用折纸探索勾股定理的古典证法

用折纸探索勾股定理的古典证法

黄燕苹

（西南大学数学与统计学院 重庆 400715）

摘要：勾股定理是几何学中一个非常重要的定理，其证明的方法也是多种多样。在课堂教学中，教师一般都是采用勾股定理的古典证法对学生进行讲解，证明过程主要是借助多媒体或尺规作图来完成。本研究发现，学生对观看多媒体的“拼图”过程，和观看教师用尺规画出的“拼图”，都没有留下印象，而利用正方形折纸得到“折纸勾股图”可以让学生在动手作操作的过程中感受和掌握勾股定理的古典证法。

关键词：折纸，勾股定理，古典，证法

一、问题的提出

2002年8月第24届国际数学家大会在北京召开，这是一百多年来中国第一次主办国际数学家大会。这次大会的会标是一个正方形，其内有4个以正方形的边长为弦的直角三角形，这四个直角三角形的中心则是以其勾股差为边长的小正方形。这实际上是以赵爽《周髀算经注》中的弦图为原型设计的。实际上，中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。但作者在教学中却发现数学学院师范类学生对勾股定理的古典证法却知之甚少。

作者在给数学学院师范类大三学生讲“数学教学设计”课程时，因准备对“勾股定理”的两个教学案例进行分析，因而在上课前，请这个班的62位学生先证明勾股定理（不要求署名）。并要求学生，即使证明不出来也在答卷纸上写上或画上存留的记忆。其结果是：62名学生中仅28名证出了勾股定理，其中有1人用了三种方法，6人用了2种方法。在所有的证明方法中，用三角函数证明的占了65﹪，用相似三角形证明的占了26﹪，仅两人画出了“弦图”用代数方法证明，1人用了四个直角三角形的拼图用代数方法证明。在没有完成证明的答卷中还有8位学生画出了直角三角形三边上的三个正方形，但没有能完成证明。 为什么在数学专业的本科学生中有这么多人都不知道或忘记了勾股定理的古典证明，而这些学生在一年以后即将成为中学教师。事实上，在初中的几何教材中，一般是采用拼图加代数运算的方法来证明勾股定理，也就是用8个全等的直角三角形分别拼成两个边长相同的正方形，由面积相等得到勾股定理的证明。在对学生的访谈中得知，在中学学习勾股定理的时候几乎都没有自己动手操作过“拼图”，甚至老师也没有操作过，仅仅是看教材上“拼好的图”或看教师黑板上“画出的拼图”或看多媒体“演示的拼图”了解勾股定理的证明方法。这里，学生没有动手操作的原因很简单，主要是材料的准备和操作过程都让教师觉得浪费时间。

从上述简单的测试中可以看出，这种单纯的看拼图的教学方式并没有给学生留下深刻的印象，对学生来说也许仅仅是一种欣赏或认可。本文试图用折纸的方法来探索勾股定理的古典证法，以期能为学生的动手操作提供简单可行的参考。

二、“赵爽弦图”与勾股定理

1、《周髀算经》与“赵爽弦图”

《周髀算经》被认为是我国现存最早的古代数学著作，成书年代约在公元前 2 世纪的西汉时期，但其中涉及的数学、天文知识，却可以追溯到公元前11世纪的西周年间。它的数学成就主要在于分数运算、勾股定理及其在天文测量中的应用等，其中尤以勾股定理的论述最为突出。

在《周髀算经》中主要是以文字的形式叙述了勾股算法。第1节就有：“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。既方其外，半之一矩。环而共盘，得成三四五。两矩共长二十五，是为积矩”。意要制作一个用来画方的工具（矩），只要使勾为三，股为四，弦为五就行了。

《周髀算经》中记载测量天与地的距离用了“日影千里差一寸”的模型：“夏至南万六千里，冬至南十三万五千里，日中立竿无影。此一者天道之数。周髀长八尺，夏至之日晷一尺六寸。髀者，股也；正晷者，勾也。正南千里，勾一尺五寸；正北千里，勾一尺七寸。”

