中考圆与四边形综合题
长安勤学练教育
中考圆与四边形难题解析
◆考点分析
特殊四边形主要包括梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等,中考中有关考题大多以容易题或中档题为主,因此更多体现了对基础知识的考查。近年的中考题中也出现了一些探究题、折痕问题、图形变换问题等新题型。
圆是初中几何的重要学习内容,它具有很多主要性质,知识的前后联系密切,能考查学生综合应用数学知识的能力,是历年中考的重点。主要包括以下几种类型:圆的有关性进而证明面积等。 ◆典型例题
例1 (2007芜湖)是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成,一圆过A、
【解题分析】
. 解法一.如图2.1-1,将正方形BDEC上的等边△ABC向下平移得等边△ODE,其底边与DE重合.得出OD =OA=OE即可。
解法二.如图2,作AF⊥BC,垂足为F,并延长交DE于H点. 设⊙O的半径为r
,可得方程(2r)2+12=r2. 解得r=2. ∴该圆的半径长为2.
【每题一得】 利用等边三角形、正方形、圆的轴对称性是解决
图
2.2-1
图2.2-2
问题的关键。
【同类变式】(2007芜湖)如图2.2-3,PQ=3,以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P,正方形ABCD的顶点A、B在大圆上,小圆在正方形的外部且与CD切于点Q.求正方形的边长AB.
例2 (韶关市2007)如图2.2-4,四边形ABCD中,AD不平行BC,
现给出三个条件:①∠CAB=∠DBA,②AC=BD,③AD=BC.请你从上述三个条件中选择两个条
是等腰梯形;;第三种选择
图2.2-3
A图2.2-5
O.现给出四个.请你以其中的三⑪写出一个真命题,并证明;
D
⑫写出一个假命题,并举出一个反例说明.
例3 (2007台州)把正方形ABCD绕着点A,按顺时针方向旋转得到正方形AEFG,边FG与BC交于点H(如图2.2-6).试问线段HG与线段HB相等吗?请先观察猜想,然后再证明你的猜想.
【解题分析】HG HB.解法1:如图2.2-6,连结AH,
C
H
F
D H
F
图A
∴∠HGB=∠HBG. 证Rt△AGH≌Rt△ABH(;解法∴HL2:如图2.2-7,连结GB,证
【每题一得】图形的折叠、旋转、平移等相关的考题越来越多地出现在各地的考题中,关注图形的变换规律的探究是值得关注的考试动向。
【同类变式】(2007扬州)如图2.2-8,正方形ABCD绕点A逆时针旋转n后得到正方形AEFG,边EF与CD交于点O.
(1)以图中已标有字母的点为端点连结两条线段(正方形的对角线除外)
(2例4 (2007相交于点E、F。
⑪求证:AE⋅AB=AF⋅图2.2-8
图2.2-9
图2.2-10
【解题分析】解:(1)如图2.2-8,连接DE,连接DF证Rt∆AED~Rt∆ADB,
Rt∆AFD~Rt∆ADC,分别得到AE⋅AB=AD2,AF⋅AC=AD2。(2)两种情况下
仍然通过证明相似可知结论依然成立.
【每题一得】与圆有关的运动变化探究性题型体现了很强的综合性,同时也渗透着数形结合、分类、运动变化等诸多的数学思想方法,并且在实际生活中也有着广泛的应用,所以综合运用所学知识解答以圆为背景的试题也是近年来各地中考的热点题型。
PC【同类变式】(2007潍坊) 如图2.2-11,线段PB过圆心O,交圆O于A,B两点,
切圆O于点C,作AD⊥PC,垂足为D,连结AC,BC.
(1)写出图1中所有相等的角(直角除外),并给出证明;
(2)
两点,AE外);
(3
P◆当堂反馈1.(2007AB、BD形2.(2007重庆)已知,如图2.2-14:AB为⊙O的直径,AB=AC,BC交⊙O于点D,AC交⊙O于点E,∠BAC=450。给出以下五个结论:①∠EBC=22.5,;②BD=DC;③AE=2EC;④劣弧AE是劣弧DE的2倍;⑤AE=BC。其中正确结论的序号是 。
⋂
⋂
图2.2-14
3.(2007资阳)如图2.2-15,已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合),PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F. (1) 求证:BP=DP;
(2) 如图2.2-16,若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转,在旋转过程中是否总有BP=DP?若是,请给予证明;若不是,请用反例加以说明;
(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点,分别与四边形PECF的两个顶点连结,使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等,并证明你的结论 .
