且急剧递减;当x ∈[1,+∞)时函数为增函数,且缓慢递增,又x ≠0,y ≠0,∴图象与坐标轴无交点,且y 轴是渐近线,作出第一象限的函数的图象,再利用对称性可得函数在定义域上的图象,如图2—10所示.
【评述】(1)熟悉各种基本函数图的“原型”是函数作图的一项基本功;先研究函数的性质,再利用性质作图则能减少作图的盲目性,提高图象的准确性.
(2)与图象有关的“辅助线”要用虚线作,以起到定形、定性、定位、定量的作用.
【综合能力训练】
1.f (x )是定义在区间[-c ,c ]上的奇函数,其图象如图所示.令g (x )=af (x )+b ,则下列关于函数g (x )的叙述正确的是( )
A .若a
B .若a =-1,-2
【解析】将f (x )图象上每点的纵坐标变为原来的a 倍,横坐标不变,再将所得图象向上(b >0)或向下(b
【答案】B
2.(2007.全国Ⅱ) 把函数y =ex 的图象按向量a =(2,3) 平移,得到y =f(x)的图象,
则f(x)= ( )
x -3x +3x -2x +2
(A)e+2 (B)e-2 (C)e+3 (D)e-3 【答案】C
3.(2008·菏泽模拟) 如图为函数y =m +log n x 的图象,其中m ,n 为常数,则下列结论正确的是 ( )
(A)m1 (B)m>O,n>l (C)m>O,0
4.(2008.安庆模拟) 函数y =e -|x -1|的图象大致是
( )
【答案】D
5.在直角坐标系xOy 中,已知△AOB 三边所在直线的方程分别为x =0,y =0,2x +3y =30,则△AOB 内部和边上整点(即横、纵坐标均为整数的点)的总数是( )
A .95 B .91 C .88 D .75
【解析】画出图象,补形做出长方形AOBC ,共有整点数11×16=176,而六点(0,10),(3,8),(6,6),(9,4),(12,2),(15,0)在长方形的对角线上,所以符合题意的点数为(176+6)×
1
=91.
2
【答案】B
6.将函数y =log 1x 的图象沿x 轴方向向右平移一个单位,得到图象C ,图象C 1与C
2
关于原点对称,图象C 2与C 1关于直线y =x 对称,那么C 2对应的函数解析式是_____.
【解析】C :y =log 1(x -1);由-y =log 1(-x -1)得C 1:y =log 2(-x -1);求C 1
2
x
2
的反函数得y =-1-2.
x
【答案】y =-1-2
2
7.若函数y =|-x +4x -3|的图象C 与直线y =kx 相交于点M (2,1),那么曲线C 与该直线有 个交点.
2
【解析】(数形结合法)作y =|-x +4x -3|的图象,知其顶点在M (2,1).过原点
与点M (2,1)作直线y =kx ,如图.
∴曲线C 与直线y =kx 有四个交点. 【答案】4 8.作函数y =(
1|x -1|
)的图象. 2
⎧2-(x -1) (x ≥1), -x
【解】(1)y =⎨故它在区间[1,+∞)上的图象,可由y =2(x
x -12(x
≥0)的图象沿x 轴方向向右平移1个单位得到;在区间(-∞,1)上的图象,可由y =2
(x
x
9.已知函数y =f (x )(x ∈R )满足f (a +x )=f (a -x ),求证y =f (x )的图象关于直线x =a 对称.
【证明】设p (x 0,y 0)是y =f (x )图象上的任一点,则有y 0=f (x 0),设点P 关于直
⎧x '=2a -x 0
线x =a 的对称点为p ′(x ′,y ′),则有⎨,
'⎩y =y 0
⎧x 0=2a -x '
即⎨ 由y 0=f (x 0)
'y =y ⎩0
⇒y '=f (2a -x ') =f [a +(a -x ')]⎫
⎬
又 f (a +x ) =f (a -x ) ⎭
]=f (x ′).即点p ′(x ′,y ′)也在y =f (x )的图象⇒ y ′=f [a -(a -x ′)
上.
∴y =f (x )的图象关于直线x =a 对称. 【评述】本题的结论应熟记.
10.画出函数y =
2x +1的图象,并利用此图象判定方程2x +1=x +a 有两个不
同的实数解时,实数a 所满足的条件.
22
【解】图象是抛物线y =2x +1在y ≥0上的部分.把y =x +a 代入y =2x +1,得(x 22
+a )=2x +1,即x +2(a -1)x +a 2-1=0,由Δ=0得a =1,此时直线与抛物线相切.又因抛物线顶点是(-
111
,0),可知当直线过点(-,0)时,即a =时直线与抛物线有222
两交点,故当
1
≤a <1时直线与此抛物线有两个交点,即原方程有两不同实数解.
2
【解题指导】
1.画函数图象的一般步骤是:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的表达式(如含绝对值的函数应化成分段函数);(3)讨论函数的图象性质(如奇偶性、单调性、周期性等图象特征及图象上特殊点位置等);(4)利用基本函数画出所需的图象.
2.函数图象形象地显示函数性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具.应当重视数形结合解题的思想方法.
3.函数图象变换主要有:平移、伸缩、对称三种基本变换:
一、平移变换
y=f(x )+b
b 个单位
y=f(x+a)
y=f(x )
y=f(x-a )
个单位
y=f(x )-b
二、对称变换
①y =f (-x )与y =f (x )关于y 轴对称; ②y =-f (x )与y =f (x )关于x 轴对称; ③y =-f (-x )与y =f (x )关于原点对称;
-1
④y =f (x )与y =f (x )关于直线y =x 对称;
⑤y =|f (x )|的图象可将y =f (x )的图象在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方,其余部分不变.
⑥y =f (|x |)的图象:可将y =f (x ),x ≥0的部分作出,再利用偶函数关于y 轴的对称性.
三、伸缩变换
①y =Af (x )(A >0)的图象,可将y =f (x )图象上每一点的纵坐标伸(A >1)缩(0<A <1)到原来的A 倍,横坐标不变而得到.
②y =f (ax )(a >0)的图象,可将y =f (x )的图象上每一点的横坐标伸(0<a <1)缩(a >1)到原来的三、向量平移
四、函数及图象(大致图象)
1
,纵坐标不变而得到. a