天

地

图1

这里，“日影千里差一寸”的模型是：

L 16000里1000里== l 1尺6寸1寸

L H =得H =80000里。即天l h

与地相距80000里。那么髀到太阳的距离是怎么计算的呢（如图1）？第3节给出了勾股算法：“侯勾六尺，……若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪至日一一从髀所旁（即前文之‘邪’，音，义俱同斜）至日所十万里”。[1]

L 1000里 这里，利用“日影千里差一寸”的模型，当h =6尺时，由，=60寸1寸当（髀）h =8尺时，（日晷）l =1尺6寸，L=16000里,由

可以得到L =60000里。再由L 2+H 2=髀日2，可以得到髀日=100000里。 《周髀算经》在以上两个地方用文字叙述了勾股定理，但未给出勾股定理的任何证明。中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽。赵爽在《周髀算经注》中给出了弦图（图2）[2]来完成了勾股定理的证明，赵爽所用的方法是中国传统的出入相补原理：一个几何图形被分割成若干部分后，面积或体积的总和保持不变。

图2 图3

李文林先生在其《数学史概论》中，用图3作了阐释：“赵爽注《周髀算经》，作‘勾股圆方图’，其中的‘弦图’，相当于运用面积的出入相补证明了勾股定理。考虑以一直角三角形的勾和股为边的两个正方形的合并图形，其面积应有a 2+b 2。如果将这合并图形所含的两个三角形移补到图中所示的位置，将得到一个以原三角形之弦为边的正方形，其面积应为c 2，因此a 2+b 2=c 2”[3] 。

2、折纸探索勾股定理的古典证法

在勾股定理的古典证法中，除了用赵爽的“弦图”之外，还用到了拼图、剪图等方式，采用代数法或面积的出入相扑法加以证明。

本文作者在折纸操作中发现，用折纸方法得到的“折纸勾股图”（图10）与赵爽“弦图”非常相似，而通过“折纸勾股图”及其展开图可以得到一些勾股定理的古典证明方法。下面是“折纸勾股图”的折叠方法：

第一步：在正方形纸片EFGH 的边GH 上任取一点B ，使BG= a，BH=b（图4）； 第二步：将H 、F 和E 、G 分别重合对折得正方形的中心O （图5）；

第三步：过点O 与点B 折叠得折痕BC （C 在EF 边上）；再将B 、C 两点重合对

折，折痕为AD （A 在EH 边上，D 在FG 边上）（图6）；

第四步：分别过B 与A （图7），A 与C （图8），C 与D （图9），D 与B （图10）

折叠可得与赵爽 “弦图”非常类似的“折纸勾股图”（图10）。

O

图4 图5 图6

图7 图8 图

9

a C

b F

图10 图11

1（

1

）由“折纸勾股图”可得勾股定理的代数证法一：c 2=4×ab +(a −b ) 2 2

1（2）由展开图11可得勾股定理的代数证法二：(a +b ) 2=4×ab +c 2 2

（3）由展开图11可得勾股定理的拼图证法（图12、图13）

图12 图13

（4）由展开图11可得勾股定理的出入相补证法（图14、图15）

E H E H

C b C G1

F1B

a

F D G F D G

图14 图15

（5）将展开图11过C 、B 两点折叠可得J.A.Garfield “总统证法”。

（图16）

图16

三、其它折纸方法证明勾股定理

第一步：如图17，在正方形CHGD 的DG 边上取两点B 、C 使得BC=a，且BE=EC （E 是DG 边上的中点）；过点C 将点G 折到CD 边上，折痕为AC=b，连接AB 得直角三角形ABC ，且AB=c。

第二步：将点A 与点B 重合对折得折痕EF （图18）。

第三步：沿折痕EF 和AB 剪成四个全等的四边形，按图19拼图便可得到勾股定理的公式。

C D

图17 图18

图19

折纸过程是一种既动手又动脑的探索过程，教学中利用折纸能充分激发学生的探索欲望和培养学生的创新精神。折纸的形式又美观大方，易于记忆。实际上，用折纸除了探索勾股定理的古典证法，在许多几何定理的发现或证明中都可以使用。

参考文献

[1] 江晓原．《周髀算经》——中国古代唯一的公理化尝试．自然辩证法通讯．1996.3（48）

[2] 李文林．文明之光——图说数学史．山东教育出版社．2005（37）

[3] 李文林．数学史概论．高等教育出版社．2004.6（70）