4.(2007
点D在OC(1)求证:图2.2-16
(2)若AC=
◆配套练习 一、选择题
1.(2007B恰好落在CD边的中点E处,折痕为AF.若CD=6,则AF等于 ( ) A.4 B.33 C.42
D.8
2.2-17
2.(2007金华)国家级历史文化名城——金华,风光秀丽,花木葱茏.某广场上一个形状是平行四边形的花坛(如图),分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花.如果有AB∥EF∥DC,BC∥GH∥AD,那么下列说法中错误的是( ) A.红花、绿花种植面积一定相等; B.紫花、橙花种植面积一定相等 C.红花、蓝花种植面积一定相等; D.蓝花、黄花种植面积一定相等
3.(2007内江)如图2.2-20,这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一副图案,它是一扇形图
形,其中∠AOB为120,OC长为8cm,CA长为12cm,则阴影部分的面积为( ) A.64πcm ;B.112πcm;C.144πcm;D.152πcm
二、填空题
图2.2-18
图2.2-19
A
C O
图2.2-20
B
2
2
2
2
4.(2007成都)如图2.2-21,把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后,点C,D分别落在
C',
D'的位置上,EC'交AD于点G.已知∠EFG=58°,BEG=°.
5.(2007成都)如图2.2-22,已知AB是⊙O的直径,弦BC=1,那么sin∠ABD的值是 .
6.(2007济宁)如图2.2-23,从P点引⊙OPB,A、B
为切点,已知
⊙O的半径为2,∠
P
=60
。
图2.2-21
7.(2007是⊙O的直径,BC是弦,OD⊥BC于E,交弧BC于D. (1) (2) 若BC=8,ED=2,求⊙O的半径.
图2.2-24
图2.2-22
图2.2-23
8.(2007河池)如图2.2-25,半圆O为△ABC的外接半圆,AC为直径,D为弧BC上的一动点.⑪ 问添加一个什么条件后,能使得
BDBE
=?请说明理由; BCBD
⑫ 若AB∥OD,点D所在的位置应满足什么条件?请说明理由;
⑬ 如图2.2-26,在⑪和⑫的条件下,四边形AODB是什么特殊的四边形?证明你的结
论.
9.(2007常州)如图2.2-27,菱形、矩形与正方形的形状有差异,我们将菱形、矩形与
相等.
⑪ 近度”定义为|m
于 ;
②当菱形的“⑫
10.(2007南充)如图2.2-28是某城市一个主题雕塑的平面示意图,它由置放于地面l上两个半径均为2米的半圆与半径为4米的⊙A构成.点B、C分别是两个半圆的圆心,⊙A分别与两个半圆相切于点E、F,BC长为8米.求EF的长.
长安勤学练教育
答案: 【典型例题】
例1解:方法一.如图1,将正方形BDEC上的等边△ABC向下平移得等边△ODE,其底边
与DE重合.
∵A、B、C的对应点是O、D、E. ∴OD=AB,OE=AC,AO=BD.
∵等边△ABC和正方形BDEC的边长都是2, ∴AB=BD=AC=2. ∴OD =OA=OE=2.
∵A、D、E∴A、D、E∵O到A、D、E ∴O点为圆心,方法二.如图2AF⊥BC,垂足为F,并延长交DE于H点. ∵△ABC为等边三角形, ∴AF垂直平分BC, ∵四边形BDEC为正方形, ∴AH垂直平分正方形的边DE.
又DE是圆的弦,∴AH必过圆心,记圆心为O点,并设⊙O的半径为r. 在Rt△ABF中, ∵∠BAF=30,
°
图1
图2
∴AF=AB⋅cos30=2°
= ∴OH=AF+FH-
OA2-r. 在Rt△ODH中, OH+DH=OD.
∴(2r)2+12=r2.解得r=2. ∴该圆的半径长为2.
例2
∴ 作 ∴
2
2
2
A
图3
图4
第二种选择:②AC=BD,③AD=BC. 证明:延长AD、BC相交于E,如图(2) ∵AC=BD,AD=BC,AB=BA, ∴△DAB≌△CBA ∴∠DAB=∠CBA ∴EA=EB
又AD=BC,∴DE=CE,∠EDC=∠ECD 而,∠E+∠EAB+∠EBA=∠E+∠EDC+∠ECD ∴∠EDC=∠EAB ∴DC∥AB
又∵AD不平行BC,∴ABCD是等腰梯形
说明:由①、③不能推出ABCD是等腰梯形,反例见图5: 例3 HG=HB.
证法1
图5
∵四边形
∴∠B=∠由题意知∴Rt△∴HG=证法2F
∵四边形∴∠ABC=由题意知∴∠AGB=∴∠HGB=∠HBG. ∴HG=HB.
【同类变式】
解:(1)如图8,我连结的两条相交且互相垂直的线段是AO和DE.AO⊥DE 理由如下: 证明:
在Rt△ADO与Rt△AEO中,AD=AE,AO=AO,
∴Rt△ADO≌Rt△AEO,
∴∠DAO=∠OAE(即AO平分∠DAE) ∴AO⊥DE(等腰三角形的三线合一)
注:其它的结论也成立如GD⊥BE. (2)旋转的角度n为
30
四边形AEOD
∴三角形
AD⨯DOAD=2例4 解:(1∵ AD又∵ BC∴ AD⊥在
Rt∆
∴ Rt∆∴
图9
AE=AD同理连接∴ AE⋅AB=AF⋅AC
(2)AE⋅AB=AF⋅AC仍然成立
如图10,连接DE,因为BC在上下平移时始终与AD垂直,设垂足为D' 则∠AD'B=90
∵ AD是圆O的直径 ∴ ∠AED=90°
又∵ D'AB=∠EAD ∴ Rt∆AD'B~Rt∆AED
ABAD'
=∴ AE⋅AB=AD'⋅AD ADAE
同理AF⋅AC=AD'⋅AD
∴ AE⋅AB=AF⋅AC
同理可证,当直线BC向下平移与圆O相离如图③时,AE⋅AB=AF⋅AC仍然成立。 【同类变式】(1)图11中相等的角有:∠ACD=∠ABC,∠BAC=∠CAD. 证明:连结
AD⊥=∠OCA,
, ∴∠BAC= ∠CAD+ (2)∠∠BEA (3)图12
◆当堂反馈
1.答案:AD=BC,或ABCD为等腰梯形(答案不唯一) 2.①②④;
3.⑪ 解法一:在△ABP与△ADP中,利用全等可得BP=DP.
解法二:利用正方形的轴对称性,可得BP=DP.
⑫ 不是总成立 .当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转,点P旋转到BC边上时,DP >DC>BP,此时BP=DP不成立.
AE. 图12
图11
⑬ 连接BE、DF,则BE与DF始终相等. 可证四边形PECF为正方形, 在△BEC与△DFC中,可证△BEC≌△DFC . 从而有 BE=DF
4.(1)证明:如图13,连结OA.
∵sinB=
1
,∴∠B=30°. 2
∵∠AOC=2∠B,∴∠AOC=60°. ∵∠D=30°,
∴∠OADA
∴AD是⊙(2)解:∴△AOC
∵∠OAD=
◆配套练习 一、选择题
1.A; 2.C二、填空题 4.64; 5; 4π 3
6.7.解:(1)不同类型的正确结论有:
①BC=CE ;②BD=
CD ③∠BED=90°④∠BOD=∠A;⑤AC∥OD,⑥AC⊥BC; ⑦OE+BE=OB;⑧S△ABC=BC·OE;⑨△BOD是等腰三角形,
⑩△BOE∽△BAC;等
2
2
2
(2)∵OD⊥BC, ∴BE=CE=
1
BC=4. 2
设⊙O的半径为R,则OE=OD-DE=R-2.
在Rt△OEB中,由勾股定理得 OE2+BE2=OB2,即(R-2)2+42=R2. 解得R=5.∴⊙O的半径为5. 8.(1)添加 AB=BD
∵AB=BD ∴AB=BD ∴∠BDE =∠BCD 又∵∠DBE =∠DBC ∴△BDE∽△BCD
∴
BD=BC(2)若∵AB∥∵∠(3∵AB=又∵AB∵OA=9.(1)①40(2的,但a-b却不相等.合理定义方法不唯一,如定义为形;
bb
.越小,矩形越接近于正方aa
bb
越大,矩形与正方形的形状差异越大;当=1时,矩形就变成了正方形. aa
10.解:∵ ⊙A分别与两个半圆相切于点E、F,点A、B、C分别是三个圆的圆心,
∴ AE=AF=4,BE=CF=2,AB=AC=6. 则在△AEF和△ABC中, ∠EAF=∠BAC,
AEAF42
===. ABAC63
长安勤学练教育
∴ △AEF∽△ABC . 故
EFAEAE216
=.则 EF=BC⋅=8⨯=. BCABAB33